Файл: Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики.pdf

нения Рейнольдса п дифференциальное уравнение

неразрывности образую т

незамкнутую систему. Чтобы ее зам кнуть, необходимо найти

вы раж ения

для

турбулентны х напряж ений. П ервоначальны е попытки

в этом

направлении

со­

лили

бы

связать турбулентны е напряж ения

с

парам етрам и

осредненного

те­

чения.

Буссинеск предполож ил, что турбулентное

напряж ение

м ож ет

быть

вы ­

раж ено

зависимостью , аналогичной закону

Н ью тона для вязкого

трепня

[6].

Д л я

плоского потока это предполож ение позволяет записать

— рихиу= рб0

дих

(55)

ду

где

Ео— коэффициент

турбулентного

обмена, аналогичный

коэфф ициенту ки­

нематической

вязкости

В

отличии

от

определяем ого

основном

только

температурой

ж

идкости, коэфф ициент турбулентного обмена

е0

зависит

V .

V ,

в

от парам етров

течения

и геометрии

потока.

П рандтль,

исходя

из

сущ ествования

аналогии

м еж ду

хаотическим

дви ж е ­

нием частиц ж идкости

в турбулентном потоке и молекул

в

газе,

получил сле­

дую щ ую

формулу для

турбулентного

напряж ения

в

плоском

потоке

[6]:

-

р ихиу=

р/2

дих

дих

(56)

~ді

ду

где

/ — длина

пути

смешения, аналогичная

длине

свободного

пробега

молекул

в кинетической

теории газа.

П реимущ ество

формулы

(56) состоит в том,

что

относительно изменения

величины

I могут

быть

приняты

более

пли

менее

логически

обоснован­

ные

предполож ения. П одробное излож ение,

а

такж е

примеры

применения

полуэмпирических

теорий

Буссинеска,

П рандтля

и

других

исследовате­

лей

м ож но найти в

специальны х работах

по

турбулентны м

потокам

[3, 6,

59,

62].

П оле осредненных скоростей турбулентного

потока не дает полной харак ­

теристики его свойств. Так,

два турбулентны х

потока,

отличаю щ ихся лишь

уровнем

пульсаций

скорости, в общ ем

случае могут

оказы вать различное си­

ловое воздействие

на

обтекаемы е

поверхности.

Д л я

характеристики

уровня

лентности,

являю щ ейся

некоторой мерой

пульсаций

скорости относительно

осредненной

скорости.

Степень турбулентности представляет

собой

отношение

средней

к в ад р а ­

тичной пульсационной

скорости

У (и'}2

к осредненной скорости, т. е.

V К ) 2

(57)

и

т

где (и ')2 = -у I* (u')2dt

дисперсия пульсаций

скорости.

Величина

е часто

о

вы раж ается

в процентах.

Н ар яд у

со

степенью

турбулентности использую т и

другие характеристики

турбулентного

потока

(например,

масш табы и спектр

турбулентности)

[6, 41].

3. Механическое подобие потоков жидкости

и анализ

размерностей

Гидромеханические процессы в элем ентах струнной автом атики,

как п р а ­

вило, развиваю тся

под влиянием больш ого числа

ф акторов.

Эти

процессы

подчиняю тся

обшим

физическим

законом ерностям , конкретным вы раж ением

которы х для

потока

вязкой

ж идкости являю тся дифференциальны е

уравнения

(уравнения

Н авье-С токса)

и уравнение

неразрывности. Н о

эти

уравнения

справедливы

для целого класса

явлении

и имеют

бесконечное

число

решений.

С ледовательно, для

вы деления

рассм атриваем ого

явления из

целого класса

ственное

решение системы дифференциальны х уравнений. К условиям

одно­

значности

долж ны быть такж е отнесены физические

константы

(плотность,

вязкость

и

др .),

характеризую щ ие

сущ ественные

для

исследуемого

процесса

физические

свойства среды.

П од граничными

условиями

понимаю т

геометри­

ческие

характеристики

потока

(его

разм еры и ф орм у),

а

такж е

значения ки­

нематических

и

динамических

парам етров

на

границах

исследуемого

участка

потока. Н ачальны е условия

потока

характеризую т

геометрические,

кинем ати­

ческие,

динамические парам етры потока

в начальный момент

времени.

Количественно условия

однозначности

вы раж аю тся

рядом

постоянных

значений

кинематических

и

динамических

парам етров

на

границах

потока,

а в

начальный

момент

вр ем ен и — для всех

точек

потока. Эти постоянные п а ­

раметры

вместе

с заданны м и

геометрическими

разм ерам и

и

физическими

константами

являю тся

постоянными

парам етрам и

задачи . Таким

образом , для

реш ения

конкретной задачи течения ж идкости имеются система

дифференци­

альны х уравнении и совокупность значений постоянных парам етров,

т. е. ис­

комые

величины

являю тся

функциями независимых

переменных

и

постоянных

парам етров. К ак

независимые

переменные,

так и постоянные парам етры

пред­

ставляю т

факторы , определяю щ ие

процесс.

В

формировании

процесса

эти

факторы

проявляю тся

не

каж ды й

индивидуально,

а

в

слож ны х

сочетаниях

один

с

другим . С ледовательно,

при

решении задачи целесообразно

рассм атри ­

вать

не

м нож ество независимых переменных

и

постоянных

парам етров,

а их

безразм ерны е комплексы,

в

структуре которых

отраж ено

взаим одействие

р а з­

личных влияний.

Если

фиксирование значений постоянных разм ерны х

парам етров

вы деляет

частный случай течения ж идкости, то фиксирование

значений безразм ерны х

комплексов

вы деляет уж е

бесчисленную

группу

частных

случаев, назы ваем ую

обобщенным индивидуальным случаем. Обобщенный

индивидуальный

случай

охваты вает

группу родственных, подобных

м еж ду

собой

явлений,

поэтому

безразм ерны е

комплексы

назы ваю т

критериями

подобия.

Динамические

кри ­

терии подобия

вы раж аю т

соотнош ение

сил,

под

действием

которых

протекает

рассматриваемы й процесс. Эти критерии

могут быть получены

путем

подобного

преобразования дифференциальны х уравнений движ ения (41].

Н ар яду

с критериями

динамического подобия

процесс

м ож ет

определяться

и простыми

соотнош ениями

одноименных

величин,

назы ваем ы х

параметри­

ческими критериями. Будем

обозначать

их

П.

К ак

правило,

параметрические

критерии

представляю т

собой

определяю щ ие

геометрические

разм еры ,

отне­

сенные

к

какому-либо

характерном у разм еру

потока.

Равенство

таких п ар а ­

чески подобны.

Основные теоремы подобия и критерии

подобия

д л я

потоков

вязкой

ж идкости . Теория подобия

основывается

на

следую щ их трех

общ их теорем ах

подобия:

Первая теорема. Если

совокупность

явлении, определяемы х

системами

дифференциальны х уравнений и условиями однозначности,

образует

группу

подобных явлений, то величины, входящ ие в

определяю щ ую

систему,

долж ны

образовы вать

комплексы или критерии,

сохраняю щ ие

одно и то

ж е

числовое

значение для

заданной совокупности явлений.

Эта теорема указы вает необходимые условия подобия.

Вторая теорема. Ф ункциональная зависим ость

м еж ду

характеризую щ ими

процесс величинами м ож ет

быть

представлена

в

виде

зависимости

м еж ду со ­

ставленны м и из них критериями подобия.

Третья теорема. М нож ество

явлении,

определяем ы х

дифференциальными

уравнениям и и условиями

однозначности,

составляет подобную группу явл е ­

ний, если величины, входящ ие

в

условия однозначности,

составляю т

подобную

группу преобразований, а критерии подобия группы

явлений,

определенные

заданны м и

дифференциальны ми

уравнениям и

и

составленны е

из

указанны х

величин, имеют одно и то ж е значение.

Критерии подобия для потока вязкой

ж идкости

мож но

установить, ис­

пользуя диф ференциальны е

уравнения движ ения

(уравнения

Н авье-С токса).

Рассм отрим два

геометрически

подобных

потока

несж имаемой

ж идкости.

Д виж ение

частиц

ж идкости

в

сходственных

точках

этих

потоков описы вается

уравнениям и Н авье-С токса

(29). Запиш ем

эти

уравнения

для

сходственных

точек рассм атриваем ы х

потоков. При этом

один

из потоков

будем

считать

натурным,

другой — модельным

(принадлеж ность

парам етров

к

тому

или ино­

м у потоку отметим соответственно индексами

«н» и «м »):

1

dpН

■ + ѴнѴЧ' н -

■

диін

1 a

и

9Ui"

■

Рн

dip

dt„

+

ui

, .

1

dh,

1

dp»

• + ■ѴмѴЧм -

du( м

+

Ui M

duc „

Рм

дім

dtM

э .

ды

Если парам етры

натурного потока вы разить через парам етры модельного

потока и подставить

их в первое уравнение системы (58), то мож но получить:

Мgß; м

Мр

1

М„М.

., ,,

рм

dp*, + -

> ТчѴ 'Ч м —

м рмс

дк,

Щ

Ми

dujм

К

duj,

(59)

Mt

dtu +

- Мі

'<■] м

д'ы

Если натурный и модельный потоки динамически подобны, то диф ф ерен­

циальны е уравнения

движ ения частиц

в

сходственных точках долж ны быть

тож дественны . С равнивая уравнение (59)

со

вторым уравнением системы (58).

приходим к выводу, что эти уравнения будут

тож дественны ,

если комплексы,

составленны е из

масш табны х

множ ителей и

стоящ ие перед

членами

уравне­

ния (59), равны

м еж ду собой.

Таким образом , натурный и модельный

потоки будут данамически

подоб­

ны при условии, что

Мр

мѵми

M ^ = J<

(60)

Mg= мрмс

Mt

Ml

MJ

лення,

M vM j M j

— между

силами вязкости,

M u lM ,

— между

локальными

силами инерции

и, наконец,

М ^/М ^

— между

конвективными силами

инерции.

Если поделить равенства (60)

на

м Ц м г

то можно записать

M gM i

м р

м ѵ

""

M l

= 1,

М 1 -

M p M l -

М иМ і

МиМі

откуда следует четыре равенства:М иМ і

”

К

м ѵ

M gM i

(бі)

M uM t

Mp

M l

M p M l

Левые

части

равенств

носят

название индикаторов

подобия.

М е =Подставляя

в= формулуёп/ём),

(61)

значения масштабных

множителей и

рассматривая

случай,

когда из объемных сил действует

лишь сила

тяжести

(т. е.

а,-„/а,-м =

иі

и2

названия: Re = — — критерий

Рейнольдса; Fr = —— — критерий Фруда,

V

gl

ut

р

I

рц2

Re = idem, Fr = idem; St = idem; Eu = idem.

(62)