Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 245

Скачиваний: 9

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Проекциям векторов на оси х, у, z и скалярному потенциалу соответствуют подобные скалярные уравнения:

V2Q

 

ö с е

dCf

 

 

(5.26)

 

dt2 J — y j .

dt

 

 

 

- e apa— 2

—

L = - , n b

 

 

 

V2C e + £2C 6= - m

e,

у

 

(5.27)

где C$ — проекция вектора С на ось £

(например, х,

 

или z), или

скалярный потенциал

U\ щ

— проекция

вектора гп на ось

или

 

Рст

Ранее указывалось, что решение (С) неоднородного волнового уравнения, или уравнения Даламбера, в общем случае представ­ ляет собой сумму частного решения (Сч), определяемого правой частью этого неоднородного уравнения (т. е. источниками поля), и

т. е.

V2C 0- s a(Aa- ^ - ft— уэра — ° = 0 J ,

С = Сч + С 0 или С = С ч —J—С 0.

(5.28)

Если границы раздела сред отсутствуют, то решение неоднород­ ного волнового уравнения соответствует частному решению. Таким образом, частное решение определяет электромагнитное поле заданных источников в безграничной среде.

Рассмотрим метод отыскания решения задачи электродинамики для безграничной однородной и изотропной среды.

Вначале решим задачу для диэлектрика, в котором имеются объемно-распределенные заряды и токи. Для этого положим в урав­

нении (5.26) уэ =

0

и формально обозначим

—

ЕаНа

— ѵ.

Тогда

 

 

Ѵ2С t------ . — — =

 

У

 

 

 

(5.29)

 

 

— n i t .

 

 

 

Найдем решение этого уравнения [11]. Так как это линейное

уравнение, то к нему применим dV),принцип

суперпозиции. Поэтому

функцию С $ можно найти как сумму функций

dC^,

создаваемых

элементарными источниками (me

dV

каждый из которых сосредо­

точен в бесконечно малом объеме

и может считаться точечным

источником. Таким образом,

мы

свели задачу к отысканию поля

точечного источника

т\ = т^

dV,

создающего

поле,

 

определяемое

 

 

 

функцией C\ — dCt ,

Поместим точечный источник в начало координат и рассмотрим поле во всех точках, за исключением начала координат, где распо­

ложен источник. Для этих точек уравнение (5.29) переходит в од­

нородное уравнение вида

1j

Ф ■

dt*

к

!

V2C

---—

- ^ і - = 0.

(5.30)

124

Так как величина С\ создается точечным источником, то она зависит только от удаления точки наблюдения от источника (в на­ шем случае от 'расстояния г между точкой наблюдения и началом координат). Поэтому задача становится сферически симметричной.

Тогда на основании выражения оператора Лапласа в сфериче­ ской системе координат (П .III.13) уравнение (5.30) приобретает вид

± . ± U J £ i

д2С х

0 или г

д2

{СгГ)~ '

1f i_

д2С х

0.

г2 дг I

дг

V2 dt2

дг2

д 2

После умножения последнего уравнения на г, учета независи­ мости г и / и введения обозначения С хг= М, приходим к уравнению

д2 М

^

1

д2М

_ Q

 

 

 

д г 2

 

V2

d t2

 

Для решения этого уравнения обычновводят новые переменные

Тогда

 

 

 

С= * -

г

 

 

t

 

г

 

 

 

 

 

 

V

’

1

 

V

 

 

 

 

дМ

дЧ

 

дМ

 

д-q

 

V

 

дМ

 

V

дМ

 

 

,

 

 

 

1

 

,

1

дг

 

дЧ

дг

 

дг}

 

дг

 

 

 

 

дЧ 1

 

д2М

д

(

1

дМ I

1

 

дМ

\

дЧ

4 -

1

дг2

дЧ

 

 

дЧ •

 

 

 

 

дг

0

( ■

 

\

V

V

 

drt

)

+

дѵ

{

V

+

-

1

дМ '\ дт] _

1

/ д Ш

 

 

д2М , д2М '

 

 

.I дг

 

 

1

 

 

2 -

 

 

д і2 ,I

 

 

V

*1

 

V2

дЧ2

 

 

дідг)

 

Аналогично находят производную по времени:

2 М

д2М .

2 д2М

. д2М

дdt2

дЧді]

 

PC2

 

cbj2

дМ д-q

дМ ,

дЧ

В результате подстановки этих

производных в исходное

урав­

нение получим -

 

 

dich)

что

=

М '

(С) есть некоторая

Из этого уравнения

следует,

 

функция зависящая только от.£ и не зависящая от р, так как

 

д

і

дМ \

дМ '

 

 

 

 

drt

\

PC

)

clip

 

 

 

 

 

 

(О

 

 

 

Интегрирование указанной функции дает

 

 

 

 

 

Ж '( С ) ^ + Ж а(т,),

 

от

где i .A f'(С)й!С— Afj (Cj— первообразная

функция, зависящая

125

Произвольная интегрирования М 2 не зависит от £ и в общем случае является функцией оттр Таким образом,

M = M l (q + M 2(rl).

После подстановки t, и ц окончательно находим

ж='и'(г-т)+ЛЧ'+т (5.31)

Рассмотрим физический смысл решения (5.31). С этой целью, приняв выбранное направление г за абсциссу (рис. 5.4), отложим

 

по ординатам значения

M \ t

------ ),

 

полагая

t

постоянной величиной.

 

В результате этого построим оп­

 

ределенную кривую t(оплошная кри­

 

вая на рис. 5.4). За небольшой про­

 

межуток

 

времени А

кривая смес­

 

тится на расстояние Ar. На рис. 5.4

 

пунктиром показана кривая для мо­

 

мента

t+A.t.

Запишем

 

аналитически

 

равенство ординат:

 

 

 

М х ц .

= -441

 

-

г + A r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как функция М\ произвольна, то указанное равенство будет иметь место при равенстве аргументов:

Аг

t .= t+ b f .

Выполняя несложные преобразования, находим

А г

■■V.

(5.32)

At

 

Таким образом ѵ представляет собой скорость, с которой будут перемещаться ординаты кривой М ь а следовательно, и вся кривая не меняя своего вида, в направлении возрастания г. Следователь­ но', первое слагаемое решения (5.31) представляет собой аналити­ ческое выражение колебания (возмущения), распространяющегося от источника (из начала координат) в бесконечность со скоростью ѵ. Волна, распространяющаяся в направлении от источника, называ­ ется прямой волной. Для вакуума скорость распространения элек­ тромагнитны« колебаний равна скорости света:

V — —

1

= ----------

—

1

' — =

V w )

1Уf

--------

i---------

4Я-10-7

=

с =

 

4Я-107-С2

[м/се/с].

2,998 •103 ä ; 3 •10s

 

126

Указанное обстоятельство, как известно, является одним из подтверждений электромагнитной природы света. В диэлектриче­ ской среде скорость распространения электромагнитных колебаний меньше скорости света, в вакууме:

 

 

 

V

1еаИ

 

V

1

 

 

 

У W

^

 

 

 

ѵ =

—

-----

 

 

WoH

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

— = ■

< £ -

 

 

Второе слагаемое в решении

(5.31)

по аналогии с предыдущим

определяет колебание, распространяющееся со скоростью

ѵ

в сто­

рону убывания

г,

т. е.

к началу координат.

Это следует из того, что

аргумент функции

М 2

можно получить

из

аргумента функции М ь,

если в последнем заменить

ѵ

на —

ѵ.

Распространение же колеба­

 

 

ния с отрицательной скоростью связано с уменьшением расстояния до начала координат. Волна, распространяющаяся по направлению

к источнику, называется обратной волной.

 

Запишем теперь решение

С

і уравнения (5.30). На основании

(5.31) оно будет следующим: •

 

 

(5.33)

M A t

 

M 2\t + —

C r

 

V

 

 

Так как согласно (5.33) С\ не зависит от сферических координат 0 и Ф , то распространение колебаний происходит симметрично во все стороны от начала координат. Следовательно, полученное ре­ шение в соответствии с известной из курса физики классификацией (см. § 6.2) определяет сферические волны. При этом первый член этого решения определяет сферическую волну, распространяю­ щуюся из начала координат и изменяющую свою величину обрат­ но пропорционально первой степени расстояния. Второй же член определяет волну, приходящую к началу координат из бесконечно­ сти и при этом возрастающую повеличине.

Разумеется, волна, идущая к началу координат, при расположе­ нии источников в начале координат возможна лишь при наличии отражения, чего в рассматриваемом случае нет, так как -среда пред­ полагается однородной и -безграничной. В связи с изложенным второй член решения отбрасывается как не имеющий физического смысла. В результате получаем

 

Мі

С , =

(5.34)

Теперь необходимо определить вид функции М і и найти зависи­ мость величины С] (точнее С$) от интенсивности источников, соз­ дающих поле. На эти вопросы можно ответить путем сравнения полученного решения с решением (4.9а) уравнения Лапласа (4.4) и Пуассона (4.3) для электростатического поля. Из (4.9а) следует, что решение для потенциала поля, создаваемого элементарным то­ чечным зарядом (dq = pdV), расположенным в начале координат

12Т

Смотрите также файлы