Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 213

Скачиваний: 9

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Запишем пределы, к которым стремятся левая и правая части равенства, когда AS—»0. Предел левой части характеризует магнит­ ное поле в данной точке (контур AL стягивается к точке М) и пред­ ставляет собой проекцию ротора вектора Н на направление норма­ ли п0 к поверхности AS, опирающейся на рассматриваемый контур

AL:

<£Heil

lim

—----- = r o t sH = n0rotH.

AS-*0

AS

Предел правой части дает проекцию вектора плотности тока на

ту же нормаль:

lim —

'nS-

»ns

rots H

 

AS-O AS

 

 

 

Следовательно,

8ns-

 

 

 

rotsH =

 

 

При определенном положении элементарно­

 

го контура в пространстве (когда

он будет в

 

рассматриваемой точке перпендикулярен к век­

 

тору плотности полного тока) указанный пре­

 

дел отношения будет максимален и равен ро­

 

Н:

 

5нр —j—Зсм.

(2.10)

Рис. 2.5

тору вектора rot Н = Зп =

Соотношение (2.10) называется первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме. С помощью интегрального соотноше­

ния (2.1) и теоремы Стокса (2.8)

указанное уравнение находят сле­

дующим образом:

 

(j) H d l= j* rotHdS.

(j>H dl=)‘ 8ndS и

L

S

i S

 

Так как левые части обоих соотношений одинаковы, то равны и их правые части, т. е. fsrot HdS = fs3ndS.

Из равенства приведенных интегралов для произвольной поверх­ ности S следует равенство подынтегральных функций, т. е. полу­ чаем уравнение (2.10).

Физический смысл дифференциального уравнения (2.10) заклю­ чается в том, что в любой точке напряженность магнитного поля определяется плотностью полного тока в этой точке. При этом все виды токов независимо от причин их возникновения (ток проводи­ мости, ток смещения, конвекционный ток) являются равноценными в смысле возбуждения ими магнитных полей.

Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме

Из интегрального соотношения (2.5) аналогично тому, как было получено уравнение (2.10), находим второе уравнение Максвелла

2—3195

33

в дифференциальной форме:

•

rot Е = — — .

(2.11)

 

dt

 

Уравнение (2.11) устанавливает связь между электрическим по­ лем и его изменением в пространстве с изменением магнитного поля во времени. При этом изменяющееся во времени магнитное поле создает вихревое электрическое поле. Таким образом, наряду с электрическим полем, создаваемым электрическими зарядами, мо­ жет существовать вихревое электрическое поле.

Уравнение непрерывности тока.

Третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Для полной характеристики электромагнитного поля необходи­ мо к полученным основным дифференциальным уравнениям Макс­ велла присоединить уравнение, выражающее закон сохранения за-’ ряда в дифференциальной форме или принцип непрерывности элек­ трического тока в общем виде. Для этого будем исходить из закона сохранения заряда в интегральной форме (1.1). В соответствии с (1.1) ток і'з .п , вытекающий из весьма малого объема ЛѴ, ограничен­ ного замкнутой поверхностью AS, будет сопровождаться уменьше­ нием заряда (Лд = рЛѴ) в этом объеме. Возьмем отношение левой и правой частей выражения (1.1) к объему ЛѴ при стремлении по­ следнего к нулю:

дѵ->о

с£ BripdS

дк->о

 

V

 

lim —--------=

_ l i m - i f - ^ L ) .

 

X V

 

dt

 

XV J

Левая часть полученного соотношения в соответствии с опреде­ лением представляет собой div 6пр, а правая — производную по вре­

мени от плотности заряда в рассматриваемой точке ^

Окончательно закон сохранения электрического заряда в дифферен­

циальной форме запишется следующим образом:

2 12

div3np=

д ?

( . )

dt

При постоянном токе плотность зарядов по всему объему про­

водника постоянна во времени

o j . Поэтому

divönp = 0.

Последнее равенство выражает принцип непрерывности постоянно­ го электрического тока в дифференциальной форме. Пользуясь уравнением (2.12) и полученными ранее дифференциальными урав­ нениями Максвелла, найдем еще два соотношения, которые также причисляют к дифференциальным уравнениям поля. Для этого определим дивергенции векторов, входящих в левую и правую части

34

первого уравнения Максвелла в дифференциальной форме (2.10):

div (rot Н) = div 8пр - f diV 5СМ= div 3np- f div

.

Левая часть этого выражения тождественно равна нулю (см. приложение III), так как линии ротора любого вектора всегда замк­ нуты. Во втором члене правой части можно поменять местами

div и — , так как операции дифференцирования производятся по

разным, не зависящим друг от друга, переменным (в первом случае по координатам, во втором — по времени). С учетом сказанного можно написать

.

div8np+ -£ -(d iv D ) =

0 или -£-(div D ) = — div 5пр.

 

,

v dt

 

 

dt

F

Принимая во внимание (2.12), получим

 

 

 

dt

 

 

(t)

 

 

 

 

 

dpdi

 

 

 

— (div D)

 

 

 

 

 

v

;

 

 

Проинтегрируем по времени (полученное выражение:

div D = j * dt-\- Po= P Po>

где p(/) и po — плотности соответственно переменного и постоянно­ го зарядов.

Введя обозначение p(t)+po = p, окончательно получим

третье

уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

(2.13)

div D — р.

Отличие от нуля дивергенции электрического смещения отра­ жает в дифференциальной форме то обстоятельство, что линии электрического поля не замкнуты, т. е. имеются их начало и конец. При этом в точках, где divD=/=0, эти линии начинаются ( + <7) или кончаются (—q) (см. рис. 2.3).

Для получения четвертого дифференциального уравнения Мак­ свелла определим дивергенции векторов, образующих уравнение

(2.11). Тогда

div f = — (div В)==0.

\ dt )

dt у

’

Следовательно,

div В = const.

В. курсе физики исходя из отсутствия в природе магнитных за­ рядов, подобных электрическим зарядам, обосновывают непрерыв­ ность силовых линий постоянного магнитного поля. Поэтому необ­ ходимо принять, что

div В = 0.

(2.14)

2*

35

Полученное соотношение называется четвертым уравнением Максвелла в дифференциальной форме. Оно выражает принцип непрерывности магнитного потока в дифференциальной форме. Из этого уравнения следует, что силовые линии любого магнитного по­ ля замкнуты.

Отметим особенность уравнения (2.13) в случае проводящей среды. С этой целью воспользуемся для такой линейной однородной изотропной среды законом Ома (1.12), уравнением непрерывности тока (2.12) и указанным уравнением поля. Тогда приходим к урав­ нению

Решение этого уравнения будет иметь вид

где рі — плотность заряда в рассматриваемой точке в момент вре­ мени 7 = 0.

Из решения следует, что плотность заряда в каждой точке вну­ три проводящей среды убывает со временем, причем время убыва­

ния мало, так как

величина — весьма большая

(для металлов

7э

Следует указать,

что убывание зарядов внутри

проводника со

временем не означает, что заряды исчезают. Они задерживаются на наружной поверхности проводника.

Таким образом, при установившихся процессах во внутренних точках проводящей среды объемная плотность зарядов равна нулю (р = 0) и, следовательно, D = 0.

В заключение покажем, как получить из уравнений (2.13) и (2.14) уравнения в интегральной форме (2.6), (2.7). Для этого про­ интегрируем левые и правые части указанных дифференциальных уравнений по объему и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса (2.9). Тогда на основании (2.13) находим

откуда получаем равенство (2.6):

(|>DdS = £<7. s

Исходя же из (2.14) находим соотношение (2.7):

3G

Эквивалентные скалярные уравнения

Из вышеизложенного следует, что электромагнитное поле опи­ сывается четырьмя дифференциальными уравнениями, из которых первые два — векторные, а третье и четвертое — скалярные. Каж­ дому векторному уравнению соответствуют три скалярных уравне­ ния, т. е. электромагнитному полю соответствуют 8 скалярных урав­ нений, связывающих составляющие его векторов. Вид развернутой записи этих скалярных уравнений зависит от выбранной системы координат (см. приложение III).

Пользуясь приложением III, запишем скалярные дифференци­ альные уравнения электромагнитного поля в прямоугольной систе­ ме координат. В этом случае уравнение (2.10) в развернутом виде записывается так:

х„

дНг

д Н у

+ Уо

дНх

d H z

 

ду

dz

dz

дх

+

Z0

------ j ~

Х о К х +

У(Агі/ +

z 8 nz-

Векторы равны, если равны их составляющие, т. е. имеют место

три скалярных,

уравнения— °ІЫГ> :

•,

д Н г

--- °ІІІЬ

л

д Н х

—

°nz*

д Н г

д Н у

s

д Н х

s

д Н у

 

s

ду

dz

 

 

dz

дх

 

дх

ду

 

 

Аналогично получаем три скалярных уравнения на основании (2.11). Скалярные же уравнения типа (2.13), (2.14) в развернутом виде в прямоугольной системе координат записываются следую­ щим образом:

д Р х

I

d D y

I

dPz

__ р ^

д В х

I

д В у

,

dBz

____

q

дх

ду

dz

дх

ду

dz

 

Вопросы для самопроверки

1. Назовите возможные пути перехода от интегральной к дифференциальной форме записи уравнений Максвелла.

2.Получите двумя способами первое и второе уравнения Максвелла в диф­ ференциальной форме и поясните их физический смысл.

3.Найдите уравнения непрерывности электрического тока, а также третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме и поясните их физи­ ческий смысл.

§2.3. ГРАН И ЧН Ы Е УСЛ О ВИ Я Д Л Я ВЕКТОРОВ

ЭЛ ЕК ТРО М АГН И ТН О ГО ПОЛЯ

Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в случае, когда векторы поля меняются скачком (теоретически), на­ пример, на границе раздела двух сред с различными электромаг­ нитными параметрами. Реально обычно имеется плавный весьма быстрый переход от значений параметров одной среды до значений

37

Смотрите также файлы