Файл: Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики.pdf

при наличии ошибок измерения параметров. Поэтому ниже будут рассмотрены вопросы применения этих методов для оптимизации элементов струйной автоматики.

3.Постановка задач оптимизации

Вдальнейшем будем рассматривать два класса задач

при условии выполнения ограничений, наложенных на пара­

механические характеристики режима и проч.); f, <рь ср2, ..., срт —

Факторами могут служить основные размеры элемента: ши­ рина сопел и приемных каналов; углы наклона, длины и смеще­ ния стенок и т. д. При оптимизации плоских элементов, когда конфигурация элемента разделяется на ряд функциональных частей, каждая из которых выполняется в виде отдельной плас­ тины, в качестве факторов удобнее использовать смещения пластин в направлении осей координат и поворот относительно вертикальной оси. Целью оптимизации в этом случае является отыскание такого положения пластин, при котором целевая функция достигает максимального значения.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи оптими­

зации. Для этого воспользуемся понятием факторного простран­ ства. Факторным пространством называют /г-мерное гиперпро­

странство, по осям которого отложены упомянутые факторы.

328

Каждое неравенство системы (431) определяет в факторном пространстве полупространство, состоящее из точек М(х\, х%, ...,

х„), расположенных по одну сторону поверхности, описываемой уравнением

и на самой поверхности. Точки же, принадлежащие всем полу­

пространствам (т. е. множество всех решений системы [431]), образуют некоторую область, которую будет называть областью работоспособности.

вой функции (430) образуют (п + 1)-мерную гиперповерхность, которую называют поверхностью отклика.

отклика. То же самое можно изобразить на плоскости, если пред­ ставить поверхность отклика линиями равного уровня А = const (рис. 156, б ).

Задача оптимизации по рабочим параметрам в геометричес­

ких терминах формулируется следующим образом: в пределах области работоспособности В найти точку Л^(х,', х,' , ..., х'п ),

в которой целевая функция достигает наибольшего (наименьше­ го) значения.

Рис.156.Геометрическаяинтерпретациядляслучаядвухфакторов:

а — поверхность отклика; б — ф акторное пространство

329

Hu целевая функция, ни функции ф; заранее не известны, но ' значения А н Bj можно найти для ряда точек экспериментально.

Каждый эксперимент позволяет определить, находимся ли мы внутри области работоспособности, либо вне ее. По поверхности отклика, оставаясь в пределах области работоспособности, сле­ дует подняться как можно выше, используя накапливаемую ин­

NoNiNaNsNt.

Геометрический смысл задачи оптимизации по минимуму

требуемой точности изготовления таков: внутри области работо­ способности необходимо найти точку М, наиболее удаленную

от границ области работоспособности. Если изготовить струйный элемент, размеры которого будут равны координатам упомяну­ той точки, то он будет допускать наибольшие отклонения разме­ ров от номинала, оставаясь работоспособным.

4. Стратегия поиска оптимума

Геометрический смысл задачи поиска оптимума заключается в том, чтобы после небольшого числа экспериментов найти точ­ ку в факторном пространстве, в которой значение критерия ка­ чества близко к оптимуму.

Каждый эксперимент позволяет определить значения (от­ клик) зависимой переменной для определенного сочетания фак­ торов. Каждая группа экспериментов строится таким образом, чтобы получить информацию о форме поверхности отклика и направлении «движения» в факторном пространстве, обеспечи­ вающем наиболее быстрое достижение цели. При этом де­ лается два типа «шагов»: пробные, имеющие целью получить представление о поверхности отклика, и рабочие, ведущие к оп­ тимуму.

В процессе поиска необходимо сочетать в нужной пропорции пробные и рабочие шаги. Если поставить целью изучение по­ верхности отклика, то следует реализовать большой объем экс­ периментов. При этом будет получено подробное описание неко­ торой области поверхности отклика, но вблизи оптимума харак­ тер поверхности будет не изучен. С другой стороны, попытки достичь оптимума без предварительного исследования, как пра­ вило, не приводят к цели.

Характер стратегии поиска, т. е. соотношение рабочих и пробных шагов, меняется по мере приближения к оптимуму. Вначале, вдали от оптимума, где наклон поверхности велик, сле­ дует восходить по поверхности отклика как можно быстрее, про­ водя пробные исследования только тогда, когда определяется новое направление рабочих шагов. Вблизи оптимума, где наклон поверхности отклика мал, необходимы подробные исследования, чтобы получить хоть какое-то движение к оптимуму.

330

При оптимизации элементов струйной автоматики следует иметь в виду, что как значения факторов, так и значения пара­ метров и критерия качества измеряются с ошибками, поэтому методы аппроксимации должны обеспечивать достижение опти­ муму II при наличии ошибок.

Известно несколько методов поиска оптимума: метод сечений пли метод Гаусса-Зайделя [56], метод градиента, релаксационные методы [33] и др. Однако для задач оптимизации при наличии ошибок измерений наиболее рационален метод Бокса-Уилсона.

В этом методе в качестве пробных шагов, служащих для бо­ лее пли менее полного описания поверхности отклика, исполь­ зуется факторный эксперимент [38].

На основании специально поставленной серии экспериментов получают приближенное выражение для функции отклика в ви­

уравнение называют уравнением регрессии, а коэффициенты щ,

а,-; — коэффициентами регрессии.

Различают теоретические коэффициенты регрессии сц, кото­

рые могли бы быть получены при бесконечно большом числе опы­ тов, и выборочные коэффициенты регрессии а,-, которые опреде­ ляются на основе ограниченного числа опытов (выборки).

чается в том, что он позволяет существенно снизить ошибку в оп­ ределении коэффициентов регрессии в уравнении связи по срав­ нению с классическим экспериментом.

Стратегия поиска по Боксу-Уплсоиу такова: вдали от опти­

Далее совершаются рабочие шаги в направлении градиента этого линейного приближения до достижения локального экстре­ мума, т. е. до тех пор, пока критерий А не начнет убывать.

В точке с наилучшим результатом ставится новая серия опытов, находится новое линейное приближение и совершаются рабочие шаги в направлении градиента нового линейного приближения. Такое движение продолжается до тех пор, пока не будет достиг­

331