Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 239
Скачиваний: 2
Основные формулировки граничной задачи |
71 |
При многомодовом возбуждении антенной решетки, представ-
.1
ленном, например, суммой 2 АгФг в выражении (36), определение
1=1
некоторых параметров решетки связано с математическими трудпостами, хотя само многомодовое возбуждение не вызывает затруд нений.
Важные для практики случаи многомодового возбуждения заслуживают особого внимания. Рассмотрим возбуждение волново дов двумя гармониками, которые часто бывают вырожденными (например, две ТЕп-волны в круглом волноводе). Одну из них можно представить горизонтально поляризованной (по оси х) волной ТЕХ1 = Фх, другую — вертикально поляризованной (по оси у) волной ТЕП = Ф2. С помощью этих двух линейно поляри зованных волн осуществляется ортогональное двухканальное воз буждение волновода. Используя простое унитарное преобразова ние второго порядка, можно найти две другие ортогональные вол ны или два других канала, чтобы наиболее удобно описать воз буждение волновода. Если сумма
( 6 9 )
представляет собой требуемое относительное возбуждение двух выбранных каналов, то нормированную амплитуду волны в волно воде можно найти по формуле
Ф].Х : |
Msl2)1/2 |
ФХ |
фо |
(70) |
(Ml |
|
(Ml 14-M il2)1/2 |
|
Нормированная гармоника, ортогональная к этой волне (ортого нальный канал), определяется выражением
Ф2ДГ' |
МП |
Фы |
Aj I |
А-2I |
Фч. |
(71) |
(I A i |2 + | Л 2 |2)1/2 |
Mil2 + |
А212)1/2 |
||||
|
|
|
|
|
В случае круглого (илп квадратного) волновода, когда в качестве Фх и Ф2 целесообразно выбрать линейно поляризованные волны,
для |
волн с круговой поляризацией полагают А х — ± /И 2, где |
знак |
определяется выбранным направлением вращения. |
2.4. Собственные значения интегральных операторов. Вариационные принципы. Волноводные модели
Наиболее важным параметром ФАР является нормированная входная проводимость элемента антенной решетки при заданном типе волны в волноводах. Соотношение (56) связывает входную проводимость с коэффициентом отражения. Поэтому вывод интег рального уравнения для собственных значений, в которых входная проводимость увх берется в качестве собственного значения, пред ставляет большой интерес.
72 Глава 2
Уравнение для собственных значений, краткий вывод которого приводится ниже, важно по нескольким причинам. Хорошо изве стно [6], что уравнение для собственных значений, в котором соответствующий оператор обладает требуемыми свойствами, мож но использовать для получения вариационно устойчивого выраже ния для собственного значения. В этом выражении для неизвестно го поля Е< можно использовать приближение первого порядка и получить приближение второго порядка или даже более точную аппроксимацию искомого собственного значения (в данном случае увх)- Кроме того, условия, которым должна удовлетворять геометрия антенной решетки, чтобы существовало вариационное выражение, идентичны требованиям, предъявляемым при кон струировании волноводных моделей решетки [10—13]. [Волновая модель решетки представляет собой прямоугольный (иногда тре угольный) волновод, который располагается в области z ^ 0 над решеткой так, чтобы закрыть заданное число ее излучателей. С помощью такого волновода, нагруженного на его характеристи ческое сопротивление, можно смоделировать свободное простран ство над решеткой для некоторых частных направлений луча.. Ниже будут рассмотрены требования к симметрии решетки, кото рые приводят к возможности такого моделирования.] При выводе этого выражения станет очевидной связь между внутренней гра ничной задачей (границами являются проводящие стенки) и зада чей для ФАР, в которой имеется система периодически располо женных стенок.
Будем считать, что к раскрыву каждого волновода приходит волна только одного типа, п поэтому положим в уравнении (44) / = 1 и А г = 1. Поскольку все эффекты, обусловленные возбуж дением в волноводе нескольких падающих волн, можно учесть на основе принципа суперпозиции, то это предположение не умень шает общности выводов. С помощью выражения (28) интегральное уравнение (44) можно преобразовать в уравнение для собственных значений:
Ув^У1^ 1 (г) j j |
Ф! • Ei da' = j j |
1/гФ« (г) Фг (г') + |
|
|
|
.4 ' |
A ' |
i= 2 |
|
2 |
оо |
со |
|
|
+ 2 |
2 |
2 ^pma^ p m n (r)4 % 4 r')]-E ,(r')d a', |
(72) |
|
Р=1 —00 —00 |
|
|
||
где собственное значение yBXl — входная проводимость, определен
ная выражением (56); вектор г определяет координаты х и у точки в области А'\ da' — элемент площади в точке г'. Уравнение (72) для собственных значений является частным случаем уравнения
Основные формулировки граничной задачи |
73 |
обобщенной задачи о собственных значениях:
z/BXi0iE/ = 0Ei, |
(73) |
в котором интегральные операторы 0 Хи 0 определяются выра жениями
© 1 = г/х j j Ф. (г) 0>1 (г')-------- |
da' |
(74) |
и
OQ
© = j J [ 2 г / ^ ( г ) Ф ; (г') +
A ' г= 2
2 |
со |
со |
|
|
+ 2 |
2 |
2 ^m n'F pmn(r)4 ^mn(r')] |
da'. |
(74а) |
В обычных уравнениях для собственных значений оператор 0 г является оператором идентичности. В данном частном случае обобщенного уравнения оператор 0 Хпредставляет собой обособлен ное парное произведение. Можно показать [6, 14], что существует (и притом единственное) собственное значение z/DXи единственная собственная функция Е ( — решение уравнения (72). Таким обра зом, можно предположить, что в общем случае уравнение (44) так же имеет единственное решение [6, 16]. Особого внимания заслу живает то, что оператор 0 не является симметричным в комплекс ном пространстве, и поэтому в некоторых случаях не очевидно, что из уравнения (72) можно получить вариационное выражение.
Для получения вариационного выражения преобразуем уравне ние (72) в комплексно-симметричной форме. Это можно сделать двумя способами. При первом способе [17], который будет рассмот рен ниже, выявляется связь между проведением преобразования и конструированием волноводной модели. Для проведения пре образования мы потребуем, чтобы структура волноводной антен ной решетки была инвариантной для операторов группы отраже ний Fx и Fy и симметрии R z [8]:
Fx— оператор отражения в плоскости yz, |
|
|
Fy — оператор |
отражения в плоскости xz, |
(75) |
Rz — оператор |
поворота вокруг оси z на 180°, |
Rz = FxFy — FvFx. |
Если выполнены эти условия, мы можем сфазировать антен ную решетку таким образом, чтобы она имела одновременно четыре луча (рис. 2.7), для которых
01 = 02 = 03 = 04= 0, Ч>1 = Ф» ф2 = Я— ф, фз^Я + ф,
ф 4 = — ф ,
74 |
|
|
Глава 2 |
|
|
||
ИЛИ |
(Тх1, Тг1) = |
(ТХ, Ту), |
|
|
|||
|
(Тл-21 Ту%) = |
( |
Тх, Ту), |
|
|
||
|
(Тхз, 7’уз) = ( - 7 1.г-, -Г » ), |
|
|||||
|
(Г,4, ?V) = |
(?’,, - |
|
|
|||
При этом распределение электрического поля имеет вид |
|
||||||
Sn = {%х (ж, |
У, z), |
%у (х, у, z)} = |
Е,, |
|
|||
8/2 = |
{ —8*( — а;, у, z), |
g„( —.т, г/, s)}, |
|
||||
8/3 = { —%х( — X, |
— У, z), — %у ( —X, —у, z)}, |
' |
|||||
8 / 4 = |
{ ^ х i x i |
У 1 z)> |
|
Ш у ( х , |
у , Z ) } . |
|
|
С помощью соотношений (77) и (38) можно найти результирую-
Рис. 2.7. Возбуждение четырех лучей при волноводном модели ровании.
щее электрическое иоле 8* во внешней области (z> 0):
8 г = |
|
Укх |
|
|
X |
|
|
|
|
|
^V bdV fc* |
m |
+** |
|
|
|
|
||||
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V 2mn |
“Ь |
lmn |
sin kx |
x cos /с„ |
I/ |
|||
х е |
iTmnz |
|
m |
unJ |
||||||
V2mn |
k„ |
|
cos |
|
a;sin k„ |
• (78) |
||||
|
|
|
|
^ lmn |
m |
у |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
una |
||
Основные формулировки, граничной задачи |
75 |
||
Используя формулы (11) и (12) для кхт и ку , можно |
показать, |
||
что для управляющих фаз |
|
|
|
, |
, |
я/ |
|
Ф., = Ф*/5= — |
|
||
и |
|
|
(79) |
где /, g — нечетные целые |
числа, |
s, h — целые числа; результи |
|
рующее электрическое поле удовлетворяет равенствам |
|||
со |
г\ |
hd |
, |
ШХ1= 0 при |
y = ± ~ Y |
||
|
|
|
(80) |
%yt = 0 при х — ± |
. |
||
Следовательно, в этих сечениях, не нарушая распределения поля, можно установить металлические стенки, получив конструкцию, в которой один или несколько волноводов решетки будут излучать энергию в один более крупный волновод. Таким образом, для бесконечной антенной решетки при некоторых направлениях сканирования получен эквивалент в виде волноводного перехода. Волноводное моделирование ФАР возможно [18] для управляю щих фаз, удовлетворяющих соотношениям (79).
Из выражения (78) можно найти систему вещественных орто-
нормированных |
гармоник Ч^ртп для |
свободного |
пространства |
||
(z ^ 0), которые будут ортогональными |
в расширенной |
прямо |
|||
угольной области, |
определяемой формулами (80). |
Эта |
область |
||
(выделенная на |
рис. |
2.7 прямоугольным контуром) |
обозначается |
||
как A s (площадь волноводной модели). Таким образом, если воз можно осуществление волноводной модели, то задача оказывается типичной внутренней граничной задачей и можно получить вариационно устойчивое представление [19].
Систему волноводных гармоник Фг- можно переопределить таким образом, что новые гармоники будут ортонормированными в области As. Прежде всего перейдем к обозначениям с тройным
индексом [см. |
выражение (25а)]: |
|
|
|
Ф( |
Фртп |
|
и выберем те |
гармоники, которые удовлетворяют соотношению |
||
|
Фрт„ ( - * , - ? ) |
= ( - 1Г+ПФртп (*, У) |
(81) |