Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 235
Скачиваний: 2
Основные формулировки граничной задачи |
61 |
оператора идентичности [6]:
00 |
|
Ег (х, у) = £ | [ 2 Фг(.г-, г/)Ф,-(ж', г/')]-Ег (ж', y’)dx'dy'. |
(33) |
Аг=1
•Отметим, что благодаря полноте системы функций Фг в области А
•сумма их парных произведений [6] представляет собой 6-функцию
_ |
|
оо |
Ф г (х, у) Ф г {х , у’), |
|
/ 6 (х — х') 6 (у — у') = |
2 |
( 3 4 ) |
||
|
|
7= |
1 |
|
где / — единичный |
трехмерный |
матричный оператор. Интеграль |
||
ный оператор |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
j I [ |
2 ф г(я> г/) Фг (ж', г/')]------dx dy' |
(35) |
||
Аг=1
является оператором идентичности [6] в пространстве векторных функций.
Используя определение оператора идентичности, выражения (26) и (31) можно переписать в виде
J |
|
|
ОО |
|
Е/ (я, у) — 2 |
+ ^ 0 Ф: |
JJ[ S Ф*Ф«] ‘Ег dx' dy' |
(36) |
|
7 = 1 |
|
A |
J+ 1 |
|
И |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
— z X Нг (х, у) = 2 |
(Ai — Hi) г/гФг — |
|
|
|
7=1 |
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
— j j |
[ 2 |
УгФгФгJ • Ег dx' dy'. |
(37) |
|
A |
J + 1 |
|
|
Оператор в выражении (37) можно рассматривать как оператор проводимости в отличие от единичного оператора в выражении (36).
Для составления интегральных уравнений или получения при ближенных или точных (где это возможно) решений необязательно использовать интегральные выражения (36) и (37). Однако в каче стве общей схемы решения они оказываются полезными, так как приводят к стандартной форме интегральных уравнений с сингу лярны м ядрами.
В свободном пространстве поперечную составляющую электри ческого поля можно представить с помощью полной системы векторных пространственных гармоник (гармоник Флоке). Поскольку падающая волна приходит только со стороны волново дов, эти гармоники должны иметь вид воли, распространяющихся в положительном направлении z к z = оо. Таким образом,
2 |
оо |
со |
(38) |
$1 {х, у, Z > 0)= 2 |
2 |
2 VpmiAPpmnix, у , z)e зГ™п\ |
Р = 1 7 П = — СО ? г = - С О
62 |
Глава 2 |
где Vpmn — неизвестные коэффициенты разложения электрическо го поля. Используя ортопормированность пространственных гар моник [выражение (20а)] при z = 0+, мы можем найти Vpmn:
|
Ирпш— J j" ^ртп (х, у)‘Ег(.т, y)dxdy. |
^gg^ |
|
|
|
л |
|
то |
Здесь для электрического поля в области z = 0+ мы приняли |
||
же обозначение |
Еь которое было использовано для области |
||
z = |
0“ [выражение |
(28)]. Выражения (28) и (39) составляют выра |
|
жение непрерывности Ef в раскрыве (при z = 0). Найдем теперь выражение непрерывности Нг в раскрыве.
Выражение для 3€t (х, У, z^O ) с помощью пространственных гармоник и волновых проводимостей можно написать в следующем виде:
|
|
|
2 |
со |
со |
|
|
— z X |
(.г, у, z > |
0)= |
2 |
2 |
2 VpmnYpmn4rpmne~:irmnZ. |
(40) |
|
|
|
|
Р = 1 |
— сю |
— оо |
|
|
Используя выражение (39), |
находим |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
со оо |
|
|
— Z х |
Н* (ж, у , Z = |
0+) = |
Ц [2 2 2 |
X |
|
||
|
|
|
Л |
р = 1 — оо — со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ХЕ tdx'dy'. |
(41) |
Поскольку в раскрыве волновода может быть установлена диа фрагма (рпс. 2.3), необходимо положить Ег = 0 в области А — А'.
Это условие легко удовлетворяется заменой А па А ' , т. |
е. в выра |
жениях (37) и (41) |
(42) |
А -+ А '. |
Приравниваем, наконец, два выражения для z X Н, сделав это только на площадп А'. При этом областью изменения переменных х, у и х ', у' также является А'. Используя выражение (28) *) и равенство
(At — lit) г/гФ, — 2Нгг/;Фг — yt j j Фг-Е* dx’ dy’, |
(43) |
А' |
|
г ) Казалось бы, при наличии металлической диафрагмы выражение (28) использовать нельзя, так как
1 I |
dxdV^= &ih- |
A '
Но поскольку Ef = 0 в области A ливым.
— А ' , выражение (28) остается справед
Основные формулировки граничной задачи |
63 |
мы получим требуемую форму интегрального уравнения для электрического поля Ег
J СО
2 2 |
-^гг/гФг = ( [ |
[ 2 |
!^ф г (*> J/) Фг (х '> У') + |
|
|
г = 1 |
|
Л ' |
i = l |
|
|
2 |
ОО |
СО |
|
|
|
+ 2 |
2 |
2 5W |
F pmn(z, У) Пшп(х', г/')] -Е/ (*', y')dx' dy'. |
(44) |
|
р—1 — О О — ОО |
|
|
|
||
Одним из важных |
свойств уравнения (44) является то, |
что |
|||
оператор проводимости (или ядро) |
|
||||
|
ОО |
|
2 |
ОО со |
|
И [2 |
2/гФгФг + 222 +pmn'Fpmn'F )U ]--------dx' dy' |
(45) |
|||
А* |
г = 1 |
|
p = 1 — o o — co |
|
|
не изменяется при изменении магнитного поля падающей волны, равного половине левой части (свободного члена) уравнения (44). Поэтому левую часть легко можно изменить таким образом, чтобы учесть приходящие пространственные гармоники, а также любое другое поле возбуждения.
2.2. Интегральное уравнение для магнитного поля
Интегральное уравнение, в котором неизвестной функцией является тангенциальная составляющая магнитного поля Нг, можно получить так же, как и для электрического поля Ег. В этом случае используются волновые сопротивления вместо волновых проводимостей, ц вместо интегрального оператора проводимости получают интегральный оператор сопротивлений. Однако при наличии в раскрыве диафрагмы (рис. 2.3) нельзя записать все граничные условия с помощью единственного интегрального урав нения, подобного уравнению (44), так как в области А — А', занимаемой диафрагмой, функция Н( является разрывной.
Если диафрагма отсутствует, можно написать выражения для Нг (х , у, z = 0") и Н4 (х, у, z = 0+), которые при аналитическом продолжении соответственно на z = —ооиг = +оо удовлетворя ют условиям излучения в дальней зоне (г = ±оо). Используя полную в области А систему функций {Фг} и систему функций {\Fpmn}j полную ие только в области А, но и на единичной ячейке (b X d на рис. 2.3), получим
Н4(х, у, z = 0‘) = 2 ( Л —i?a) Фд (х, у)+ 2 к фч(х >У) |
(46) |
||||
9 = 1 |
|
|
|
g = J - f l |
|
И |
|
|
|
|
|
|
2 |
ОО |
ОО |
1ртгМГртп(х, у). |
|
Hi (*, у, z = 0+)= |
2 |
2 |
2 |
(47) |
|
|
р=1 ТП——СОП——О0 |
|
|||
64 |
Глава 2 |
В выражении |
(46) коэффициенты A q представляют собой задан |
ные коэффициенты возбуждения падающих волн. Величины R q, iq и I Ртп являются неизвестными коэффициентами, которые необходимо определить. Используя соотношения (20а) и (27),
можно |
представить выражения (46) |
и (47) в виде интегралов: |
||
|
|
j |
|
|
|
Н, (х, у, Z= 0 ) = 2 (А — R <i) ф <2А У) + |
|
||
|
|
9 = 1 |
|
|
|
_1_ V |
Ф? (х, у) j j |
(bq-lltdx dy' |
(48) |
и |
g = J + l |
|
|
|
|
222'A-™JJ^ •н<d x ' d- y (49) |
|||
Н(*, у, г = 0+) = |
||||
|
|
со со |
|
|
|
|
р — 1 —то —то |
С |
|
где С — площадь единичной ячейки. |
|
|||
Отметим, что Н ( (х, |
у, z — О-) равно нулю в области С — А, |
|||
а Нг (х, |
у, z = 0+) в этой же области отлично от нуля. Наведенные |
|||
поверхностные электрические токи на металлическом экране антен ной решетки в общем случае не равны нулю. Следовательно, ис пользуя в выражениях (48) и (49) одну и ту же функцию Н ( под
знаком интеграла, мы подразумеваем, что |
|
Н; = Нг (х, у, z = 0+) = Н/ (х, у, 2 = 0"). |
(50) |
Таким образом, соотношения (48) и (49) неявным образом выража ют непрерывность тангенциальной составляющей Н( в свободном
раскрыве А.
Если в области А находится диафрагма и А Ф А' (рис. 2.3), то нельзя использовать одни и те же выражения для Н ( в форму
лах (48) |
и (49) (кроме интегрирования по А'). Действительно, |
Н, (г = |
0+) и Н, (г = О-) не равны в области А — А~, занимаемой |
диафрагмой. Поэтому для Н ( не удается получить простого инте грального уравнения. Если А А ' , можно, конечно, в каждом конкретном случае сначала определить Et, решая уравнение (44), а затем по Ef вычислить магнитное поле Н (. Однако для простоты мы будем считать, что А = А'.
Если распространить область определения волноводных воли
на всю единичную ячейку таким образом, что |
|
|
Фд(я, у) = 0 |
при х, у£С — А, |
(51) |
то выражение (48) можно представить в виде |
|
|
J |
ОО |
|
Нг (х, г/, 2 — 0 ) —2 |
Rq) фд (■£> У) “Ь 2 ф 9 |
’ У) ^ |
9 = 1 |
9 = J + 1 |
|
X j j Фд-Нг dx' dy . |
(52) |