Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

(х' = 0, у' = 0, z' = 0), можно записать в виде

В общем случае элементарный заряд расположен в точке с ко­ ординатами (х ', y', z') (рис. 5.5). Тогда элементарный потенциал в точке наблюдения Р(х, у, z) будет равен

Полный же потенциал, создаваемый всеми распределенными в области V зарядами, определяется выражением (4.9а).

Сопоставим решения (5.34) и (5.36). Волновое уравнение (5.30) превращается в уравнение Лапласа, если полагать, что производ­

ная по времени -д^1,0 = 0 или же V -э оо:

Ѵ 2С і , 0= 0 .

Соответствующее ему решение вида (5.34) будет зависеть только от координат x', y', z’ и не будет зависеть от времени

V

Так как (5.36а) и (5.36) являются решением одного и того же уравнения, то в случае электростатического поля

128

вместо — в (4.3), то, выполняя соответствующую замену, нахо-

Еа

ДИМ

„1 mt (x', у ', z')

Решение уравнения Пуассона для Се0 представляет собой интег­ рал от предыдущего выражения:

Функция Alu определяющая решение С Е уравнения Даламбера (5.29), формально отличается от функции М\,о, из которой состав­ лено решение С$0 (5.37) уравнения Пуассона, лишь тем, что учиты­ вает зависимость интенсивности источников (т$ ) не только от ко-

электрической среде при источниках как электрического, так и магнитного типов.

Запишем подробнее решения уравнений только при источниках электрического типа, так как решения при источниках магнитного типа можно легко получить из них на основании принципа переста­ новочной двойственности.

Решение волнового уравнения для составляющей Н х напряжен­ ности магнитного поля [см. (3.3)] при уэ = 0 будет иметь вид

Из выражений (5.40) и (5.41) видно, что электродинамические потенциалы существенно отличаются от потенциалов статических и стационарных полей, для которых можно пренебречь временем запаздывания. Величина же электродинамических потенциалов в некоторой точке наблюдения Р(х, у, г) (см. рис. 5.5) в момент вре­ мени t определяется состоянием источников поля в точке (x', y', z')

в предшествующий момент времени t ' = t --- —. Другими словами,

V

электромагнитное колебание приходит в точку наблюдения с запаз­

дыванием на воемя ixt— — , которое необходимо для того, чтобы

V

электромагнитное колебание распространилось из точки источника {x', y', z') до точки наблюдения Р(х, у, г). По указанной причине электродинамические потенциалы называют также запаздывающи­ ми потенциалами.

Найдем решение волновых уравнений в безграничной среде для векторного потенциала и вектора Герца в случае монохроматиче­ ских полей. Решение неоднородного волнового уравнения для век­ торного потенциала [см. (3.17)] найдем на основании выражения (5.40), введя в него зависимость векторов поля от времени в виде

S" С Т _____І С Т р j( s > t

3 — 0т

под интеграл (5.40) вместо времени t должно быть поставлено время

130

Вопросы для самопроверки

1.Получите решение неоднородного волнового уравнения для диэлектриче­ ской среды.

2.Поясните физический смысл понятия «запаздывающих» электродинамиче­ ских потенциалов.

3.Запишите решение неоднородного волнового уравнения для монохромати­ ческого поля при различном распределении сторонних токов.

§5.6. РЕШ ЕН И Е В О Л Н О ВО ГО УРАВН ЕН И Я

М ЕТОДОМ РАЗД ЕЛ ЕН И Я П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х

. Найденные в предыдущем параграфе строгие решения волновых уравнений для однородной среды в случае краевых задач электро­

динамики можно трактовать как частные решения Сч неоднородных волновых уравнений. Таким образом, для ограниченных областей

необходимо, кроме того, найти решение С0 однородного уравнения. Для монохроматических волн однородное векторное волновое

уравнение, как мы видели, переходит в уравнение Гельмгольца:

данных источниках и известных граничных условиях решить ана­ логичные скалярные волновые уравнения. Чтобы решить эти урав­ нения, в принципе можно использовать все известные точные мето­ ды решения дифференциальных уравнений второго порядка в част­ ных производных. Практически чаще всего находит применение метод разделения переменных, называемый также методом Фурье

[11, 12, 19, 22].

По этому методу решение задачи проводится в системе прямо­ угольных или криволинейных ортогональных координат, выбран-

132

пых таким образом, чтобы граничные поверхности совпадали (или были параллельны) с координатными поверхностями системы. Так, например, при решении задачи дифракции радиоволн на сфере целесообразно выбрать сферическую систему координат с началом в центре сферы. Граница раздела — поверхность сферы здесь будет совпадать с поверхностью г = const = а (а — радиус сферы).

Выбрав систему, будем искать решение дифференциального уравнения в виде произведения трех множителей, каждый из кото-

Рис. 5.7

рых является функцией только одной координаты. Приведем общий вид решения для трех наиболее часто используемых ортогональных систем координат.

В прямоугольной системе координат (х, у, г, рис. 5.7, а) скаляр­ ное волновое уравнение, соответствующее уравнению (5.46), запи­ сывается в виде

Решение же этого уравнения отыскивают как произведение сле­ дующих трех функций-множителей

В цилиндрической системе координат (р, ср, г, рис. 5.7, б) по аналогии будем иметь

133