Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

4.ВЫБОР БАЗИСА

4.1.Выбор последовательности гармоник поля

Рассмотрим интегральные уравнения, выведенные в гл. 2, для бесконечных решеток из волноводов. Были получены два интегральных уравнения Фредгольма первого рода: одно — для тангенциальной составляющей электрического поля в апертуре решеткп, другое — для тангенциальной составляющей магнитно­ го поля. Ядра этих интегральных уравнений состоят из двух бесконечных сумм; одна сумма описывает вклад типов волн

вволноводе, другая — вклад периодических пространственных гармоник (гармоник Флоке) во внешнем пространстве. Типы волн

вволноводе обычно обозначаются тремя символами; первый указы­ вает тип волны (ТЕ пли ТМ), а два других —• порядок типа волны. Хотя имеется бесконечный набор волн как типа ТЕ, так и типа ТМ, можно переобозначнть типы волн с помощью только одного симво­ ла. Это упростит сведение интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений и решение этой системы.

Поскольку при нахождении приближенного решения необхо­ димо взять лишь конечное число уравнений в бесконечной системе, важно так расставить типы волн по порядку, чтобы все существен­ ные из них попали в рассматриваемую конечную систему уравне­

ний. В общем случае ие очевидно, какие моды существенны, а какие нет. В задачах анализа ФАР обычно вклад в поле излу­ чения дают низшие типы волн. Из физических соображений сле­ дует, что связь между типами волн с близкими по значению по­ стоянными распространения сильнее, чем связь между типами волн с сильно отличающимися постоянными распространения. Поэтому полезно расположить типы волн в порядке возрастания постоянных распространения (по абсолютной величине) в направ­ лении оси z. Необходимо учесть возможные случаи вырождения типов волн, когда одной постоянной распространения соответ­ ствуют несколько типов волн с разной поляризацией. Подобный случай рассмотрен в гл. 7.

Пусть {Ф7- (г)} — система типов волн в волноводе, ijj — их модальные проводимости, a {’Em (г)} — система пространственных гармоник внешней области и Y m — их модальные проводимости. Интегральное уравнение для неизвестного электрического поля в апертуре решетки, возбуждаемой типом волны Ф7-, имеет вид

СО

2г/рФр (г) = j { V, yjOj (г) Ф; (г') +

А 3— 1

7 7 1 = 1

Заметим, что интегрирование осуществляется в пределах апер­ туры А и уравнение справедливо только в апертуре волновода. В этом отличие от интегрального уравнения для магнитного поля, которое справедливо на всей единичной ячейке решетки.

С помощью метода моментов от интегрального уравнения можно перейти к системе линейных алгебраических уравнений [8, 9]. Хотя выбор системы базисных функций произволен, при разумном выборе базиса можно получить ряд преимуществ. В случае урав­ нения (22) выбор в качестве базиса системы воли в волноводе осо­ бенно предпочтителен по двум причинам. Во-первых, эта система функций удовлетворяет граничным условиям для Ег на стенках волновода. Можно предположить, что удастся получить весьма точное решение с меньшим числом функций, чем в случае базисных функций, не удовлетворяющих этим граничным условиям. Во-вто­ рых, из-за того что сами типы волн в волноводе присутствуют

вядре, их ортогональность позволит значительно упростить вычисление элементов матрицы. Более того, волноводные моды во многих случаях интегрируются вместе с гармониками Флоке

взамкнутой форме. Это дает выигрыш при вычислениях.

Пусть

Штрихи обозначают приближенные значения амплитуд типов волн в волноводе.

Подставляя выражение (23) в уравнение (22) и вычисляя момен­

с С , нельзя использовать свойство ортогональности функций Чг для упро щенпя расчета элементов матрицы.' Исключения возможны, когда А = С , например в случае решетки из прямоугольных волноводов с тонкими стен­ ками. В пнтегральнол! уравнении для тангенциального магнитного поля, где область определения равна С , более выгодно использовать в качестве базиса функции 'Fpmn.

7-0168

98 Глава 3

называются коэффициентами связи между гармониками. Эти коэф­ фициенты отличаются от коэффициентов связи между элементами-

решетки. Выражение (24) представляет собой систему из N урав­ нений с N неизвестными {v'p}.

Можно видеть, что модальные проводимости для внутреиией области (волноводов) появляются только в диагональных элемен­ тах A qq, в то время как модальные проводимости для внешней области встречаются во всех элементах.

Удобно записать уравнения (24) в матричной форме

Решение уравнения (25), полученное методом обращения матри­ цы, имеет вид

где Адр — элементы обратной матрицы [Aqv\~l. Решения v'v имеют смысл модальных напряжений различных типов воли в волноводе. Электрическое поле в апертуре приближенно находится как ли­ нейная комбинация этих типов волн по формуле (23). Коэффициент отражения падающей волны определяется из соотношений

Коэффициенты передачи в другие типы воли в волноводе после соответствующей нормировки (матрица рассеяния унитарна при отсутствии потерь) вычисляются по формуле

Для вычисления коэффициента передачи в свободное простран­ ство используем условие непрерывности тангенциальной состав­ ляющей поля в апертуре А

N М

Знак приближенного равенства используется потому, что для описания поля берется конечное число типов волн. Из ортонорми-

Таким образом, нормированный коэффициент передачи в простран­ ственную гармонику с номером т равен

Так как только распространяющиеся типы волн в свободном про­ странстве могут переносить энергию в дальнюю зону, лишь эти пространственные гармоники важны для изучения свойств ФАР. Для вычисления амплитуд этих гармоник можно воспользоваться формулой (29) при достаточно больших значениях N.

Интегральное уравнение для приемной ФАР при падении вол­ ны, соответствующей гармонике Wm’ (г), имеет вид

оо

2Y m-Wm- (г) = j { 2 У1ф 1(г) ф ; (О +

оо

( 3 1 )

771= i

С помощью описанного выше приема уравнение (31) можно пре­ образовать в систему линейных алгебраических уравнений

(32)

пли в матричной форме

(32а)

где

Заметим, что изменение падающей волны меняет только свободный член уравнения. Ядро уравнения полностью определяется геомет­ рией системы и не зависит от падающей волны. Решение уравне­ ния (32а) можно формально записать в виде

(33)

пли через компоненты

N N

qp'&pm'* (33а)

7*

100 Глава 3

Коэффициент отражения пространственной гармоники vFm<(г) можно найти, вычислив модальное напряжение этой гармоники с помощью выражения (29). Таким образом,

Коэффициенты передачи определяются по формулам, аналогичным формулам (27а) и (30).

Теперь рассмотрим интегральное уравнение для тангенциаль­ ной составляющей магнитного поля (вывод см. в гл. 2). Сначала возьмем случай, когда ФАР работает в режиме передачи. Инте­ гральное уравнение будет иметь вид

оо

Это уравнение отличается от уравнения (22). В ядре присутствуют модальные сопротивления вместо проводимостей, что изменяет сходимость ряда. Кроме того, область интегрирования простирает­ ся иа всю единичную ячейку решетки в отличие от области в урав­ нении (22), охватывающей только раскрыв волновода.

Для сведения уравнения (35) к системе линейных алгебраиче­ ских уравнений положим

м

Р= 1

Вкачестве базиса взяты функции {XF}, а не {Ф}, потому что систе­ ма {Ф} определена только в области А, в то время как Н( (г) определена в С э 4 . Ясно, что система {Ф} непригодна, если только А и С не совпадают.

Подставляя выражение (36) в уравиеппе (35) и вычисляя мо­ менты относительно функций 4fq (г) (д = 1, . . ., М), получим следующую систему уравнений:

с коэффициентами 4Sjq, заданными формулой (246). Система (37) содержит М уравнений с М неизвестными Гр. Элементы матрицы образованы из модальных сопротивлений и рассмотренных выше