Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

X Яо2) (Л I ® —я' I) //J (х') dx' dx. (109)

Выражение (109) можно упростить, если использовать симметрию антенной решеткн относительно излучателя, который располо­

3. Методы решения

1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 3 выведены интегральные уравнения для граничных за­ дач, относящихся к бесконечным волноводным решеткам. Особен­ ностью этих уравнений является то, что ядра имеют внд бесконеч­ ных сумм, представляющих собой вклады типов волн в двух суще­ ственно различающихся «волноводах». Из-за сложности задачи такие интегральные уравнения не могут быть решены аналити­

чески, за исключением одного-двух частных случаев. Поэтому в этой главе основное внимание уделено численным методам решения.

Для применения численных методов необходимо сначала с помощью метода моментов перейти от интегрального уравненпя к системе линейных алгебраических уравнений. После этого мож­ но воспользоваться известными методами решения такой системы, среди которых наиболее распространенным является метод обра­ щения матрицы. Хотя обращение матрицы легко выполняется на электронных вычислительных машинах, эффективность решения зависит от ряда факторов, таких, как простота вывода системы линейных алгебраических уравнений н вычисления элементов матрицы. Известен ряд хороших функциональных представлений для искомого решения. В частности, во многих случаях базис волноводных типов волн дает ряд преимуществ по сравнению с другими базисамп.

Систему линейных алгебраических уравнений можно получать также путем применения процедуры Релея — Ритца к вариацион­ ному выраяшнию для входного импеданса (или проводимости) решетки. Условия справедливости вариационного принципа об­ суждены в гл. 2. В данной главе показано, что применение метода моментов при решении интегрального уравнения п процедура Релея — Ритца приводят к одной и той же системе линейных алгебраических уравнений. Предполагается, что решения, полу­ ченные методом моментов, автоматически удовлетворяют соотно­ шению взаимности независимо от их точности. Это имеет ваяшое значение для проверки верности решений.

Другой подход к решению интегральных уравнений основан на приближенной замене ядра вырожденным ядром. Из теории интег­ ральных уравнений хорошо известно, что интегральное уравнение

с вырожденным ядром можно свести к конечной системе линейных алгебраических уравнений. Можно показать, что при соответ­ ствующем выборе базиса приближенного решения системы линей­ ных алгебраических уравнений, полученные этим методом и мето­ дом моментов, совпадают. Следовательно, замена ядра вырожден­ ным ядром эквивалентна применению метода моментов.

Важным аспектом применения численных методов является вопрос о корректности и точности решения. Некоторые способы проверки верности решения подробно описаны в этой главе.

Для частного впда решетки из тонких параллельных пластин можно найти точное решение уравнений методом Винера — Хопфа или методом вычетов. Это решение, полезное во многих отношени­ ях, подробно рассмотрено в разд. 6. Поскольку уравнения, исполь­ зуемые в методе вычетов, выводятся из интегральных уравнений с помощью соответствующего выбора базиса, метод вычетов рас­ смотрен после метода моментов.

Вместо непосредственного обращения матрицы можно искать решение системы линейных алгебраических уравнений построе­ нием ряда Неймана, который быстро сходится во многих случаях. Этот метод также полезен для определения более точных границ погрешности решения.

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНОГО БАЗИСА

Граничные задачи, возникающие в теории антенных решеток, можно сформулировать в впде интегральных уравнений Фредголь­ ма первого пли второго рода. Поскольку интегральные уравнения первого рода более удобны для решения этих задач, мы рассмот­ рим главным образом эти интегральные уравнения. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода в операторной форме имеет вид

где К — линейный оператор, определяемый только геометрией решетки, у — известная функция, определяемая полем возбуждающего сигнала, х — неизвестная функция. Обычно к и у — векторные величины, а К — тензор *).

Область определения оператора, т. е. систему функций, на кото­ рую данный оператор действует, будем называть пространством

х) При постановке математической задачи возникают два вопроса: суще­ ствует ли решенпе и, если существует, то является ли оно единственным. Доказательство существования решения уравнения (1) довольно сложно, и оно выходит за рамки данной книги. Однако, имея дело с физической зада­ чей, можно считать, что решение существует, если задача верно поставлена. Что же касается единственности .решения, то следует помнить, что исходными уравнениями для таких задач являются уравнения Максвелла, для которых доказана единственность решения.