Файл: Электричество и магнетизм. Колебания и волны. Курс лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 56
Скачиваний: 0
Чтобы зарядить проводник от нуля до потенциала j , необходимо совершить работу
j |
Cj 2 |
. |
(12) |
|
A = òdA = C òjdj = |
||||
2 |
||||
0 |
|
|
Энергия заряженного проводника
Wn = A = |
Cj 2 |
= |
qj |
= |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
полная энергия системы заряженных проводников
Wn = 1 ån Ciji2 .
2 i=1
q 2 ,
2C
(13)
Для конденсатора |
W = CU 2 |
/ 2 = qU / 2 . |
(14) |
|
n |
|
|
3.4. Энергия электрического поля. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике и в вакууме
Покажем, что формула (14) выражает энергию электрического поля. Подставляя в (14) выражение для емкости плоского конденсатора(8) и учитывая, что U = Ed, находим
W = e eE 2 Sd / 2 = e |
eE 2V / 2 , |
(15) |
|
n 0 |
0 |
|
|
где V - объем, занятый электрическим полем. Объемная плотность энергии |
|||
w = Wn / V = e0eE 2 / 2 = ED / 2, Дж/м 3 |
(16) |
||
Из (16) следует, что объемная плотность энергии электрического поля в вакууме ( e =1)
|
w вак = e0 E 2 / 2 |
(17) |
||
С учетом этого объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика |
||||
w диэл |
= w - w вак = (e -1)e0 E 2 / 2 = æe0 E 2 / 2 = PE / 2 , |
|
(18) |
|
где P = æ e 0 E |
- поляризованность |
диэлектрика, æ – |
его |
диэлектрическая |
восприимчивость; |
w диэл – характеризует |
энергию, которая |
была |
затрачена при |
поляризации диэлектрика.
Раздел II ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Лекция 4. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
4.1. Электрический ток и его характеристики |
|
|
||
Упорядоченное |
движение электрических зарядов |
называется электрическим |
||
током. Носителями |
тока |
могут быть |
электроны, а |
также положительные и |
отрицательные ионы. |
За |
направление тока |
условились принимать направление |
|
движения положительных зарядов, образующих этот ток.
Если за время dt через поперечное сечение проводника переносится заряд dq, то
сила тока |
(1) |
i=dq / dt. |
21
Ток, не изменяющийся со временем, называется постоянным. Для постоянного
тока |
|
|
|
|
I=q/t. |
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Если ток в проводнике создается как положительными, так и отрицательными |
|||||||||
носителями зарядов одновременно, то |
|
|
|
|
|
|
|||
I = |
dq |
+ |
+ |
|
dq |
- |
|
. |
(3) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
dt |
|
|||||
Единицей силы тока в СИ является А - ампер. Приборы для измерения силы тока называются амперметрами. Идеальный амперметр имеет нулевое внутреннее сопротивление.
Электрический ток может быть неравномерно распределен по поверхности, через которую он течет. Более детально электрический ток можно характеризовать с
r
помощью вектора плотности тока j . Он численно равен отношению токаdI через расположенную перпендикулярно направлению тока площадкуdS ^ к величине этой площадки, т. е.
j = dI / dS ^ , А/ м2 |
|
|
(4) |
|
|
По направлению |
вектор |
r |
совпадает |
с |
|
j |
|||||
направлением |
скорости |
|
упорядоч |
||
движения положительных зарядов. Зная |
r |
в |
|||
j |
|||||
каждой точке |
сечения |
проводника, можно |
|||
найти ток I через любую поверхность S, (рис.1)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
, |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ò jdS = ò jn dS |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где d S |
= dS n ; |
j d S = jdScosa = j n dS ; j n |
- проекция j |
на направление нормали n к |
||||||||||||||||
площадке ds. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.2. Электродвижущая сила источника тока. Напряжение |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
в |
|
проводнике |
|
создат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрическое |
поле |
и |
затем |
не |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поддерживать его неизменным, то за |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
счет |
перемещения |
зарядов |
поле |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исчезнет |
, и следовательно, |
ток |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
q |
прекратится. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для |
того, |
чтобы |
поддерживать |
ток |
|
неизменным, необходимо |
от |
конца |
||||||||||||
проводника (см. рис. 2) с меньшим потенциалом |
j2 |
отводить приносимые туда током |
||||||||||||||||||
заряды |
и |
переносить |
их к началу |
|
проводника |
с большим потенциаломj , .е. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
необходимо создать круговорот зарядов.
22
Это возможно лишь за счет работы сторонних сил неэлектростатическ природы, например, за счет протекания химических процессов в гальванических элементах.
Величина, численно равная работе сторонних сил, по перемещению единичного
положительного заряда называется ЭДС и обозначается e: |
|
e = AСТОР/q. |
(6) |
ЭДС, как и потенциал, в СИ измеряется в вольтах. Представим стороннюю силу как
|
|
|
r |
|
r |
|
, |
|
(7) |
|
|
F стор = qE стор |
|
||||||
тогда работа сторонних сил на участке 1-2 цепи будет равна |
|
||||||||
|
|
2 |
r |
r |
|
2 r |
r |
(8) |
|
|
А12стор = òF стор dl |
= q òE стор dl , |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
A12 |
|
2 |
r |
r |
|
|
а ЭДС на этом же участке |
e12 |
= |
стор = òE |
стор dl , |
|
|
|||
q |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где dl - элемент длины проводящего участка цепи. ЭДС, действующая в замкнутой цепи,
rr
e = òE стор dl , |
(9) |
т.е. ЭДС равна циркуляции вектора напряженности сторонних сил.
Однако, кроме сторонних , силна носители тока действуют си электростатического поля qE. Следовательно, результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд,
|
r |
r |
r |
|
(10) |
|
|
F = q(E + E стор). |
|
||||
Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на участке 1-2 цепи, рис. 2, |
|
|||||
А12 |
2 r r |
2 r |
r |
r |
(11) |
|
= òF dl = q ò(E + E стор) dl = q(φ1 - φ2)=e12. |
|
|||||
Величина, численно |
1 |
1 |
|
совершаемой электрическими и |
сторонними |
|
равная |
работе, |
|||||
силами над единичным положительным зарядом, называется падением напряжения или просто напряжением U на данном участке, т. е.
|
|
U12 = A12 |
/ q = j1 -j2 + e12 . |
|
(12) |
||
Участок |
цепи, на |
котором |
не |
действуют |
сторонние |
, |
силыназывается |
однородным. Для него |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 12 = j1 -j2 . |
(13) |
|||
Участок |
цепи, на |
котором |
действуют |
сторонние |
, |
называетсясилы |
|
неоднородным.
Для замкнутой цепи ( j1 -j2 ) = 0 и поэтому U = e .
4.3. Закон Ома для однородного участка цепи и закон Ома в дифференциальной форме
4.3.1. Закон Ома для однородного участка электрической цепи экспериментально установлен в 1826 г:
23
ток, текущий по однородному металлическому проводнику, пропорционален палению напряжения U на проводнике, т. е.
I = |
1 |
U = |
1 |
(j1 -j2 ) , |
(14) |
R |
|
||||
|
|
R |
|
||
где R - сопротивление проводника, характеризует способность проводника проводить электрический ток и измеряется в СИ в омах ( Ом); из (14) следует, что 1Ом =1 В/1 А.
Сопротивление проводника |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R =ρl / S , |
|
|
|
(15) |
|
где ρ - удельное сопротивление, |
измеряется в |
СИ |
Омв |
×м. Оно зависит от |
||||||||||
температуры: r = r 0 a T , где r 0 - удельное сопротивление при температуре |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = 0°С, |
a |
- |
температурный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициент |
сопротивления, |
близкий к |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/273 К -1 , T |
– |
термодинамическая |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
температура; |
так |
|
что с |
росто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
температуры |
|
|
|
сопротивлени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
металлических |
|
|
|
проводнико |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
увеличивается. |
|
|
Качественная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
температурная |
зависимость |
удельного |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивления |
|
|
|
металлического |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
проводника от Т представлена на рис. 3.
Рис.3
Сопротивление многих металлов и их сплавов при очень низких температурахТk (0,14 – 20K), называемых критическими, скачкообразно уменьшается до нуля. Это явление называется сверхпроводимостью.
4.3.2. Закон Ома в дифференциальной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Найдем связь между векторами |
|
и |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
j |
E |
||||||||||
|
|
|
|
Для |
этого |
мысленно |
выделим |
||||||||
|
dS |
окрестности |
некоторой |
|
|
|
то |
||||||||
|
проводника |
|
|
|
|
элемент |
|||||||||
Рис. 4 |
|
dl |
|
цилиндрический |
объем |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
образующими, |
параллельными |
||||||||||||
|
|
|
|
векторам |
|
и |
|
. |
Между концами |
||||||
|
|
|
|
j |
E |
||||||||||
Рис.4
проводника длиной dl напряжение U = Edl, под действием которого через его поперечное сечение площадью dS течет ток I = jdS. Сопротивление цилиндрического
24