Файл: Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики.pdf

м ож но

принять

и

радиус, периметр и

т. п .). Разум еется,

что

численное значе­

ние Re

зависит

от

того, какой именно

парам етр

принят в

качестве L.С равни ­

вать м ож но лиш ь числа Re, составленны е одинаковы м образом .

Если сечение потока не круглое,

то

в

качестве L часто

принимаю т отно­

шение

площ ади

ш

поперечного сечения

к

периметру соприкосновения потока

с тверды ми стенками. Это отнош ение

представляет собой

линейную

величину

и назы вается гидравлическимрадиусомсечения R — со/'/-

В

частном

случае, когда поперечное

сечение круглое — R — ndP-IAnd= d/4,

т. е. d= AR. П оскольку R м ож но вычислить

для сечения

любой

слож ной

диаметром и обозначается d r. С ледовательно, для сечений некруглой

формы

число Re м ож ет бы ть составлено по гидравлическом у диам етру.

О пределение критических чисел Рейнольдса, при которых

происходит пе­

реход одного реж им а течения в другой, имеет исклю чительно

важ ное

значе­

скоростей, гидравлическое сопротивление, способность к

переносу

тепла

и

др.

Х отя

проблема

перехода изучается уж е

много

лет,

однако

она

ещ е

далека

от

разреш ения. Н аиболее полно

изучен

переход

для

случая

течения

в

трубах

постоянной

по

длине

площ ади

сечения

(особенно

в

к р у гл ы х ). П оэтом у

о ста ­

новимся подробнее на рассмотрении перехода

реж им ов

применительно

к у к а ­

занны м случаям .

(р=

Т= const)

В

заданны х условиях

const,

для

потока

данной

ж и дко ­

сти

(ѵ =

const)

и

известны х

разм еров

(dr = const)

число

Рейнольдса

м ож ет

изменяться за счет изменения скорости

течения

ѵ. Если

в

трубопроводе

уве ­

личивать скорость течения ѵ,начиная от нуля, то

вначале

будет

наблю даться

лам инарны й режим . При некоторой

скорости

течения,

назы ваем ой

верхней

критической

и обозначаемой

(цкр) в,

происходит

полный

переход

ламинарного

реж им а

в турбулентны й. Соответствую щ ее

этой

скорости

число

Рейнольдса

назы вается

верхним критическим числом Рейнольдса и

обозначается

(R eKP) в

(см. рис. 11). При

Re >

(R eBp) B наблю дается

развиты й

турбулентны й

режим

течения. Если от развитого турбулентного

реж им а путем

уменьш ения

скоро­

сти

течения

в трубопроводе

идти к лам инарном у

режиму, то

переход

произой­

дет

при

скорости,

меньшей

(оир) в. Эта

скорость

назы вается

нижней

критиче­

ской скоростью

и

обозначается

(икр) ».

Ей

соответствует нижнее критическое

числоРейнольдса (R eKP) n. По опытам,

выполненным О. Рейнольдсом на длин ­

ной круглой трубе, оказалось, что

(R eKP) H « 2200,

a

(R eKp) B =

12000 ч- 13000.

О днако

последую щ ие

многочисленные

исследования

показали,

что

величина

(R eKp) в сущ ественно

зависит

от целого

ряда факторов, например, от условий

входа

потока в

трубу

(вход

м ож ет

быть резким

или

плавным)

и

наличия

в нем

начальны х

возмущ ений,

определяем ы х

условиями

движ ения

потока

перед входом в рассм атриваем ую трубу

(или, как говорят, «историей потока»),

В зависимости

от

указанны х

ф акторов

число

(R e„p)„

м ож ет меняться в

ш и­

роких пределах. Так, путем особенно

тщ ательного

уменьш ения

начальны х

возмущ ений

было

достигнуто

(R eKp) в = 40000

(61]. Ч ем

хуж е

условия входа

(наличие острых краев трубы и т. п.) или чем

больш е возмущ ен поток на

вхо ­

де, тем меньше при прочих равных условиях число

(R eKp) B.

В

отличие

от

(Re,lp) в нижнее

критическое

число

Рейнольдса

сказы вается

более

стабильной

величиной. Д л я

круглоцилиндрических

труб,

например,

чис­

ло

(R eKp) „,

согласно

многим

опытам,

составляет

приблизительно

2300.

Эта

величина не зависит ни от рода

ж идкостей,

ни от

диам етра

трубы,

ни

от

ш е­

роховатости

ее

стенок.

Так,

для

воздуха,

воды,

м асла

и

других

жидкостей

(R eKp) и

будет

одинаковы м

для

данны х граничных

условий.

Л ю бые,

даж е

сильные,

возмущ ения

со

временем

затухаю т

в

потоке, если

для

него

число

Re

меньш е

(R eKp)„. И так,

чем

неблагоприятнее условия

входа

и

«история

пото­

ка», тем меньш е разница

м еж ду

(R eKp) п и (R eBP) B.

В

настоящ ее

время

установлено,

что

полный

переход

одного

реж има

в другой не происходит внезапно. Так,

при

увеличении

скорости

и

приближ е­

нии

Re потока

к

(R eBp) в сначала

а

отдельны х точках

лам инарного

потока

появляю тся

очаги

турбулентности.

Если исследовать

при

этом

поведение

Q '/ / / / / / / / / ,

1

Г7777Т77777------^

1

Ламинарный

1

Турбулентный

режим

1

режим

течения

течения

е*р)н

№екр)ь

Рис.11.Сменарежимовтеченияжидкостей

скорости во времени в какой -либо точке потока,

м ож но обнаруж ить,

что ско ­

рость в этой точке то остается стабильной,

как в

лам инарном потоке,

то

начи ­

нает

пульсировать, как

в

турбулентном

потоке. Т акое

ж е чередование

р еж и ­

мов

во времени

имеет

место и при

обратном переходе

турбулентного

реж им а

в лам инарны й,

т. е. при приближ ении Re

к

(Re,<p)„ . С ледовательно,

течение в

момент перехода носит перем еж аю щ ийся

характер. Количественной

характерн ­

стикой такого

течения

ых

ра в ­

является коэффициент перемежаемости kn——

ный

отнош ению

времени

Гт сущ ествования

турбулентности ко

всему

периоду

наблю дения Т. Коэффициенту £ п = 0 соответствует лам инарны й

режим, а коэф ­

фициенту

k„= 1 — турбулентны й. При 0 <

Ап <

1

течение является

переме­

ж аю щ им ся. Н а

рис. 11

показаны границы

появления перем еж аем ости (ш три­

ховые линии)

и

границы

перехода (сплош ные линии).

Число

(Re,(p) п = 2 300

получено

для

течения

ж идкости в

круглоцилиндрических трубах. Д л я

сходя ­

щ ихся и расходящ ихся участков труб оно будет уж е другим .

Н а сходящ ем ся участке течение

несж имаемой

ж идкости ускоренное

и спо­

собность к завихрению потока меньше, чем

на цилиндрическом участке трубы .

П оэтом у

на

сходящ ем ся

участке

лам инарное течение

более

устойчиво

и пе­

реход к турбулентном у

реж им у происходит при

больш их значениях

критиче­

ских

чисел Рейнольдса.

Н а расходящ ем ся участке движ ение

несж имаемой

ж идкости замедленное,

способность к

завихрению

оказы вается большей,

чем при движ ении

в

кругло-

цилиндрической

трубе. П оэтом у лам инарны й реж им

в

расходящ ихся

потоках

менее устойчив

и переход

к турбулентному

реж им у

наступает

в них при мень­

К инематические

характеристики

и модели потоков. П оток

сплош ной

лег­

коподвиж ной

среды

характеризуется

рядом

физических парам етров

(давле­

нием, скоростью , температурой, плотностью , вязкостью и др .).

В общ ем

слу­

чае эти парам етры по тем или иным

причинам

меняю тся

от

течки

к

точке

потока. П оэтом у следует

говорить о

полях указан ны х физических парам етров

(например, поле скоростей, давлений, тем ператур

и т. д .).

Д л я

данного потока

поля физических парам етров

не

являю тся

произ­

вольными, независящ им и

одно от другого. Они

связаны

м еж ду

собой

опреде­

ленными

соотнош ениями,

следую щ ими

из

таких ф ундам ентальны х

законов

природы,

к ак

закон

сохранения массы,

законы

изменения

количества

дви ж е ­

ния и момента

количества

движ ения,

первый и второй законы термодинамики.

П рим еняя

эти законы

к потоку

легкоподвиж ной сплош ной

среды,

мож но

получить

основные

уравнения, которые

использую тся

для

реш ения

задач

движ ения

такой

среды.

Реш ение

этих

уравнений

в общ ем случае,

когда

пере­

менными

являю тся

все

физические

парам етры ,

представляется

затруднитель­

ным. П оэтом у

при

решении

практических

задач

стрем ятся ввести

различные

упрощ ения. Так,

например,

при

течении

капельной

ж идкости,

если

не

проис­

ходит ее

нагрев

или охлаж дения,

тем пературу,

плотность и

вязкость

можно

считать постоянными во всех точках

потока. Д л я такого

изотермического о д ­

нородного

потока

несж имаемой

ж идкости

рассм атриваю тся лиш ь

поля

скоро­

стей

и давлений.

Течение сж им аемой среды,

т. е. газа,

в

элем ентах

струпной

автом атики

часто происходит в условиях, когда

либо

тем пературу

газа

мож но принять

постоянной, либо

мож но считать, что

теплообмена

с окруж аю щ ей

средой не

происходит. В соответствии с этими

допущ ениями течение

газа

рассм атривает­

ся как изотермическое или как адиабатическое.

С ледует отметить,

что если

нет сущ ественного

подвода или

отвода

тепла

от потока газа, то плотность его в

соответствии

с уравнением

(9)

будет

за в и ­

сеть

от давления,

которое,

в свою

очередь,

связано

со

скоростью

потока.

П оэтому,

если

скорость

газа

невелика,

то ее

изменение по

потоку

мало

влияет

на величину давления, а следовательно, и на плотность газа.

При относительно небольш их величинах

скоростей

течение

газа

без

под ­

вода

или

отвода

тепла

практически

не

отличается

от

течения

несж имаемой

ж идкости. Так,

например, если

скорость

потока

воздуха

не превыш ает

70 м/с,

то его мож но

рассм атривать как поток

несж имаемой

ж идкости. В

элементах

струйной

автом атики, работаю щ их

в диапазоне

низких

давлений,

скорости

течения газа относительно невелики и

его

сж им аемостью

часто

мож но

прене­

бречь. О днако

в

отдельны х

случаях

(например,

в сверхзвуковы х

диодах,

вих ­

ревых и других

элементах,

работаю щ их

на

высоких

давлениях

питания)

ско­

рости течения газа и их изменение

в

пределах элементов

оказы ваю тся

значи ­

тельными.

Разум еется,

в таких

случаях

приходится

учиты вать

сж им аемость

газа.

В дальнейш ем

излож ении

под

несж имаемой ж идкостью мы

будем

пони­

м ать

капельны е

ж идкости и газы

в условиях,

когда

в

различных

точках

пото­

ка не

происходит

сущ ественного

изменения

их плотности. С ж им аем ой

ж и дко ­

стью

будем назы вать газ в условиях,

когда

его

плотность

в различных

точках

потока значительно отличается.

М етоды описания потоков

и их

основные

кинематические

характеристики.

При

рассмотрении

течения

как

несж имаемой,

так

и

сж им аемой

ж идкости

быть определены

поля и других

парам етров.

Различаю т

два

аналитических

м етода

описания

кинематических

характеристик

потока — м етод

Л агр ан ж а и

м етод

Эйлера. С ледуя методу Л агр ан ж а,

в начальны й

момент

времени

ф ик­

сирую т координаты

интересую щ их

частиц

ж идкости

и

затем

рассм атриваю т

их движ ение во

времени. М етод

Л агр ан ж а

позволяет,

следовательно,

уста ­

новить

траектории

фиксированны х

частиц. М етод

Э йлера

состоит

в

том, что

в пространстве

вы деляю тся

интересую щ ие

точки

и

исследуется

изменение

скоростей в этих точках в течение

времени. М етод

Э йлера

позволяет

вы разить

скорости в различны х точках потока

вне зависимости

от

того,

какие

частицы

ж идкости через

них проходят. М етод

Э йлера

значительно

больш е

приспособ­

лен к специфике гидроаэром еханических задач,

кроме того,

он

сущ ественно

прощ е

м етода

Л агр ан ж а . В

связи

с этим

метод

Э йлера

получил

преимущ ест­

венное применение в гидроаэром еханике.

При рассмотрении движ ения ж идкости

обычно использую т прямоугольную

систему координат. При этом оси

координат обозначаю т

OX, OY и

OZ, а

про­

екции

скорости

их,иу,uzили и,и,W. И ногда

оси

координат

обозначаю т

ОХі,

ОХо и ОХз,

а

компоненты скорости

и,,и2и «3. Д л я упрощ ения

записи основ­

ных уравнений

использую т

тензорны е

индексные

обозначения.

Так,

наим ено­

вания

трех

осей

координат

сокращ енно м ож ет

быть

записано

в

форме

ОЛ',-.

а проекции

скорости

щ,где іпринимает значения

1, 2 и 3.

Если сохранить обозначения осей О/У, OY и

OZ, то

сокращ енно их наим е­

нования мож но записать в форме

Оі (где под іпонимается

наименование

оси).

О чевидно i= X, У

и Z. Компоненты скорости их, иу и и- запиш утся

н, (і =

л-, у, z).

С

ледуя м етоду

Эйлера, вы разим проекции скорости в произвольной точ­

Проекции ускорения могут быть записаны в виде

йщ

du;

dui

ди-с

ht

dt

(t,X

У’ 2) = hi +

Uj

h i

(15)

где

/ — обегаю щ ий

индекс,

принимаю щ ий

при

данном

іпоследовательно

зн а ­

чения а',

у и г. Н аличие

в отдельном

вы раж ении

повторяю щ егося

индекса

означает

суммирование

по

этом у

индексу. Так,

например,

проекция ускорения

на ось I = Xзапиш ется:

dux

dux

dux

âux

dux

dt

dt +

ux

dx + üy

ây + «г

dz

И з уравнения

(15)

следует, что

ускорение

в

точке

потока ж идкости скл а ­

ды вается

из

двух

частей.

П ервая

д у

характеризует

изменение

скорости

—

в данной точке во времени и

назы вается

локальным

ускорением.

В торая

ди;

характеризует

изменение

скорости

в пространстве, т. е. при переходе

Uj—

от данной точки к соседним и

назы вается

конвективным ускорением. Если

п а ­

раметры потока (и в первую

очередь скорость)

не

меняю тся во

времени,

т а ­

кой

поток назы вается

установившимся или стационарным. Д л я

установивш е­

гося

потока

локальное

ускорение

равно

нулю.

Если

ж е

парам етры

потока

изменяю тся

с течением

времени,

такой

поток

будет

неустановившимся (неста­

ционарным).

і) и

Конвективное

ускорение вклю чает

одноименные

(/ =

разноименны е

(у ф і)

ди;

производная

вы р аж ает

скорость

прои зводны е — г— .О дн о и м ен н ая

удлинения отрезка

о/

длины при

его

движ ении

параллельно

данной

единичной