Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

До сих пор мы рассматривали поверхностный эффект в провод­ нике с плоской поверхностью при бесконечных его размерах. Ре­ альные проводники имеют конечные размеры и часто неплоскую поверхность (например, провода кругового сечения). При этом раз­

личают резко выраженный и слабо выраженный поверхностные эффекты.

При слабом проявлении поверхностного эффекта необходимо строгими методами решать задачу на распространение переменно­ го тока в проводнике, что и будет сделано в дальнейшем. Здесь же рассмотрим резко выраженный поверхностный эффект, когда элек­ тромагнитное поле и ток в проводнике сосредоточены лишь в очень ” тонком слое, толщина которого мала по сравнению с наименьшим радиусом кривизны линии, ограничивающей поперечное сечение провода. Такое распределение поля в проводнике характерно для тока, изменяющегося с большой частотой, что представляет значи­ тельный интерес для радиотехники.

Из физических соображений, подтверждаемых в дальнейшем строгим исследованием поверхностного эффекта в проводе кругло­ го сечения, следует, что при резко выраженном поверхностном эф­ фекте поле внутри поверхностного слоя практически будет таким же, как в плоском слое. Поэтому при сильном проявлении поверх­ ностного эффекта для проводника произвольного сечения будут справедливы все выражения, установленные ранее для случая плос­ кой границы проводника и диэлектрика.

Таким образом, активное и внутреннее индуктивное сопротив­ ления проводника переменному току частотой f при резко выражен­ ном поверхностном эффекте равно каждое сопротивлению постоян­ ному току, проходящему по пустотелому проводнику (рис. 7.6, б), имеющему тот же периметр поперечного сечения и толщину стен­ ки, равную глубине проникновения в проводник электромагнитной

определяются только электромагнитными параметрами провод­ ника и частотой и не зависят от размеров и формы его поперечного сечения. Размеры и форма поперечного сечения реального провод­ ника влияют на величину полного сопротивления, так как от них зависят размеры и форма соответствующего сечения эквивалентно­ го пустотелого проводника.

Сопротивление единицы длины всего проводника {Rs\, ^si) будет меньше поверхностного сопротивления в число единиц периметра поперечного сечения проводника, по которому протекает перемен­ ный ток. В рассматриваемом случае круглого провода радиуса а длина периметра поперечного сечения равна 2яа, т. е.

(7.37)

В случае плоской весьма широкой шины в формулу (7.37) надо подставить вместо 2па ее ширину Лш (рис. 7.6, в).

199

Внутреннее комплексное сопротивление провода радиуса а на единицу длины будет равно

Z sl= - ± - Z g.

Чтобы получить полное комплексное сопротивление на единицу длины провода, надо к Z S\ прибавить индуктивное сопротивление, связанное с внешним магнитным потоком (}аЬѣттш).

Практически замена сплошного провода трубчатым допустима,

При этом сдвиг по фазе между напряженностями электрическо­ го к магнитного полей по всей глубине проникновения принимает­ ся приближенно равным Ѳ = фс = 45°.

Если радиус провода а не удовлетворяет приведенному неравен­ ству, то задачу на протекание переменного тока, как указывалось, необходимо решить строгими методами. При этом получаемые фор­ мулы будут справедливы как при слабом, так и при резком прояв­ лении поверхностного эффекта.

Перейдем к решению такой задачи. Так как в проводнике мож­ но пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости, то в волновом уравнении для вектора Е можно пренебречь членом

!Ѵ а -^ г • Тогда волновое уравнение будет иметь вид dt*

V2E - [M > s - f- = 0.

Для интересующих нас гармонических процессов это уравнение запишется следующим образом:

200

Поскольку 8 = уэЕ, для плотности тока дифференциальное урав­ нение будет подобным

Для прямолинейного цилиндрического провода кругового сече­ ния, введя цилиндрические координаты р, ф, г (рис. 7.6, г) и прини­

мая во внимание, что вектор 6 направлен вдоль оси z, получим

0=8„ = 0, ) = zt

О"г-

Кроме того, полагаем, что амплитуда плотности тока вдоль про­ вода не изменяется и провод удален на значительное расстояние от других проводов с током, так что влиянием последних на распреде­ ление тока по поперечному сечению рассматриваемого провода

Тогда в соответствии с приложением III уравнение (7.39) в ци­ линдрической системе координат запишется так:

Введем новую переменную

х = р Ѵ — ушр.аѴе-

Тогда получим

1 1 I g ______________ Q

dx2 X dx z

Это уравнение представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение может быть записано в виде (см. П. III)

(•*)>

где А 1 и А 2— постоянные интегрирования; J 0(x) — функция Бессе­ ля нулевого порядка; No(x) — функция Неймана нулевого порядка.

При |лс|->-0 функция No(x)->oo, а так как на оси провода плот­ ность тока остается конечной, то необходимо принять Л2= 0. Тогда

8 = Ьг = А j/q(х ) = А XJ Q( р У — усорауэ).

При р= 0 функция /0 (0) = 1, откуда следует, что постоянная ин­ тегрирования А 1 равна комплексной амплитуде плотности тока на

оси провода (Лі = 6о) и, следовательно,

201

Функция /о от комплексного аргумента является комплексной величиной:

®т0

координатой р опережает плотность тока на оси провода:

JL = 8fflP е-/Фр _ &Q ®т0

Тогда отношение амплитуд плотностей тока можно выразить через модуль функции Бесселя, а угол фр — через аргумент этой функции ßo, т. е.

ömp

bn, Фр — ßo*

По результатам расчетов модуля и аргумента функции Бесселя на рис. 7.6, д построены кривые зависимости их от безразмерной

величины Р іЛйР'аѴэИз кривых следует, что амплитуда плотности тока имеет наи­

меньшую величину на оси провода. При этом отношение амплитуд

плотности тока на поверхности провода и на его оси —— будет

®т0

тем больше, чем больше круговая частота, удельная проводимость,

расстоянии от оси фаза плотности тока может оказаться противо­ положной фазе (сдвинутой на 180°) плотности тока на оси, а при дальнейшем увеличении р — снова совпасть по фазе с плотностью тока на оси, и так далее.

Перейдем к определению комплексного внутреннего сопротив­ ления цилиндрического провода кругового сечения на единицу его длины. Для этого воспользуемся соотношением [4]:

где Еі = Ё х — комплексная амплитуда тангенциальной составляю­ щей напряженности электрического поля на поверхности провода

(падение напряжения в проводе на единицу его длины); / — ком­ плексная амплитуда тока в проводе.

202

Величина £) может быть рассчитана по плотности тока у поверх­ ности провода (р = а):

— Л U Ѵ ^ вУэ е - ' і

Тэ 7э

Ток / находят, как интеграл от плотности тока по поперечному сечению провода, которое с этой целью разбивают на бесконечно тонкие круговые кольца толщиной dp (см. рис. 7.6, г);

Тогда (7.43) можно записать следующим образом:

где 0 = Роа —Ріа—я/4- Можно показать [16], что Ѳ представляет собой угол, на который

запаздывает по фазе напряженность Н относительно Е на поверх­ ности провода.

Из (7.43а) следует, что активное и индуктивное внутренние со­ противления на единицу длины провода будут равны

По этим формулам произведены расчеты, результаты которых приведены в табл. 7.1 [16].

203