Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

При этом направление обхода контура должно образовывать с направлением нормали п0 к поверхности^, опирающейся на контур L, правовинтовую систему.

Максвеллом было сделано предположение, что закон полного тока справедлив и для переменных полей, если в правой части к то­ ку проводимости добавить ток смещения. Существование этого то­ ка вытекало из предположения, что магнитное поле может возни­ кать не только при движении свободных зарядов, в частности, при наличии тока проводимости, но и в случае переменного электриче­ ского поля в отсутствии свободных зарядов.

Из курса физики известно, что плотность тока смещения связа­ на с вектором электрической индукции соотношением

Тогда ток смещения через поверхность 5 будет равен

Полный ток всегда является замкнутым током. Так, например, в случае цепи переменного тока, состоящей из проводов с последова­ тельно включенным конденсатором, ток проводимости, имеющий место в проводах, замыкается током смещения конденсатора.

С учетом оказанного закон полного тока для переменных полей, называемый обобщенным законом полного тока или первым урав­ нением Максвелла в интегральной форме, запишется следующим образом (см. рис. 2.1):

Из первого уравнения Максвелла в интегральной форме следу­ ет, что магнитные силовые линии всегда сцеплены с полным током (охватывают ток), который является суммой тока проводимости и тока смещения. Следовательно, магнитное поле создается как тока­ ми проводимости, так и токами, определяющимися изменением элек­ трического поля во времени. Отметим, что на основании (1.4) ток смещения состоит фактически из двух составляющих

Первая составляющая, определяемая скоростью изменения век­ тора электрической индукции в вакууме, является плотностью элек­ трического тока смещения в вакууме. Следует обратить внимание

27

на условность последнего термина, который был введен в то время, когда признавалось существование эфира. При этом ток смещения в вакууме представлялся, как процесс механического смещения частиц эфира.

С современной точки зрения общим между токами смещения в вакууме и токами проводимости является только то, что они одина­ ковым образом возбуждают магнитное поле, т. е. одинаково входят в правую часть уравнения (2.1) [11]. Во всех остальных отношениях эти токи отличаются друг от друга [13]. Наиболее важным отличием является то, что токи проводимости связаны с движением электри­ ческих заряженных частиц под действием электрического поля, тогда как токи смещения в вакууме не связаны с ним. Они соответ­ ствуют лишь изменению во времени напряженности электрического

поля [$сый~ Ч — \.

Вторая составляющая тока смещения называется плотностью электрического тока поляризации. Этот ток образован поперемен­ ным смещением в атомах вещества связанных зарядов (например, смещением орбит электронов относительно положительно заряжен­ ных ядер атомов):

где V — вектор скорости движения связанных зарядов. Следовательно, вторая составляющая тока смещения по своей

природе подобна току проводимости.

В заключение введем понятие конвекционного тока (ік, 8К) . Кон­ векционный ток представляет собой движение заряженных частиц в среде, не обладающей электропроводностью (например, в вакуум­ ной трубке). Плотность конвекционного тока

г’пр и /см, также конвекционным током гк, то множитель в скобках

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме

В основе второго уравнения Максвелла в интегральной форме лежит соотношение, выражающее явление электромагнитной индук­ ции, открытое Фарадеем в 1831 г. Указанное соотношение связы-

28

вает электродвижущую силу, наводимую в проводящем контуре, с изменением во времени магнитного поля:

величине равна скорости изменения магнитного потока, пронизы­

Изменив порядок дифференцирования и интегрирования в пра­

Обобщение закона электромагнитной индукции по Максвеллу заключается в отказе от ограничения, наложенного на этот закон словами «проводящий контур». Согласно Максвеллу соотношение (2.5) справедливо для любого контура независимо от того, являет­ ся ли этот контур проводящим или произвольно выбранным в ди­ электрической среде. С учетом распространения на любой контур интегрирования выражение (2.5) называют вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Это уравнение связывает цирку­ ляцию вектора напряжености электрического поля Е по произволь­ ному замкнутому контуру L с магнитным потоком, пронизывающим этот контур, т. е. с интегралом от вектора В, взятым по поверхно­ сти S, опирающейся на контур L. Из уравнения (2.5) следует, что всякое изменение магнитного поля во времени непременно вызывает (независимо от параметров среды) появление электрического поля.

29

Третье и четвертое уравнения Максвелла в интегральной форме

Третьим и четвертым уравнениями Максвелла в интегральной форме являются известные из физики равенства Гаусса — Остро­ градского для векторов электрической и магнитной индукции. Эти уравнения также можно постулировать. Тогда исходя из них и пер­ вых двух уравнений Максвелла можно найти как их следствие урав­ нение непрерывности тока. Однако уравнение непрерывности тока можно получить также на основе закона сохранения заряда. В этом случае указанные уравнения Максвелла можно найти из уравнения непрерывности тока и первых двух уравнений Максвелла. Следова­ тельно, третье и четвертое уравнения Максвелла в рассматриваемом случае не являются независимыми. Здесь будем постулировать ра­ венства Гаусса — Остроградского для электромагнитного поля, а в следующем параграфе выведим их исходя из уравнения непрерыв­ ности тока. Равенство Гаусса — Остроградского для вектора элек­ трического смещения записывается так:

(2.6)

Из третьего уравнения Максвелла (2.6) следует, что поток век­ тора смещения через замкнутую поверхность 5 равен сумме заря­ дов, имеющихся в объеме, заключенном внутри указанной поверх­

Рис. 2.3 Рис. 2.4

ности. При этом, если заряд положителен, то линии вектора смеще­ ния выходят из поверхности, внутри которой заключен этот заряд (рис. 2.3, а); в случае же отрицательного заряда линии вектора смещения входят в этот объем (рис. 2.3, б).

Таким образом, силовые линии электрического поля имеют нача­ ло и конец.

Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю, так как не существуют магнитные заряды, т. е.

(2.7)

Приведенное соотношение называется четвертым уравнением Максвелла в интегральной форме. Из него следует, что число сило­

зо

вых линий В (Н ), входящих в объем через замкнутую поверхность S, всегда равно числу выходящих силовых линий (рис. 2.4).

Таким образом, силовые линии магнитного поля не имеют ни на­ чала, ни конца, т. е. они либо замкнуты или уходят в бесконечность. В силу сказанного уравнение (2.7) представляет собой математи­ ческое выражение принципа непрерывности магнитного потока.

поверхности Si численное значение вектора DDHDm одинаково, а направление сов­ падает с направлением положительной нормали к поверхности Si, то

Cp Dünern d S — О ткт4 я г j — q .

§ 1

Тогда электрическая индукция и напряженность поля вне шара будут равны:

2. Для определения поля внутри шара проведем сферическую поверхность S 2 радиуса г2< а . На основании равенства Гаусса — Остроградского запишем

(j/ D BHyTpdS — й в п у гр Ы г2 ?внутр.

q

Найдем объемную плотность заряда р =

я as

Тогда заряд внутри области, ограниченной поверхностью S 2, будет равен

<7внутр— g рЯГ2 — q ^

31

§ 2.2. УРАВН ЕН И Я М А К СВЕЛ Л А В Д И Ф Ф Е РЕН Ц И А Л ЬН О Й ФОРМ Е И ИХ Ф И ЗИЧЕСКИ Й СМ Ы СЛ

Уравнения (2.1), (2.5), (2.6) и (2.7) связывают интегральные эффекты векторов поля (циркуляцию, поток) в некоторой области с совокупностью зарядов и токов, имеющихся в этой области. Однако во многих случаях представляет интерес связь между векторами по­ ля в данной точке с зарядами и токами (точнее, с плотностями заря­ дов и токов) в той же точке. Эта связь математически представляет­ ся дифференциальными уравнениями Максвелла.

Получить дифференциальные уравнения из интегральных урав­ нений можно двумя путями (принципиально мало отличающимися):

1) непосредственным определением предельных отношений цир­ куляции векторов поля по замкнутому контуру и потоков этих век­ торов через замкнутую поверхность соответственно к площади по­ верхности, ограниченной контуром, и объему, заключенному в ука­ занной замкнутой поверхности;

2) применением к интегральным уравнениям теорем Стокса и Остроградского — Гаусса (см. приложение III) .

Напомним, что теорема Стокса связывает линейный интеграл от любого вектора по замкнутому контуру (циркуляцию вектора) с ин­ тегралом по поверхности, ограниченной этим контуром:

Первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме

Для получения первого уравнения Максвелла в дифференциаль­ ной форме возьмем отношение циркуляции вектора Н по замкнуто­ му малому контуру ДL (рис. 2.5) к площади AS, охватываемой контуром, через которую проходит полный ток Дгп. Тогда в соответ­ ствии с уравнением (2.1) будем иметь

<£ші А ____ = діп

AS AS

32