Файл: Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики.pdf

нута область, близкая к экстремуму; здесь ставится большая серия опытов, позволяющая описать поверхность отклика поли­ номом второй (а иногда и третьей) степени.

Метод Бокса-Уилсона весьма эффективен при решении задач без ограничений, однако при решении задач на условный экстре­ мум он может привести к выходу за границы области работо­ способности. Известные методы оптимизации [33], приспособлен­ ные к решению задач на аналоговых вычислительных машинах, предусматривают либо движение вдоль границы области работо­ способности, либо зигзагообразное движение вдоль границы, когда после нарушения ограничения осуществляется изменение направления движения н возврат в область работоспособности. Оба эти метода требуют большого объема факторного экспери­ мента. Ниже будет описан алгоритм поиска, пригодный для ре­ шения задач оптимизации струйного элемента при наличии ог­ раничений.

5. Ф акторный эксперимент

Факторный эксперимент [38] служит для описания поверхно­ сти отклика полиномам (433).

Факторным экспериментом называют такое построение экс­ перимента, когда при переходе от одного опыта к другому одно­ временно варьируют все факторы (в классическом методе при переходе от одного опыта к другому меняется только один фак­ тор). Благодаря этому в определении каждого коэффициента регрессии при факторном планировании эксперимента участвуют все N опытов, тогда как при обычном построении эксперимента

в определении каждого коэффициента участвуют только те опы­ ты, в которых варьировался соответствующий фактор. Следстви­ ем этого является то, что при факторном планировании экспери­ мента дисперсия в определении коэффициентов регрессии в п

раз меньше, чем дисперсия в определении значения величины функции отклика А.

При факторном эксперименте значения факторов варьируют на двух, иногда на трех уровнях. В факторном эксперименте, осуществляемом с целью получения полиномов первой степени (они будут использоваться в дальнейшем), варьирование произ­ водится на двух уровнях: верхнем и нижнем относительно выб­

где Хоі — значение рассматриваемого фактора в центре экспери­ мента; Хі — текущее значение фактора.

332

Факторы варьируют таким образом, чтобы на верхнем уров­ не имело место lU'dl = + 1 , а на нижнем ІІХііі = — 1 *.

В табл. 11 в качестве примера приведена матрица планиро­

Здесь X], х2, х3— нормализованные значения факторов. К аж ­

дая строка матрицы планирования соответствует одному опыту. В и В 2, ..., В т— значения параметров, полученные в соответству­

ющем опыте.

Матрица планирования ПФЭ для большего числа факторов составляется аналогично, при этом частота изменения уровня каждого последующего фактора в 2 раза меньше предыдущего.

Матрица планирования на двух уровнях обладает свойством ортогональности [38], поэтому для нее все коэффициенты регрес­ сии определяются независимо один от другого и могут быть вычислены по следующим формулам:

применяют дробные реплики от полного факторного экспери­

мента, смысл которых может быть объяснен следующим об­ разом.

333

Предположим, что парное взаимодействие Х\Х2 (табл. 11),

заменено новым фактором х4 и варьируется в соответствии со столбцом Х\Х2, тогда коэффициент ß4 будет совместной оценкой

эффициенты регрессии, которые, как указывалось, можно было бы получить для гипотетической генеральной совокупности, со­ стоящей из всех мыслимых опытов. Дробные реплики целесооб­ разно применять тогда, когда вклад, вносимый соответствующим произведением, существенно меньше вклада линейного эффекта.

В тех случаях, когда необходимо выделить линейные эффек­ ты, реализуется вторая дробная реплика по матрице, знаки ко­

истинное значение коэффициента при линейном члене Хц.

После того, как вычислены коэффициенты регрессии по фор­ мулам (435), необходимо проверить их значимость. Для этого обычно пользуются критерием Стьюдента, в соответствии с кото­

здесь s{bi} — средняя квадратичная ошибка определения коэффициента; t — табличное значение критерия Стыодента для выбранного уровня значимости q (обычно выбирают q = 5%) и числа степеней свободы т, с которым определялась ошибка

опыта.

Для ортогонального планирования первого порядка диспер­ сии ошибок коэффициентов равны между собой и рассчитывают­ ся по формуле:

!,Л } =

£ І М

N

где N — число опытов факторного эксперимента; s{y} — диспер­ сия определения функции у, найденная по результатам М по­ вторных опытов. Число степеней свободы в данном случае т = = М — 1. Таким образом, коэффициент Ь,- значим, если

(438)

При оптимизации элементов струйной автоматики описывае­ мым методом требуются только линейные приближения функ­ ции связи. Поэтому для определения коэффициентов при п ли­

нейных членах необходимо реализовать дробный факторный экс­ перимент такого порядка, чтобы выполнялось следующее усло­ вие:

334

где с — наиболее целое число, при котором выполняется нера­

Для того чтобы выделить коэффициенты при линейных чле­ нах, необходимо реализовать вторую дробную реплику 2п~с,

матрица планирования которой получается из матрицы пла­ нирования первой в результате перемены всех знаков на об­ ратные.

Для составления матрицы планирования дробной реплики 2п~с поступают следующим образом. Составляют матрицу пла­ нирования полного факторного эксперимента для (п — с) фак­

торов, а затем заменяют все коэффициенты выше первого поряд­ ка, начиная с порядка (п — с), новыми переменными. Например,

6. Организация ф акторного эксперимента

Установка для реализации факторного эксперимента. Опти­ мизация элементов струйной автоматики представляет собой процесс поиска такого сочетания геометрических размеров, ко­ торое обеспечит максимум критерия качества. Следовательно, независимыми переменными (факторами) при оптимизации эле­ мента являются геометрические размеры элемента. Ясно, что для осуществления факторного эксперимента необходимо иметь возможность менять геометрические размеры по заданному пла­ ну. Изготовление нового элемента для каждого опыта является весьма трудоемкой работой, поэтому целесообразно иметь уст­ ройство, позволяющее варьировать геометрические размеры.

Для оптимизации плоских элементов удобно использовать установку, позволяющую испытывать составной элемент. Как отмечалось выше, необходимо разделить рабочую камеру эле­ мента на несколько функционально важных частей. Каждую из таких частей изготовляют в виде отдельной пластины, толщина которой равна глубине элемента. Пластины устанавливают на прозрачном основании и крепят винтами. Для установки плас­ тин в заданное положение используют проекционное приспособ­ ление (например, часовой проектор), проектирующее конфигура­ цию, образованную пластинами, на экран с увеличением, напри­ мер, в 50 раз. На экране помещают чертеж конфигурации, выполненный в таком ж е масштабе. Перемещая пластины, сов­ мещают их проекции с линиями чертежа. Причем, пользуясь микрометрическими винтами, можно смещать пластины в на­ правлении осей координат относительно чертежа. Таким образом, если уровни значений факторов отождествляются с перемещени-

335

Рис.157.Схемаустановкидляорганизациифакторногоэксперимента

ями пластин в направлениях осей координат от исходного поло­ жения, то упомянутые смещения пластин относительно чертежа и соответствуют верхнему или нижнему уровню значений фак­ торов.

На рис. 157 приведена конфигурация струйного элемента, основанного на взаимодействии струи со стенкой, образованная восьмью пластинами. Факторами являются перемещения плас­ тин в направлении осей координат.

К недостаткам этой установки, предназначенной для оптими­ зации элементов струйной автоматики, следует отнести извест­ ные ограничения, накладываемые на выбор варьируемых факто­ ров. Действительно, при таком выборе факторов форма пласти­ ны, т. е. взаимное положение элементов одной пластины, остается неизменной. Однако, если есть основания ожидать, что изменение взаимного положения элементов одной пластины мо­

тельные пластины с измененным взаимным положением линий профиля.

Таким образом, указанный недостаток не является значитель­ ным. В целом ж е такая установка позволяет осуществлять фак­ торный эксперимент по оптимизации плоских элементов.

При оптимизации объемных струйных элементов, например турбулентных усилителей [54], установка представляет собой камеру с подвижными соплами. Перемещая сопла, можно изме­ нять расстояние между соплами, а устанавливая сменные сопла, можно изменять их диаметры и форму.

Особенности организации факторного эксперимента. Прежде чем приступить к факторному эксперименту, необходимо проде­ лать определенную предварительную работу: выбрать исходную конфигурацию элемента; наметить варьируемые факторы и со­ ставить матрицу планирования; выбрать интервалы варьиро­ вания.

336