Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Соответственно для сферической системы координат (г, ф, ф, рис. 5.7, в) можно записать

(5.51)

и

Для нахождения функций-множителей, входящих в выраже­

ние С с, , последнее подставляют в соответствующее ему волновое уравнение. После этого волновое уравнение разделяют на три дифференциальных уравнения, в каждое из которых входит только одна координата (например, х) и соответствующая ей функция (в рассматриваемом случае Х ( х ) ) . В результате решений полученных таким путем дифференциальных уравнений находят общие выраже­ ния для множителей [например, Х ( х ), Y (у) и Z(z)], куда входят по­ стоянные, введенные при разделении волнового уравнения.

Обычно данному волновому уравнению соответствует множест­ во значений Се,. Поэтому общее решение уравнения С £ представ­

ляется в виде суммы от Се, . Вошедшие в общие решения постоянные разделения находят из граничных условий.

Методика нахождения функций-множителей в дальнейшем из­ лагается при рассмотрении конкретных задач электродинамики: решение волновых уравнений для плоских волн (см. главу 7), для электромагнитных волн в волноводах (см. главу 8) и др.

Необходимо отметить, что решение задач электродинамики ме­ тодом разделения переменных может быть построено до конца только в том случае, если во введенной криволинейной системе координат разделяются переменные в дифференциальном уравне­ нии. Решение, полученное этим методом, в общем случае имеет вид бесконечных рядов по специальным функциям. Как правило, ряды быстро сходятся в случае длинных по сравнению с размерами тела волн. Для сравнительно коротких волн ряды начинают эффективно сходиться только с достаточно большого номера их составляющих. Однако при этом ряды удается преобразовать к интегралам, поэ­ тому становится возможным их приближенное вычисление.

§ 5.7, РЕШ ЕН И Е ВО Л Н О В О ГО УРАВН ЕН И Я Д Л Я ОБЛАСТИ ,

ОГРА Н И Ч ЕН Н О Й ЗАМ КНУТОЙ П О ВЕРХН О СТЬЮ .

ФОРМ УЛА КИРХГОФ А И ТЕОРЕМ А ЭК ВИВАЛ ЕН ТН ОСТИ

Скалярная формула Кирхгофа

При рассмотрении вопросов прикладной электродинамики мо­ жет представлять интерес определение электромагнитного поля в некотором ограниченном объеме при наличии исходных данных

134

только в пределах указанного объема. При этом задача формулиру­ ется следующим образом: необходимо найти поле внутри некото­ рого объема V при условии, что известны лишь источники, располо­ женные в этом объеме, а также заданы соответствующие характе­

точным решением этого уравнения будет выражение [11]

-----— . При этом интегрирование производится по координатам

точек источников, т. е. по координатам x', y', z'. Формула (5.53) определяет функцию С g внутри области V, ограниченной замкутой поверхностью S, через характеристики источников mg, распо­

ложенных внутри области, и через значения этой функции С t и ее

дС£

Формула (5.53) по имени предложившего ее в 1882 г. ученого называется формулой Кирхгофа. Под C g , как и прежде, может пониматься скалярный потенциал U или любая из декартовых со­ ставляющих векторов Е, И, А, Г, когда векторное волновое урав­ нение разбивается на независимые скалярные уравнения.

Из сопоставления формул (5.53) и (5.38) следует, что первое слагаемое правой части формулы (5.53) (интеграл по объему) представляет собой решение неоднородного волнового уравнения (5.29) для безграничной среды, т. е. является частным решением, определяющимся источниками т g, расположенными внутри обла­

135

сти V. Иначе говоря, это слагаемое определяет поле в рассматри­ ваемой точке, созданное внутренними источниками.

Тогда естественно предположить, что второе слагаемое (поверх­ ностный интеграл) является решением однородного волнового уравнения

ное внешними неоднородностями среды. Из сказанного следует, что если внешние источники и неоднородности отсутствуют, то поверх-

равен нулю.

При деформации поверхности 5 Н, например при ее увеличении, внешние источники частично попадают внутрь объема и объемный интеграл изменяет свое значение на величину поля, создаваемого этими дополнительными источниками. При этом поверхностный ин­ теграл изменяется на ту же величину, но другого знака, в резуль­ тате чего сумма обоих интегралов не изменяется. Если бы такое изменение имело место, то величина поля в данной точке зависела бы от выбора поверхности 5 и, следовательно, решение задачи не

jx

Поверхностный же интеграл, представляющий решение однород­

Метод получения частного решения неоднородного волнового уравнения, которое определяется объемным интегралом формулы (5.53) и выражением (5.55), изложен в § 5.5. Поэтому здесь оста­ новимся только на получении решения (5.57) однородного волно­ вого уравнения (5.56).

Формулу (5.57) можно получить двумя путями:

1) подстановкой в поверхностный интеграл формулы (5.53) вместо величины С е. соответствующего ей комплекса [12];

136

2) непосредственным решением уравнения (5.56) с помощью теоремы Грина (4.7).

Первый путь аналогичен способу получения формулы (5.43). Методика же решения уравнения Гельмгольца (5.56) с помощью теоремы Грина подобна методике решения уравнений Лапласа (4.4), только при решении уравнения Гельмгольца необходимо в

e~ßr

качестве простейшего решения взять функцию <р= --------.

Поэтому искомое решение (5.57) можно получить, если в (4.10) заменить L/s на Q , а 1/г —на e~^krjr.

Векторный аналог формулы Кирхгофа

Скалярная формула Кирхгофа не учитывает векторного харак­ тера поля, что затрудняет ее применение при решении задач элек­ тродинамики. Обычно для решения таких задач приходится решать векторное волновое уравнение вида (5.25), которое, как было пока­ зано, эквивалентно системе трех скалярных волновых уравнений

вида (5.27) для компонент вектора С. Эти уравнения в общем слу­ чае нельзя решить отдельно, так как, кроме прямоугольной системы координат, они не разделяются по компонентам.

При решении задач электродинамики указанные трудности удается преодолеть, если решать непосредственно векторное волно­ вое уравнение при помощи векторного аналога теоремы Грина, яв­ ляющегося обобщением скалярной теоремы Грина (4.7) на вектор­ ные функции.

Векторный аналог теоремы Грина требует, чтобы модули векторных функций (будем обозначать их С и Q) удовлетворяли тем же условиям, которым должны удовлетворять скалярные функции ф и U в скалярной теореме Грина. Для выво­ да векторной теоремы применим теорему Остроградского — Гаусса (2.9) к век­ тору [С rot Q]:

I (rot Q rot C — C rotrot Q) d V — (j) [C rot Q] n0d S .

Поменяв в последнем тождестве С и Q местами, после вычитания одного тождества из другого найдем векторный аналог теоремы Грина:

Если вместо единичного вектора внешней нормали п0 взять единичный вектор внутренней нормали п, то перед правой частью тождества (5.58) надо поставить знак «минус».

Векторная теорема Грина позволяет, выбрав одну из векторных функций (на­ пример Q), найти вторую функцию (С) в любой точке области V.

137