Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Перейдем к получению выражений для поперечных составляю­ щих векторов поля. Для этого воспользуемся основными уравнения­

237

Общее решение волнового уравнения (8.8) и аналогичного урав­ нения для вектора Е нами найдено, однако остались неизвестными

238

математического анализа известно, что значения постоянных разде­ ления, при которых возможны решения аналогичных задач, назы­ ваются собственными значениями, а соответствующие им решения — собственными функциями. Число собственных значений бесконечно, поэтому общее решение должно быть записано в виде бесконечной

т,л-=О

оо

239

Критическая длина волны. Фазовая и групповая скорости

Из (8.21) следует, что одной угловой частоте <о соответствует бесконечное число полей поперечно-электрического типа. Каждый вид поля определяется собственными значениями, равными т и п. Теоретически все виды полей могут возбуждаться и существовать одновременно, однако большая часть этих частных полей затухает в волноводе.

Обозначим конкретный вид колебания через TEmn (или Н,п„). При этом коэффициент распространения будем находить из преды­ дущего выражения:

(8.22)

Коэффициент kmn в реальном волноводе (конечная проводи­ мость стенки и наличие потерь в диэлектрике, заполняющем волно­ вод) является комплексной величиной: kmn= amn + /ßm«- Для рас­ сматриваемого волновода с идеально проводящими стенками, запол­ ненного идеальным диэлектриком, т. е. волновода без потерь, коэффициент распространения kmn в соответствии с (8.22) — чисто мнимая величина {kmn= j$mn), если

или действительная величина (kmn — amn), если указанное неравен­ ство не выполняется. В последнем случае поле даного вида быстро уменьшается с расстоянием 2 вследствие экспоненциального мно­ жителя e~amnz. Поэтому, чтобы волна данной угловой частоты

ном диэлектрике, примененном для заполнения волновода) распро­ странялась в волноводе как волна типа ТЕтте(Нтп), соответствую­ щая этой частоте длина волны X в неограниченном диэлектрике должна быть меньше критической длины волны Якр. Величину ЯКр = = %тп находят из (8.22) и условия kmn = 0:

(8.23)

. Отметим, что иногда :[5] критическую длину волны и длину вол­ ны в неограниченном диэлектрике, называемую также рабочей дли­ ной волны, определяют по отношению к скорости с. Указанные ве­ личины связаны следующими соотношениями:

о __

•тп—

где е и р — электромагнитные параметры диэлектрика,

240

Критическая частота

волны в воздухе Прежде чем перейти к определению длины волны в волноводе,

установим, в каком направлении распространяется энергия в волно­ воде. Для этого воспользуемся (8.21) и примем во внимание, что

] —

kmn —/ßmn и j = e 2 . Тогда из (8.21) следует, что Е х будет в фазе с Ну, а Еу в противофазе с Н х, и, следовательно, они дадут опреде­ ленное значение вектора Пойнтинга в направлении оси Z, так как

Пср = Е хН у cos 0° + Е уН х cos 180°= Е хН у - Е уН х,

В поперечном же направлении происходит лишь колебание энергии, как это всегда бывает в случае стоячей волны.

Найдем длину волны в волноводе. С этой целью преобразуем, на­

Множитель sin(co^—ßmn2) в выражении (8.25) показывает, что имеет место бегущая волна, длина которой в волноводе Лв опреде­ ляется фазовым коэффициентом:

241