Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

В качестве искомой функции (С) можно принять вектор напряженности Е или Н электромагнитного поля, так как они как векторные функции удовлетво­ ряют условиям теоремы Грина.

Задачу определения векторов поля будем решать для монохроматических колебаний с учетом наличия источников электрического и магнитного типов. В этом случае на основании (5.6) уравнения поля запишутся следующим образом

(Ум = Ѵэ = 0):

rot Н — > e aÈ + 8 " , rot É = — > р ан — 8 " ,

d iv È = — pC3T, divH = — p " .

грирования выполняются непосредственно над двойным ротором от вектора.

По аналогии со скалярным вариантом теоремы Грина вспомогательную век­ торную функцию Q выбирают в виде

(рис. 5.9), для которой гс-э-0 и |Q|->-oo, к оставшейся области (У — Ѵс и S + S c)

s

Выражение для вектора Н можно найти аналогичным образом. Получим его непосредственно из (5.61) на основании схемы пере­

138

Выражения (5.61) и (5.62) представляют собой общий интеграл (общее решение) уравнений Максвелла для векторов напряженно­ сти поля при заданных граничных условиях. Из этих выражений следует, что поле внутри области V в точке Р (рис. 5.10) в общем

случае определяется объемным и поверхностным интегралами. При этом объемный интеграл дает напряженность поля, создавае­ мого сторонними электрическими и магнитными токами (заряда­ ми), находящимися внутри рассматриваемого объема V. Поверхно­ стный же интеграл определяет напряженность поля, создаваемого источниками, расположенными за пределами этой области. Фор­ мулы (5.61) и (5.62) при отсутствии источников внутри рассматри­ ваемого объема, т. е. при равенстве объемных интегралов нулю, иногда называют векторизованными формами интеграла (формулы) Кирхгофа.

Подынтегральная функция объемного интеграла состоит из

нов подынтегральной функции объемного интеграла в выражении

для вектора Н [см. (5.62)].

Поверхностные интегралы выражений (5.61) и (5.62) содержат произведения вектора единичной нормали п на векторы поля É или Н. Очевидно, что векторные произведения [пН] и [пЁ] численно

139

равны тангенциальным составляющим векторов поля у замкнутой поверхности S, ограничивающей область V. Скалярные же произ­

ведения (пЕ) и (пН) представляют собой нормальные составляю­ щие соответствующих векторов у граничной поверхности.

Рассмотрим электромагнитное поле в неограниченной области при локально ограниченном расположении источников. Введем од­ ну ограничивающую поверхность — сферу S(r) с центром в точке наблюдения Р (см. рис. 5.8 и 5.10) и весьма большим радиусом г, который при предельном переходе будем считать стремящимся к бесконечности. В случае применения формул (5.61) и (5.62) поверх­ ностный интеграл берут лишь по бесконечно удаленной сфере. По условию источники поля расположены в ограниченной области про­ странства, поэтому поверхностные интегралы в указанных форму­ лах при г—>-оо должны быть равны нулю. Для этого векторы напря­

женности поля (Е, Н) должны удовлетворять условию излучения

[14] вида (5.2а). Например, для вектора É это условие запишется следующим образом:

Теорема эквивалентности

Из формул (5.61) и (5.62) следует, что в поверхностные интег­ ралы входят выражения [пН], —[пЕ], еа(пЕ) и ра(пН), подобно тому, как в объемные интегралы входят токи и объемные заряды, а именно:

Таким образом, влияние внешних по отношению к рассматри­ ваемой области источников или неоднородностей на поле может быть определено через напряженности электромагнитного поля на граничных поверхностях или через соответствующие им поверхно­

стные токи ѵэ, ѵм и поверхностные заряды 0Э, омСледовательно, по возбуждаемому электромагнитному полю

поверхностные токи и заряды эквивалентны соответственно танген­ циальным и нормальным составляющим векторов напряженности поля на тех же поверхностях и связаны между собой соотношения­ ми (5.63). Сформулированные положения и представляют собой теорему, или принцип эквивалентности.

140

Принцип эквивалентности дает возможность решить задачу без векторного аналога теоремы Грина. Для этого распределение поля на граничной поверхности 5 в соответствии с (5.63) заменяют по­

формул (5.40), (5.41), (5.45) нахо­ дят электродинамические потенциа­ лы, по которым окончательно полу­

Следует отметить, что введение поверхностных токов и зарядов на граничной поверхности эквивалентно отбрасыванию поля во внешней области, т. е. равенству нулю его векторов. Действительно, в соответствии с граничными условиями (см. главу 2) при наличии поверхностных токов и зарядов на граничной поверхности имеют место скачки тангенциальных составляющих напряженности и нор­ мальных составляющих индукции электромагнитного поля. Но поскольку эти скачки равны по величине полным значениям со­ ответствующих составляющих векторов поля, создаваемого истин­ ными источниками на этой же поверхности, при таком методе ре­ шения задач принимается, что поле вне рассматриваемой области как бы равно нулю.

С помощью принципа эквивалентности можно решить и внешнюю задачу, которая формулируется следующим образом. Требуется

найти поле É, Н в пространстве V' (рис. 5.11), если его источники находятся внутри области V, отделенной границей S, на которой за­

дано поле Es, Hs.

Аналогично внутренней задаче заменяем на граничной поверх­ ности распределение составляющих векторов поля поверхностными токами и зарядами и по ним находим электродинамические потен­ циалы и векторы поля в заданной внешней точке Р(х, у, z).

141

Функция Грина

Чтобы применить для расчетов поля формулу Кирхгофа [напри­ мер, (5.57)], необходимо знать искомую функцию и нормальную производную от нее на поверхности, ограничивающей рассматри­ ваемый объем. Но точно на поверхности рассматриваемой области

(или ее нормальная производная) удовлетворяет нулевым гранич­ ным условиям, т. е. на граничной поверхности S эта функция или ее нормальная производная обращается в нуль.

Функция Грина, удовлетворяющая нулевым граничным услови­ ям, приводит формулу (5.57) к виду

<5 -65>

5

В частности, если требуется определить поле за плоским экра­ ном, имеющим отверстие (рис. 5.12), то функция Грина запишется следующим образом:

ния При этом замкнутую поверхность интегрирования берут в виде

изображенной пунктиром на рис. 5.12 поверхности S с удалением

142