Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

— произвольные постоянные.

Функция Бесселя любого порядка при изменении р от 0 до р= рв остается конечной, тогда как функция Неймана стремится к бесконечности при уменьшении аргумента до нуля (см. рис. П .ІІІ.1). Если в решении (8.39) сохранить второе слагаемое, то составляю­

щая É z на оси волновода при р = 0 обратится в бесконечность, что противоречит физическому содержанию задачи. Поэтому для поля в цилиндрическом волноводе второе слагаемое решения (8.39) не­ приемлемо, и необходимо положить Hs = 0. Тогда общий вид част­

ного решения для Е г будет следующим:

Для определения собственных значений х воспользуемся гранич­ ным условием, заключающимся в том, что на идеально проводящих стенках волновода (при р= рв) продольная составляющая напря­ женности электрического поля (как тангенциальная составляющая) должна равняться нулю. Из (8.41) следует, что при р = рв состав­

ляющая E zm = 0, если /т (хрв)= 0 , где рв — внутренний радиус по­ перечного сечения волновода.

Значения аргумента, при которых функция Бесселя обращается в нуль, обозначим через emri —хрв, так что

252

Два индекса т и п необходимы вследствие того, что функция Бесселя т-то порядка равна нулю при определенных для данной функции значениях аргумента [см. (П .111.27) и рис. П.ІІІ.1]. Так как этих значений (корней) бесконечно много, то индекс п обозначает порядковый номер корня. Например, егз показывает значение аргу­ мента, при котором функция /г третий раз переходит через нуль. Значения трех первых корней етп для четырех функций Бесселя и подобных корней цтп для производных от указанных функций приведены в табл. 8.1.

Очевидно, каждому значению гтп соответствует собственное зна­

Соответствующее условие выбора по частоте следующее:

253

Фазовый коэффициент распространения для круглого волновода с учетом того, что 6B = /ß, находят по (8.38):

Из сопоставления (8.45) с (8.25а) и предшествующих выкладок следует, что для круглого волновода фазовый коэффициент распро­ странения и длина волны в волноводе, а следовательно, групповая

\ V е(А ? )

критическую длины волн по формулам, аналогичным формулам для прямоугольного волновода (8.26), (8.27), (8.29).

Поперечные составляющие напряженностей электрического и магнитного полей определяют так же, как и в случае прямоугольно­ го волновода, на основе шести уравнений Максвелла, записанных в скалярном виде в цилиндрической системе координат, с учетом

Яг = 0 и найденного решения для É z (8.41). После выполнения необ­ ходимых преобразований находим:

функции по ее аргументу (кр).

Формулы (8.41) и (8.46) представляют собой решение поставлен­ ной задачи. Так как число собственных значений т и п бесконечно,

то общие решения для всех составляющих поля ( E z, Е 9, È 9 , Н е , Н 9) записываются в виде бесконечных сумм от правых частей указанных формул по т и п подобно суммам (8.21).

Из условия (8.44) следует, что наибольшая критическая длина соответствует тому типу волн, для которого гтп наименьшее. Этой волной, как следует из табл. 8.1, будет волна типа ТМ0і (Е0і), так

254

Подставляя т = О, п = 1 и еоі = 2,405 в формулы (8.41), (8.46), убеждаемся, что векторы поля для этого типа волн имеют только три составляющие, которые с учетом /0'(хр) = —/ і(хр) и kB= jß оп­ ределяются следующими выражениями:

Ë z= E 0z^ m J 0( 2 , m PlpB),

через радиусы и ось z (линии Е ). Необходимо отметить, что поле рассматриваемой волны подобно полю волны Ец в прямоугольном волноводе (см. рис. 8.15).

Из проведенного рассмотрения следует, что волна типа Еоі име­ ет круговую симметрию.

255

Поперечно-электрические волны в круглых волноводах

Рассмотрим особенности поперечно-электрических волн (ТЕ или Н) в круглых полых волноводах. В этом случае решается в цилинд­ рической системе координат уравнение Гельмгольца относительно

составляющей H z. Очевидно, решение будет аналогично (8.41), т. е.

Выражения для поперечных составляющих можно получить с по­ мощью принципа перестановочной двойственности и формул (8.46), сделав в последних следующую перестановку:

еа^ - ( ѵ

Напишем выражение, например, для составляющей Еѵ, к кото­ рой затем применим граничное условие как к тангенциальной со­ ставляющей электрического поля на внутренней поверхности круг­ лого цилиндрического волновода.

Подставляя в (8.46) вместо #<рт, E qz и еа соответственно Е Чт, Н Ог и —ца, находим

É vm= H 0ze~k*zj'm(хр) cosдар. (8.49)

У,

На цилиндрической стенке волновода тангенциальная составляю­ щая напряженности электрического поля должна равняться нулю:

4>/»(Р = Рв) = °-

Подставляя в (8.49) р= рв и приравнивая нулю, приходим к сле­ дующему уравнению для определения собственных значений:

Уравнение (8.50) отличается от уравнения (8.42), поэтому здесь будут иные и собственные значения. Обозначим значения аргумен­ та, при которых производная функция Бесселя обращается в нуль, черѳз

J т(SAmn)==0,

где п — порядковый номер корня для уравнения (8.50) при данном порядке функции Бесселя.

Значения первых трех корней для производных четырех функций Бесселя, как указывалось, приведены в табл. 8.1. Собственные зна­ чения получают из равенства, подобного (8.43):

,V'mn __ Ѵ'тп

Рв

■ 256