Файл: Электричество и магнетизм. Колебания и волны. Курс лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 48
Скачиваний: 0
E = |
q |
, |
r ≥ R |
(21) |
4pe0 r 2 |
т.е. вне заряженной сферы поле такое же, как и поле точечного заряда той же величины, помещенного в центре сферы. Внутри сферы нет зарядов, и поэтому
r
поле там отсутствует, т.е при r < R имеем E = 0. Это свойство используют для экранировки от полей внешних зарядов.
Лекция 2. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ.
2.1. Работа сил электрического поля
Найдем работу по перемещению пробного заряда
создаваемом точечным зарядом q (см.Рис.1): |
1 |
|
r r |
||
dA = Fdl = Fdl cosa = Fdr = |
||
|
4pe0
2 |
qq' |
r2 dr |
|
qq' |
( |
1 |
|
1 |
) . |
|
A12 = òdA = |
|
ò |
|
= |
|
|
- |
|
||
|
r 2 |
|
|
r2 |
||||||
1 |
4pe0 r |
|
4pe0 r1 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q' из точки 1 в точку 2 в поле,
qq'
r 2
dr,
(1)
|
|
Таким образом, работа сил не |
||||||
|
зависит от формы пути. Она является |
|
||||||
|
только |
функцией |
начального |
и |
||||
|
конечного положения заряда. |
|
|
|||||
|
|
Можно |
показать, |
что |
данное |
|||
|
утверждение справедливо для поля, |
|||||||
|
создаваемого |
любым |
заряженным |
|||||
|
телом. |
|
|
|
|
|
||
|
|
В |
механике |
такие |
силы |
мы |
||
|
называли консервативными, а поля, |
|
||||||
|
работа сил которых не зависит от |
|||||||
|
формы |
|
, пути называются |
|
||||
|
потенциальными полями. |
|
|
|||||
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
По замкнутой траектории L работа равна нулю, т. к. |
r1 = r2 , |
т. е. |
|
|||||
r r |
r r |
r |
r |
|
|
|
(2) |
|
ò Fdl = òq' Edl = 0 или |
ò Edl = 0 , |
|
|
|
|
|||
L |
L |
L |
|
|
|
|
|
|
т.е. циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю.
Итак, электростатическое поле является потенциальным, а кулоновские силы - консервативными.
11
2.2. Потенциал электростатического поля
Известно, что работа сил потенциального поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии, например из (1)
A12 |
= Wn1 -Wn 2 |
= |
qq' |
( |
1 |
- |
1 |
) . |
(3) |
4pe0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
r1 r2 |
|
||||
Отсюда следует, что потенциальная энергия пробного заряда q' в поле точечного заряда q будет иметь вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W n |
= |
|
|
|
qq ' |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4pe 0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При |
r ® ¥ |
потенциальная |
энергия должна |
обращаться |
в |
нуль, поэтому |
значение |
||||||||||||||||||||||
постоянной C полагаем равным нулю. В итоге получаем, что |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
qq' |
. |
|
|
|
|
(4) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4pe0r |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Величину |
|
|
|
|
|
|
j = Wn / q' |
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
||||||||||||||
называют потенциалом электрического поля в данной точке. Потенциал j , |
наряду с |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
напряженностью электрического поля E , используется для описания электрического |
|||||||||||||||||||||||||||||
поля, являясь его энергетической характеристикой. Потенциал точечного заряда q, как |
|||||||||||||||||||||||||||||
следует из (4) и (5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j = |
|
|
qq' |
|
|
1 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
q |
, |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
||
|
|
|
|
4pe0r q' |
4pe0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
т. е. |
j ~ q / r |
(прямо |
пропорционален |
|
|
величине |
заряда |
и |
обратно |
пропорционален |
|||||||||||||||||||
расстоянию от него). Потенциал в СИ измеряется в вольтах: 1 В= 1Дж/1 Кл. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Если поле создает система точечных зарядов q1, q2 ,...qn , то потенциал |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
j = |
|
|
|
å |
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|||||
|
|
|
4pe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
i =1 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Из формулы (5) вытекает, |
что |
заряд q', |
находящийся |
в |
точке поля с |
|||||||||||||||||||||||
потенциалом j , обладает потенциальной энергией |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Wn = q'j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|||||||||||
Следовательно, работу сил поля над зарядомq' можно выразить через разность |
|||||||||||||||||||||||||||||
потенциалов |
|
|
|
A12 = Wn1 -Wn 2 |
|
= q'(j1 -j2 ) = q'U , |
|
|
|
(9) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
здесь |
j1 -j2 |
= U - |
разность |
|
|
|
потенциалов |
между двумя |
точками, |
котораяполя |
|||||||||||||||||||
называется напряжением. Напряжение U = j1 -j2 тоже измеряется в вольтах. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
2.3. Эквипотенциальные поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, |
||||||||||||||||||||||||||||
называется эквипотенциальной поверхностью. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Ее уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
j(x, y, z) = const . |
|
|
|
(10) |
|
|
||||||||||||||||
12
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для точечного заряда q, согласно (6), |
|
|
|
|
|
j = |
|
1 |
|
q |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4pe0 |
|
r |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и эквипотенциальной поверхностью является сфера радиуса r. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
При перемещении заряда q' вдоль эквипотенциальной поверхности на отрезок dl |
|||||||||||||||||||||
потенциал не изменяется, т. е. dj = 0, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dA = -q' dj = 0 . |
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
r r |
= q'Edrcosa |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dA= Fdr |
= q' Edr |
|
||||||||||||
|
|
|
|
и равна нулю, следовательно, a = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
90°, |
|
т.о. |
|
вектор |
|
|
напряженности |
|||||||||||
|
|
|
|
электрического |
|
поля |
|
r |
в |
данной |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
||||||||||||||||
|
|
|
|
точке |
|
|
|
всегда |
|
|
|
|
перпендикулярен |
|||||||||
|
|
|
|
эквипотенциальной поверхности |
|
|||||||||||||||||
|
|
Рис.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.4. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом |
|
|||||||||||||||||||||
|
Напряженность |
электрического |
поля |
и потенциал |
используются для описания |
|||||||||||||||||
электрического поля. |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j - скалярная |
||
E - векторная величина (силовая характеристика), |
||||||||||||||||||||||
величина (энергетическая характеристика). Они связаны между собой. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
и потенциальной |
|
|
Используем соотношение между консервативной силойF |
|||||||||||||||||||||
энергией Wp, уже известное из раздела «Механика»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = -gradWp = -ÑWp , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
где |
|
|
¶W |
p |
r |
|
¶W |
p |
r |
|
¶W |
p |
r |
|
|
|
|
|
|
||
|
gradWp = ÑW = |
|
|
i + |
|
j + |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¶x |
|
¶y |
|
|
¶z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
®®
Учитывая, что F = q¢ E и W p = q'j и сокращая пробный заряд q' , получим
r
E = -gradj = -Ñj
Градиент потенциала есть , векторнаправленный по эквипотенциальной поверхности в сторону наибыстрейшего возрастанияj. Знак
r
"минус" в (12) означает, что E и gradj направлены в противоположные стороны, т.е. поле направлено в сторону наибыстрейшего убывания потенциала.
13
В частном одномерном случае
|
|
|
E = -dj / dl |
(13) |
|
r |
|
Из |
формул (12), |
(13) |
видно, что напряженность электрического |
||||
поляE |
|||||||
измеряется в В/м. |
|
|
|
|
|
||
2.5. Полярные и неполярные диэлектрики |
|
|
|
||||
Перейдем к рассмотрению электрического поля в диэлектриках |
|
|
|||||
Все |
вещества |
по |
электропроводности |
разделяются |
на |
проводник |
|
диэлектрики. Промежуточное положение между ними занимают полупроводники. Проводниками называют вещества, в которых имеются свободные носители
зарядов, способные перемещаться под действием электрического поля. Примерами
проводников являются металлы, растворы или расплавы солей, кислот, щелочей. |
|
|||||
Диэлектриками |
или |
изоляторами |
называются |
вещества, |
которых |
нет |
свободных носителей зарядов и которые, следовательно, не проводят электрический ток. Это будут идеальные диэлектрики. В действительности диэлектрики проводят электрический ток, но очень слабо, их проводимость в 1015 -1020 раз меньше, чем у проводников. Это обусловлено тем, что в обычных условиях заряды в диэлектриках связаны в устойчивые молекулы и не могут, как в проводниках, легко отрываться и
становиться свободными. Молекулы |
диэлектрика электронейтральны: суммарный |
||||||||
заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. В первом |
|||||||||
приближении молекулу можно рассматривать как диполь с электрическим моментом |
|||||||||
r |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
p = ql ; здесь q - заряд ядра молекулы, |
l - вектор, проведенный из "центра тяжести" |
||||||||
электронов в "центр тяжести" |
положительных зарядов |
атомных |
ядер(в |
1.4 |
r |
||||
l |
|||||||||
называли плечом диполя). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Различают два основных типа диэлектриков: полярный и неполярный. |
|
|
||||||
|
Диэлектрик называют неполярным, если в его молекулах в отсутствие внешнего |
||||||||
электрического поля |
центры |
тяжести отрицательных |
и |
положительных |
зарядо |
||||
совпадают, например, |
H2 ,O2 , N2. |
|
|
r |
r |
т. к. |
r |
И, |
|
Для них дипольный моментp = ql = 0 , |
l = 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
r |
|
следовательно, суммарный дипольный момент неполярного диэлектрика åi =1 pi = 0 . |
|
||||||||
Вмолекулах полярных диэлектриков( H2O , спирты, НС1...) центры тяжести
зарядов разных знаков |
сдвинуты друг относительно друга. В этом случае молекулы |
||
|
r |
r |
¹ 0 . Но эти дипольные моменты в |
обладают собственным дипольным моментом p = ql |
|||
отсутствие внешнего |
электрического поля |
|
из-за теплового движения моле |
ориентированы хаотически и суммарный дипольный момент такого диэлектрика равен нулю, т. е.
n r
åi =1 pi = 0 .
2.6.Поляризация электронная, ориентационная и ионная. Вектор поляризованности
Если диэлектрик внести в электрическое , тополе в нем произойдет перераспределение связанных зарядов. В результате этого суммарный дипольный момент диэлектрика åin=1 p i становится отличным от нуля. В этом случае говорят, что произошла поляризация диэлектрика. Различают три типа поляризации диэлектриков:
14
e
1) ЭЛЕКТРОННАЯ: oна наблюдается в неполярных диэлектриках, когда
электронная оболочка смещается относительно ядра против поля.
2)ОРИЕНТАЦИОННАЯ: она
наблюдается в диэлектриках, когда диполи стремятся расположиться вдоль поля. Этому препятствует тепловое хаотичес движение и взаимодействие диполей
3) ИОННАЯ: |
она |
наблюдается в |
твердых |
|
кристаллических |
диэлектриках, |
когда |
внешнее поле |
вызывает смещение |
положительных |
|
ионов по полю, а отрицательных - против поля.
Количественной мерой поляризации диэлектрика являетсяполяризованность диэлектрика P - векторная величина, равная отношению суммарного дипольного
момента малого объема диэлектрика к величине этого объема |
DV , т. е. |
|
||||||||
|
|
|
|
n |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å pi |
|
|
|
|
||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
i =1 |
|
, |
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в СИ [Р] = Кл / м2. |
|
|
DV |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
вектор |
поляризованности |
диэлектрика |
равен дипольному |
|||||
моменту единицы объема поляризованного диэлектрика. |
|
|
|
|||||||
Как |
показывает |
, опыту |
|
изолированных |
диэлектриков |
векто |
||||
поляризованности для |
не слишком |
|
r |
пропорционален |
напряженности |
|
||||
большихE |
|
|||||||||
электрического поля, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
P = æe0 E , |
|
|
(15) |
|
|||
15
