Файл: Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики.pdf

длины ребра

дих

равно—J^~dt, а скорость относительного удлинения в иаправле-

нии

оси

дих

.В

направлении

других осей скорости относитель-

ОХ равна е* = ■

ных

удлинений

дии

ди,

будут определяться вы раж ениям и ѣу -------- —

и ег = -

ду

дг

З а

счет удлинения

ребер

параллелепипеда происходит

изменение его о б ъ ­

ема. З а

время dtизменение объем а параллелепипеда

,,

( дих

ди„

ди,

\

dt.

dV=

[ -------- dxdydz+

—

dxdydz+ --------- dxdydz

]

\ дх

ду

дг

]

П оделив

изменение

объем а

на первоначальны й

объем

V=

dxdydz, полу­

чим относительное изменение объем а:

dV

— ( е .с + б д + Bz)dt.

у

С корость

ж е относительного изменения

объем а

параллелепипеда

1

dV

Bz = div гг.

е = —

- - ^ - = &.i- + si/ +

Согласно

гипотезе

Н ью тона, касательны е

напряж ения

в

ж идкости про­

порциональны скоростям

угловы х деформаций:

охв- о ух- Н

дих

дии

1

—

+ —

= 2руг;

Gyz — Gzy ~

И1

диу

диг

= 2р.уА-;

(27)

дг

~ду

&ZX~ ®xz“

М'

диг

дих

= 2р.уу .

дх

дг

образом , для определения секундного

количества движ ения

массы

ж идкости,

проходящ ей

через ж ивое

сечение потока,

необходимо

зн ать

распределение

скоростей

по

указанном у

сечению. О днако

часто

при решении задач распреде­

ление скоростей

в рассм атриваем ы х

сечениях

потока

заран ее

неизвестно.

П оэтому для

вычисления

секундного

количества

движ ения используется сред ­

няя по сечению скорость. Вычисленное по этой

скорости секундное количест­

во движ ения

ро2ы будет

несколько отличаться от пстинноіі

величины, равном

р ( u2dü>.

Это отличие

устраняется

введением

поправочного

коэффициента

со

do, представляю щ его собой отнош ение истинного количества

движ ения к

ко ­

личеству движ ения, подсчитанному по средней скорости, т. е.

J u2dw

a° = j L ^

r -

(3°)

Коэф фициент

сіо назы вается коэффициентом

количества

движ ения. В ели­

чина

этого коэфф ициента

зависит от

неравномерности

распределения скорос­

тей

по сечению потока: чем она выше, тем больш е значение

коэфф ициента

а 0.

В общ ем

случае

коэффициент cto изменяется по

длине

потока,

поэтому

для

дву х сечений потока он м ож ет быть различным.

Таким образом , для отсека целого потока

уравнение изменения количе­

ства движ ения запиш ется так:

I pu2d(0 —

I pu-d<a=Fs

(31)

Ct)j

ü)j

PQ (a 02ü2S

“ 0iy is )

= FS'

(32)

гд е cbs и

0 ] s — проекции на

ось

S векторов

средних

скоростей в

контрольных

сечениях

/ — 1и 2— 2потока.

П роекция

Fsрезультирую щ ей

силы

на

ось S равна сумме проекции на эту

ось внешних объемных и поверхностных сил,

действую щ их

на

выделенный

объем

потока

ж идкости. И з

объемных

сил

чаш е

всего действует лиш ь

сила

тяж ести

Fg. Поверхностны е

силы вклю чаю т

силу

Р, давления

в

сечении

1— 1,

силу Р2давления

в сечении 2— 2,а такж е

силы, обусловленные напряж ениям и

трения

F Tps

и нормальны ми

напряж ениям и

F „ s , прилож енными

со стороны

тверды х

поверхностей, ограничиваю щ их выделенный

объем

потока.

С умма проекций всех сил на ось 5

будет равна

Fs = Fg S + р Is + P 2S +

Fтр S +

Fn s ■

При

вычислении суммы

проекций

сил

знаки отдельны х

сил

определяю тся

в

зависимости от

вы бранного направления

оси 5. Если направление проекции

на

ось

S

рассм атриваем ой силы

совп адает

с

направлением

осп

S, проекция

этой силы считается полож ительной. Так,

если ось 5 направлена по течению,

т о

проекция

P IS

будет полож ительной, a

P2S и

F TpS — отрицательны ми.

В е­

личины

и знаки

проекций Fgs и

Fnsсущ ественно

зависят

от

ориентации

оси

6 . Так,

если

ось

5 горизонтальна, то

проекция силы тяж ести Fes на ось S

будет равна нулю. В ряде случаев проекции

Fgs и F TpS оказы ваю тся малыми

по сравнению с проекциями других сил и ими пренебрегаю т.

Силы давления в «ж ивых» сечениях потока в общем случае могут быть

определены так:

P[S~ Рj c o s(0 [S)

= J"pdwco s(n 15);

ю,

P2S= P9cos(v2S)= f

prfcocos(t)25 ),

где co s(u iS )

и cos (H2S) — косинусы углов

м еж ду

векторам и

средних скорое-

Pis= plolcos(ol-S)

и

P2S=p2<ü2cos(ü2-S).

В

случае целого

потока вязкой ж идкости

силы

Frp.sи FnS представляю т

соответственно проекции на ось S сил трения

и

нормальны х

сил, действую ­

щих со стороны тверды х поверхностей на выделенный отсек

жидкости.

Уравнение изменения м ом ента количества

движ ения. П ри

решении

задач,

связанны х

с

вращ ательны м движ ением

ж идкости,

часто

применяется

извест­

ная теорема

механики

об изменении

момента

количества

движ ения

(теорема

м ом ентов).

П рименительно к движ ению

ж идкости

удобно использовать

с к а ­

лярную форму записи этой теоремы. В такой форме теорема

моментов

ф ор­

мулируется следую щ им

образом : производная по времени

от суммы моментов

количеств

движ ения

системы относительно

какой-нибудь

неподвижной

оси

равна

сумме

моментов внеш них сил, действую щ их

на эту

систему,

относитель­

но той

ж е

оси.

Рассм отрим элементарную струйку вязкой

ж идкости

в

прямоугольной

системе координат (рис.

17). Выделим

сечениями 1— / и 2— 2отсек

этой

струй ­

ки. Пусть

в

указанны х

сечениях абсолю тные

скорости равны и, и

и2,

а

проек­

ции скоростей на оси координат uix,ulv,U\zи

и2х,u2v,u2z.З а

время

dtчерез

сечения 1— 1и 2—2проходит масса ж идкости

Найдем производную по времени от суммы моментов количеств

движ ения или

(иначе — изменение

момента секундного количества движ ения)

относительно

оси X. М омент

количества движ ения

массы, прош едшей за единицу времени

через сечение

/— 1 относительно оси

х,

будет равен

— U\zy\),

а массы, прош едшей

через сечение 2— 2 —

6 G m (u2!/z2 — u 6 G ,n (Mi!/2 1

2zy 2).

П олож ительны м

считается момент,

действую щ ий по часовой

стрелке, если

б Gm 1(игугг — иІуг ,) — (u2zy 2— иizy ,)].

Если сумму моментов относительно оси X всех внеш них сил,

действую ­

щих на рассм атриваем ы й отсек элементарной струйки, обозначить

через öM*.

4 Зак. 935

49