основных задач: 1) нахождение распределения магнит ного поля на поверхности тела; 2) расчет электромаг нитного поля и потерь активной и реактивной мощности в металле.
Первую задачу можно часто решить, используя метод зеркальных изображений, метод Рота, Роговского и т. п.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
путем |
находим |
распреде |
|
|
|
|
ление нормальной |
составляющей |
fn,Yo |
|
|
|
напряженности |
магнитного |
поля |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
на |
поверхности |
тела |
со |
стороны |
|
|
|
|
воздуха #zo (х, |
у)—рис. |
7-11, при |
|
|
|
|
упрощающем |
|
положении, |
что |
|
|
|
|
проницаемость |
стали |
бесконечно |
|
|
|
|
велика по сравнению с проницае |
|
|
|
|
мостью |
воздуха, или |
по |
крайней |
|
|
|
|
мере |
относительная |
«квазипрони |
|
|
|
|
цаемость» (лд г в несколько раз |
|
|
|
|
больше |
единицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не |
менее |
трудным |
вопросом, |
|
|
|
|
чем |
определение граничных |
усло |
|
|
|
|
вий, |
является |
решение уравнений |
|
|
|
|
электромагнитного |
поля (2-1) — |
|
|
|
|
(2-6) |
внутри стали |
с учетом |
пере |
|
|
|
|
менной |
проницаемости. |
|
|
|
|
|
|
|
Т р е х м е р н о е |
п о л е . |
По |
|
|
|
|
лагаем, что все составляющие по |
Рис. |
7-11. |
Поле на |
по |
ля |
являются |
|
монохроматически |
|
верхности |
стального |
по |
ми |
функциями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лупространства. |
|
E=Eme'mt и H=:Hmeiwt.
Ввиду непрерывности магнитного потока, проникаю щего в конструктивные детали (divB = 0), функции рас пределения поля на поверхности имеют обычно периоди ческий характер (рис. 7-11). Примем вначале постоян ную проницаемость стали [x=const. Благодаря этому из уравнений поля для проводящей среды
rotH=yE, rotE = — дЪ/dt; divB = 0; divE = 0. получим уравнение проводимости
V 2 H m = a a H m , которое для составляющей Hmz имеет вид:
d2Hmzfdx2 + d2Hmzfdy2 + dH2Jdzs = а2 Я, (7-42) где а = (!-{-/)&, & = |Ло^у/2.
Применяя |
к (7-42) |
метод |
Фурье с подстановкой |
(2-50) |
|
|
|
|
|
Нтг(х, |
у, |
z) = |
X{x)Y(y)Z{z), |
получаем общее решение в виде |
(2-54), в котором мож |
но положить |
С&п = 0, так как в противном случае по мере |
продвижения |
вдоль |
оси z напряженность магнитного |
поля увеличивалась бы до бесконечности, что физически невозможно.
Остальные |
|
постоянные |
определяем |
из |
граничных |
условий на поверхности металла. |
Если |
распределение |
напряженности |
магнитного поля на поверхности |
|
Hz0(x,y) |
является четной функцией по отношению к оси z |
(коси |
нусоиды), то |
исчезают |
также |
постоянные |
C 2 n |
и |
С5п, |
а если |
нечетной (синусоиды), |
то |
С 1 п = С 4 п . = 0. Пусть |
на |
чало координат |
расположено в узловой точке |
(рис. 7-11). |
В этом |
случае |
на основании (2-50) и (2-54) |
получаем: |
Cin=Cin |
= Csn = 0, а также |
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( L ) = C 2 n |
sin p„L = 0 |
и |
У(7У2) = (С8 „ sin т|„) 7/2 = 0. |
|
Это |
значит, |
что существует |
теоретически |
бесконечное |
число значений |
f}„ и г)п : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$п = тл/Ь |
и |
цп = п2л/Т |
(m=l, |
2, 3 ..., |
п= |
1, |
2, |
3 . . . ) . |
Получаем |
в |
результате |
бесконечное |
число |
частных |
решений (7-42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hmzmn — Cmns'mm~xsinn^-ye |
|
a , n n Z , |
|
(7-43) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
amn |
|
= ] / a 2 |
+ |
(rmjLf |
4- (п2ъ/Т)2 . |
|
|
(7-44) |
Уравнению |
|
(7-42) |
удовлетворять будет также |
линей |
ная комбинация всех частных решений (7-43), которая является общим решением этого уравнения
|
00 |
оо |
|
|
|
Hmz(x, |
у, 2)=JJ |
c»msmtn~xsmn-^-ye |
а , п п . |
(7-45) |
|
m = |
l n=l |
|
|
|
Решение (7-45) представляет в действительности |
не |
что |
иное, как |
разложение функции |
Hmz = f(x, |
у, |
z) |
в двойной ряд Фурье. Отдельные члены (7-43) этой сум мы представляют собой пространственные гармоники распределения поля в плоскости Оху, а также их зату хание и изменение фазы по мере проникновения в глубь
металла вдоль оси z. Как видно, гармоники высшего по рядка затухают быстрее гармоник низшего порядка. Это значит, что по мере проникновения в металл форма кри вой поля все больше приближается к первой гармонике пространственного распределения поля. На поверхности со стороны металла при 2 = 0 имеем:
|
|
СО ОО |
|
|
Нтг (х, у, 0) = |
^ |
Стп |
sin т ~ х sin 11 ~ у, |
(7-46) |
причем |
т = 1 п = \ |
|
|
|
|
|
|
Hmz |
(х, |
у,0)=-%- |
Нтго(х*у). |
(7-47) |
Следовательно, (7-46) представляет в соответствую щем масштабе разложение в двойной ряд Фурье задан
ной функции распределения поля HmzQ(x, |
у) на |
поверх |
ности металла со стороны воздуха. |
|
|
Сравнение (7-45) и (7-47) указывает |
путь |
точного |
математического решения. Однако интегрирование функ ции Hmz0(x, у) с целью нахождения постоянных Стп разложения (7-46) и (7-45) может часто представлять значительную трудность. Поэтому на практике можно воспользоваться следующими упрощениями.
В инженерных расчетах обычно достаточно учитывать только несколько первых гармоник пространственного
распределения |
поля — с 1 до mi и |
с 1 до п\. |
В |
таком |
случае, |
например, |
для |
средних |
значений |
7'/2 = L = 20 см |
« m! = |
rti=3 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
v=(m 1 n/L) 2 +(rti2n/7 , ) 2 =0,4 - 10 4 |
1/м2. |
|
|
Для |
стали |
с |
физическими |
параметрами |
(хг =500-н |
1 000 и у = 7 • 106 См/м при частоте 50 Гц |
получим: |
|
|
о>ц.у= (140н-280) • 104 |
1/м2. |
|
|
|
Следовательно, |
нет |
сомнения |
в |
том, что при |
учете |
гармоник не слишком высокого порядка (mt<c:5 и |
п^Ъ) |
и при размерах объекта, больших нескольких |
сантимет |
ров, можно принять: |
|
|
|
|
|
|
атп |
= K v + W Y = |
(1 /2) [V |
» { * T ) 2 + |
v2 + |
v |
+ |
+ J VVM2 |
+ |
v 2 — v j « |
(1 + |
/) К<^Т72 = |
«. |
Благодаря этому допущению экспоненциальный мно житель е " m n можно вынести за знаки суммы и полу-
чить па основании |
(7-45) — (7-47) |
формулу |
напряженно |
сти магнитного поля в металле |
|
|
|
|
|
|
Hmz |
(x,y,z)~^ |
Hmzo |
(х, |
у) е"аг. |
|
(7-48) |
Д в у х м е р н о е |
п о л е . |
Многие |
инженерные |
задачи |
можно |
решить на |
основе |
теории |
|
двухмерного поля |
(рис. 7-11,а). |
Из |
уравнений Максвелла |
для // ж = 0 и |
ЕУ=Е2—0, |
учитывая |
(7-48), имеем |
|
|
|
|
|
Ётх = |
/ш[х j |
Hmz (у, z)dy + C (z) = |
- |
j^0e-a%; |
(7-49) |
|
Н |
_J |
дЕтг |
(j.„ |
|
a Z |
p |
|
|
|
П т у — ~ 1 ^ ~ д г ~ — |
j T a e |
|
Г У — |
|
|
= - (i + / > о V 4 r |
руе~™ |
|
<7"50) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fv=-^Hm!Ca(y,0)dy |
|
+ C9. |
|
(7-51) |
Постоянную С0 следует определить из граничных условий для заданного распределения поля на поверх ности.
В (7-50) множитель \jYv- исключаем, вводя аппрок симацию пересчитанной кривой намагничивания (7-9):
[ |
Д = 1 4 ^ у / 2 ; |
|
А = 0,13м7В.с], |
благодаря |
чему |
можно |
написать |
для (7-50): |
|
|
Нту |
= 2f- |
(Д + Л2 |
Vv^Hmy) = |
|
|
|
|
FT |
|
|
|
|
= |
|
У |
^ MA |
+A#tV^Fve-K). |
t(7-50a) |
Потери |
активной и реактивной мощности, отнесенные |
к единице |
поверхности |
тела, |
равны вектору |
Пойнтинга |
(3-7) на поверхности |
(z=Q): |
|
|
|
|
S - ± Е * Н |
- П - / ) ^ ^ Х |
Потери активной и реактивной мощностей в зоне од ного пространственного периода Т (рис. 7-1 \,а) на еди ницу длины исследуемого элемента вдоль оси х состав ляют:
Г / 2
К = |
— ГJ/ 2 |
|
z=0 |
|
|
p |
|
|
4 |
|
l |
i |
|
(7-53) |
где |
S |
|
dy |
= (a |
- |
|
ja |
)mY^(a |
+a |
Y^i), |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 К 2 |
|
J ^ У ; |
(7-53a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
-Т/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.3 |
|
Т12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а, |
= |
|
I |
|
Г f 3 ^ . |
(7-536) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 K 2 |
|
—f/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
а р ~ 1 , 4 |
и |
а 9 ~ 0 , 8 5 введены |
с целью |
учета |
нелинейной |
проницаемости |
и гистерезиса |
согласно |
§ 7-2 для массивной стальной среды. В случае неферро
магнитного металла av = |
aq=\. |
|
Коэффициенты |
« 1 и аг |
можно легко рассчитать анали |
тически в случае |
простого |
распределения поля |
Hmz0(y,0) |
ка поверхности. |
|
|
|
При более сложном распределении поля интегриро |
вание аналитическими методами получается |
слишком |
трудным для того, |
чтобы (7-53) могли иметь практиче |
ское значение; графическое |
интегрирование, проведенное |
в [Л. 2-19 и 1-28], |
является |
слишком трудоемким и не |
очень точным^ Применение электронных вычислительных машин позволяет, однако, быстро и с большой точностью рассчитать коэффициенты ai и а%.
2. Общие формулы |
при синусоидальном |
распределении |
поля на поверхности |
стали (Л. 7-21] |
|
Положим, что распределение нормальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности метал лического полупространства (рис. 7-12) выражается формулой
Hmz0(y> 0) = # m Z o s i n - ^ - y . Согласно уравнению
F y = ~~ j H m z a ^' ° ^ d y ~ ^ С ° = ~~H m z a j S ' n d y ~г"
