Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

В случае монохроматических электромагнитных колебаний сис­ тема дифференциальных уравнений может быть записана в комп­ лексном виде:

где k = )f{<s>Lv— у Т ^ Ж ^ — j Q x) = ]/ — (/?!+ j u L ^ i O ^ ju C 1) =

= РЛ— уал— коэффициент распространения, характеризующий изменение'модуля и аргумента комплексной амплитуды бегущей вдоль линии волны напряжения (или тока); ал, рл — коэффициенты соот­ ветственно затухания и фазы при распространении волны вдоль линии.

Общее решение подобного дифференциального уравнения, как

ния для напряжения и тока содержат два слагаемых, первое из которых соответствует падающей (прямой) волне, а второе отра­ женной (обратной) волне. Полученные решения используются для расчета и исследования электромагнитных процессов в открытых проводных и коаксиальных линиях.

В заключение рассмотрим пределы применимости телеграфных уравнений. Следует отметить, что для установления пределов при­ менимости какой-либо теории необходимо прибегнуть либо к опыту, либо к другой более общей теории, содержащей первую в качестве частного случая. Пределы применимости обычной теории длинных линий, базирующейся на телеграфных уравнениях, можно выяснить с помощью теории электромагнитного поля.

228

Рассмотрим условие применимости телеграфных уравнений к не­ однородным линиям, например к разомкнутой на конце линии. Как известно, телеграфные уравнения позволяют рассчитать коэффици­ ент отражения волны при любом импедансе оконечной нагрузки. Применительно к телеграфным уравнениям разомкнутый конец есть нагрузка с бесконечным импедансом, поэтому коэффициент от­ ражения от разомкнутого конца равен единице. В действительности же отражение не бывает полным, так как часть энергии тратится на излучение. Рассматривая излучение конца линии как результат излучения системы диполей, образованных зарядами, распределен­ ными на концах проводов, удаленных один от другого на расстоя­ ние l = d , на основании (6.23) приходим к выводу, что энергия, уно­ симая излученным полем, будет пренебрежимо мала, если выпол­ няется условие М -С 1 или 2яі<СК

Если же приведенное условие не выполняется, то разомкнутый конец линии заметно излучает, что не учитывается телеграфными уравнениями, и, следовательно, при этом с помощью их нельзя рас­ считывать неоднородные линии. При невыполнении указанного ус­ ловия двухпроводная линия становится практически не пригодной для передачи электромагнитной энергии, так как любая неоднород­ ность ведет к сильным потерям на излучение.

Применительно к коаксиальной линии полученное условие бу­ дет иметь следующий вид:

где й?нар — внутренний диаметр наружного проводника; dmiyТр — ди­ аметр внутреннего проводника.

В проводных линиях наряду с простейшей (основной) волной типа ТЕМ при достаточно высоких частотах, когда не соблюдаются приведенные условия, могут существовать волны типов Н и Е, кото­ рые не подчиняются телеграфным уравнениям. Однако практиче­ скую ценность передающие линии первой группы имеют лишь для диапазона электромагнитных волн, при котором их можно рассчи­ тывать на основе телеграфных уравнений.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется направляющей системой?

2.Какие типы электромагнитных волн вы знаете и в каких направляющих си­ стемах эти волны могут распространяться?

3.Какие методы могут быть использованы для расчета различных направля­ ющих систем?

4.Какой основной тип волны в открытых проводных и коаксиальных линиях

икакова структура ее поля?

5.Запишите телеграфные уравнения и их решения и поясните их физический

смысл.

6.При каких условиях применим метод телеграфных уравнений для расчета длинных линий?

229

§ 8.3. ВО Л Н О ВО Д , ОБРАЗОВАНН Ы Й П АРАЛЛЕЛЬН Ы М И ИДЕАЛЬН О П РОВОД ЯЩ И М И П ЛОСКОСТЯМ И

Простейшей направляющей системой является совокупность двух параллельных идеально проводящих бесконечных плоскостей. Изучение поля электромагнитных волн, распространяющихся в этой (и в любой другой) направляющей системе, основывается на реше­ ниях уравнений Максвёлла при граничных условиях на идеально

лю). Такой метод будет подробно рассмотрен в последующих па­ раграфах на примерах решения более сложных задач, частным случаем которых является данная задача. Здесь же решим постав­ ленную задачу, пользуясь законами отражения плоской волны идеально проводящей плоскостью, полученными в' главе 7. При этом можно получить ряд важных соотношений, характеризующих распространение электромагнитных волн в рассматриваемом волно­

процесс падения — отражения плоской электромагнитной волны по­ вторяется многократно вдоль стенок волновода. В результате этого электромагнитные колебания распространяются в волноводе в на­ правлении оси z.

Электромагнитное поле между плоскостями находят путем на­ ложения полей падающих и отраженных волн. Очевидно, здесь понятия «падающая» и «отраженная» волна условны, так как каж­ дое направление, например М —М', можно трактовать как направ­ ление падающей (по отношению к верхней плоскости, точка М') и отраженной (по отношению к нижней плоскости, точка М) волн.

Для получения количественных соотношений построим волновые поверхности. Как известно, волновая поверхность и, следовательно, фронт плоской волны представляет собой плоскость, перпендикуляр­ ную к направлению распространения, т. е. к направлению векторов

П пад И Потр-

Построим в начале волновода фронт I (фд = const, рис. 8.7, а) падающей волны. Проекция его на плоскость чертежа представляет­ ся прямой I—Д. Обозначим точку пересечения этой прямой с осью волновода буквой А. Проведем через эту же точку фронт отражен­ ной волны II. Проекция его на плоскость чертежа представляется прямой II — Б , перпендикулярной к П 0ТрИз геометрии задачи сле­ дует, что фронты обеих волн проходят по разную сторону от осевой плоскости волновода и составляют с ней угол, равный углу падения <р. Фаза, соответствующая рассматриваемому фронту волны, будет сохраняться вплоть до пересечения плоскости фронта с отражаю­

230

Рис. 8.7

и направлена от чертежа, т. е. Е = Е т. Фронты с такой фазой поля обозначим знаком ® , рис. 8.7, б. В точках пересечения рассматри­ ваемых фронтов падающей и отраженной волн с идеально отражаю­ щей поверхностью фаза поля для нового фронта (ДЖ или БГ) должна отличаться на угол л от фазы поля предыдущего фронта (т. е. £ = —Е т), чтобы в точках на границе раздела выполнялось граничное условие Е п-с + Е 0і =0 . Так как фазы колебаний Е и Н связаны между собой, то в точках отражающей поверхности фаза Н также изменяется на угол л. При этом, как следует из рис. 8.7, в, удовлетворяется и граничное условие для вектора Н:

Следует отметить, что вектор Н имеет составляющую, направ­ ленную вдоль оси z (HZ=\HZ —Н cos <р), т. е. имеют место волны типа ТЕ (Н). В точках пересечения фронтов Д Ж и БГ с отражаю­ щими плоскостями начинаются новые фронты с противоположной

231

фазой поля, отличающейся на угол л и т. д., как это показано на

рис. 8.7, б.

Для дальнейшего рассмотрения направление распространения плоской волны между плоскостями представим одной ломаной ли­ нией: И — 1—2—3.... При этом построим еетак, чтобы наклонная пря­ мая I —2 проходила через точку О, находящуюся посередине между точками А и А ' пересечения фронтов с осью волновода. Тогда полу­ чим, что фронты II (AB) и IV (ДЖ), имеющие противоположные фазы поля, пересекают направление 1—2 распространения плоской волны соответственно в точках В и В'. Следовательно, направление вектора Е в точке В' противоположно направлению того же вектора в точке В. Это может иметь место, если расстояние ВВ', которое проходит волна, равно нечетному числу половин длины волны:

В В' = (2m -f 1) , где т = О, 1, 2 , ... .

Нас будет интересовать наибольшая длина электромагнитной волны, которая еще может распространяться в волноводе, поэтому

положим В В ' = -^- . Найдем связь этой длины волны с расстоя­

откуда 7 = 2a cos ф.

Наименьшая длина электромагнитной волны, которая может рас­ пространяться в волноводе, в соответствии с (8.5) будет 7->-0. При

новода (как в свободном пространстве) электромагнитной волны типа ТЕМ весьма малой длины. Наибольшая же длина волны бу­ дет при нормальном падении (ф = 0) электромагнитных волн на отражающие плоскости. Однако в этом случае фактически отсут­ ствует распространение электромагнитного поля вдоль волновода: устанавливается режим стоячих волн между плоскостями.

Наибольшая длина волны, которая еще удовлетворяет выраже­ нию (8.5), называется предельной или критической длиной волны и определяется по формуле

Критической длине волны соответствует критическая частота

где е и р — электромагнитные параметры среды, заполняющей про­ странство между плоскостями.

232