Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

рис. 7.8) и нормаль (п) к границе раздела в точке падения (0). При этом линейно-поляризованные волны условно классифицируют на вертикально- и горизонтально-поляризованные волны подобно тому, как это делается при падении указанных волн на поверхность Земли. Если вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости падения, то говорят, что волна поляризована вертикаль­

но (Еп на рис. 7.8); если же указанный вектор перпендикулярен к плоскости падения и, следовательно, параллелен границе раздела, то волну называют горизонтально-поляризованной.

Задача на отражение электромагнитной волны от плоской гра­ ницы раздела сред состоит из двух частей:

1) нахождение углов, определяющих направление распростране­ ния отраженной и преломленной волн (ф0Тр, фпр);

2) определение амплитуд отраженной и преломленной волн или

связанных с ними коэффициентов отражения Ко и преломления /Спр. Законы, определяющие углы, под которыми распространяются отраженная и преломленная волны, называются законами Снеллиуса. Выражения для коэффициентов отражения и преломления на­ зывают формулами Френеля. Знание законов Снеллиуса и формул Френеля дает полное представление об отраженных и преломлен­

ных электромагнитных волнах.

Чтобы решить поставленную задачу, воспользуемся общими решениями уравнений Гельмгольца для плоских волн (7.10). Так как указанные решения справедливы для обеих сред, то при плос­ кой волне, падающей на плоскую границу раздела сред, отражен­

ная (Еотр, Н0Тр) и преломленная (Е2, Н2) волны являются также плоскими (рис. 7.8).

Решение задачи на отражение и преломление электромагнитных волн на плоской границе раздела сред для конкретных условий в дальнейшем будем производить в следующей последовательности. Напишем в общем виде выражения для векторов поля плоской волны в обеих средах. Затем применим граничные условия для определения постоянных интегрирования.

Указанным путем в настоящем параграфе решим задачу на отражение и преломление плоской вертикально-поляризованной волны. Для этого плоскость падения, образованную направлением 1і и нормалью п, совместим с плоскостью у —0 и введем обозначе­

ния, показанные на рис. 7.8. При этом векторы Нп, Н0Тр, Н2 направ­ лены параллельно границе раздела сред и оси Оу, т. е. перпендику­ лярно к плоскости чертежа.

Так как граница раздела сред представляет собой плоскость, простирающуюся бесконечно в обоих противоположных направле­ ниях от плоскости падения, то направления распространения волн

Потр и ППр, а при вертикально-поляризованной падающей волне,

кроме того, векторы Еш Еотр и Е2 лежат'также в плоскости падения. Отмеченный факт и формулы (7.10) дают возможность написать в общем виде выражения для составляющих полей в обеих средах.

208

Падающая и отраженная волны в среде 1 (индекс т у амплитуд опускаем):

Преломленная волна в среде 2:

-с2

Законы Снеллиуса

Для определения углов отражения ср0 Т р и преломления ф п р вос­ пользуемся граничным условием для векторов электрического поля

(2.16): при z = 0

È it — È 2т И Л И Ènz Д- Дотрт —- Ё :<.~•

Пользуясь рис. 7.8, граничное условие (2 = 0) запишем в виде

É n cos cp- È 0Tp cos сротр = È 2cos српр.

Для дальнейшего рассмотрения задачи представим отрезки пря­ мых /ь //, І2 через координаты и направляющие углы:

—Іу— —.Acsincp— zcoscp или ly— je sin cp-f- 2 coscp,

l[ —X sin cpofp —2 C O S <p0Tp, l2 —x sin <pn-+zcos<pnp.

Подставляя выражения для комплексных амплитуд (Еп, Е отр, È 2) и направляющих отрезков I в граничное условие (2 = 0), имеем

cos <?Ée-JkiX sin<p — cos <?orpÉ 0e~JklX sln “отр — £'пре~-,*:,;Сіі"‘?пр cos српр.

Чтобы приведенное равенство комплексных функций сохраня­ лось при любом значении х, необходимо приравнять показатели степени при е. Тогда из граничного условия получаем два соотно­ шения для направляющих углов и для комплексных амплитуд электрических векторов поля соответственно:

209

Выражение (7.45) и является первым законом Снеллиуса. Из равенства левого и правого членов соотношения (I) вытекает, что

характеризует преломление электромагнитных волн на границе раз­

Рис. 7.9

При переходе волны в оптически более плотную среду (напри­ мер, из воздуха в воду, п2'>щ и ѵ2<ѵ\) направление волны при­ ближается к нормали (српр<ф, на рис. 7.8). При переходе же из оптически более плотной в оптически менее плотную среду (напри­ мер, из воды в воздух) преломленный луч П'пр приближается к гра­ нице раздела сред (фпрі>фі, рис. 7.9). При этом возможны случаи, когда второй закон Снеллиуса (7.47) ни при каком угле фщ, не удов­

летворяется. Это будет тогда, когда sin ф>п„ = sin ср — 1, так как

п2

sin фщ, ни при каком вещественном угле не может быть больше еди­ ницы. При этом наблюдается полное отражение (т. е. электромаг­ нитные волны не проходят во вторую среду). Наименьший угол па­

углом полного внутреннего отражения. Он определяется из соотно-

210

В рассматриваемой задаче с двумя диэлектриками у волн в обеих средах плоскости равных фаз и равных амплитуд будут сов­ падать. На практике часто встречаются случаи, когда вторая среда имеет конечную проводимость (например, земля или вода) и, сле­

довательно., комплексные диэлектрическую проницаемость ег и ко­

эффициент преломления «2- Тогда отношение синуса угла падения к синусу угла преломления (7.47) равно комплексной величине:

где л2==|/р.2е2,

Это означает, что преломленная волна не является однородной. В такой преломленной волне плоскость одинаковых амплитуд не совпадает с плоскостью одинаковых фаз.

Приведенное соотношение нельзя использовать -непосредственно для расчета угла преломления. Можно показать [19], что в полу­ проводниках и проводниках направление распространения прелом­ ленной волны, к которому всегда перпендикулярны плоскости рав­ ных фаз, зависит, как и прежде, от соотношения фазовых скоро­ стей. В случае среды с конечной проводимостью фазовая скорость Ѵф определяется вещественной частью комплексного коэффициента

преломления п, называемой действительным коэффициентом пре­ ломления п'. Величина п' связана с электромагнитными парамет­ рами среды и фазовым коэффициентом ß соотношением

На основании полученных соотношений найдем связь между фа­ зовой скоростью и коэффициентом преломления для среды с комп­ лексным коэффициентом распространения:

В случае диэлектрика п’ = п и выражение для Ѵф переходит в ранее приведенное:

Vс —С— =

У(LB

21!

Плоскости равных амплитуд при прохождении плоской волны в среду с конечной проводимостью становятся параллельными гра­ нице раздела сред, так как ослабление поля в любой точке полу­ проводника (проводника) определяется ближайшим расстоянием от этой точки до границы раздела сред.

Для обоснования этого утверждения преобразуем множитель общего выражения преломленной волны, определяющий ее рас­ пространение [2]:

Q-jkzh — е- № * Sln V +^ jZ C0S V 5.

Так как kx и ф вещественны, то на основании граничного соот­ ношения (I) можно написать

^2sincpnp= ^ I sin ? = а х,

Из последнего выражения следует, что независимо от угла па­ дения преломленная волна в проводящей среде затухает в направ­ лении нормали к границе раздела сред (ось г), так что плоскости равных амплитуд определяются равенством 2 = const. Это и требо­ валось доказать.

Формулы Френеля для вертикально-поляризованной волны

Для нахождения коэффициентов отражения и преломления вол­ ны с вертикальной поляризацией перепишем граничное соотноше­ ние (II) с учетом того, что ср0тр = ф:

212