ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 308
Скачиваний: 6
184 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
Таким образом, |
в этом случае истинная ошибка в 2 0раз превыша |
ет изменение, сделанное за итерацию. Поэтому для сетки такого размера важно установить допустимое отклонение в по край ней мере в 10 раз более жесткое, чем требуемая точность решения. Кроме того, очевидно, что чем медленнее сходимость (чем больше взято узловых точек и чем ближе К к 1), тем легче удовлетворить условиям сходимости, основанным на величине А. В предельном случае итерационного процесса, совсем не улучшающего началь ное приближение, любой основанный на величине А критерий будет удовлетворен на первом же шаге, хотя, возможно, выбранное приближение и не имеет никакого отношения к истинному решению.
Существенно лучше строить критерии на степени удовлетворе ния данных уравнений, т. е. на величине невязки, а не просто на
изменениях, |
совершающихся |
во время итерационного процесса. |
|
||||||
Однако даже в этом случае положение не слишком благоприятно. |
|
||||||||
Представим |
разностное уравнение на сетке п |
X п в виде |
|
||||||
|
|
|
Л |
ф |
* |
- |
р |
, |
|
где ф |
—* |
точное решение для зарядов р |
и А — матрица, размер |
|
|||||
ности /г2 |
X п2 с одной строкой для каждого из п2 сеточных урав |
|
|||||||
нений. Тогда вектор невязки на t-ж итерации определится как |
|
||||||||
разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= |
Л |
ф |
№ |
- |
р |
а истинная ошибка будет иметь вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
g(<) = |
ф(Ц — ф*. |
|
|
(74) |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R |
= |
Ле<*>, |
|
|
(75) |
|
и, взяв |
норму от обеих частей равенства, получим |
|
|
||||||
IIR II < ІИ II ||е<«||.
С другой стороны,
Ф* = Л-1р
IIФ* П С ІМ -Ч ІІІР ІІ,
или
ІІР ІІ> ІМ - 1ІГЧІФ*ІІ-
Разделив (76) на (79), |
получим |
|
RI |
-п н |
II ею II |
IIP II |
.....................II |
ф |
Аналогично можно показать, что |
|
|
І|г(г>11 |
л„п л-1і„ |
Hl |
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
§ 4 . Произвольный закон взаимодействия |
185 |
сопоставляя последние два неравенства, приходим к соотношению
1 HR II
к ІІРІІ
где
II £<*>11 |
у'II В И |
(82> |
II Ф* II |
ІІРІІ |
’ |
К : II А II II А_1II- |
(83) |
Для модельной задачи Пуассона с известными собственными векторами при та = 128
К |
cos (га — 1) п /п — 1 |
4га2 |
6400. |
(84). |
|
cos л/га —1 |
я 2 |
||||
|
|
|
Следовательно,
41 |
II R II ^ |
II s<f) II |
6400 |
II р И ^ |
II Ф* II |
С 6 4 0 0 -Ш |
(85) |
ІІРІІ |
|
поэтому для уверенности в том, что относительная ошибка в реше нии меньше чем, например, 10~3, необходимо установить такоеусловие, чтобы норма невязки не превышала ІО-7 от нормы век тора заряда. Важно, что знак равенства в соотношении (85) может осуществляться при специальном выборе векторов р, ф*, R, и потому контроль, основанный на величине невязки, может ока заться очень нечувствительным, особенно для большого числа узловых точек.
По-видимому, нет удовлетворительного способа для опреде ления момента прекращения итераций. Интуитивно понятно, чтонет необходимости строго придерживаться теоретических резуль татов, которые получены для наихудших случаев, возможно, и не встречающихся на практике. В самом деле, общепринято прене брегать теоретическими оценками сходимости, проводя, напри мер, всего 6—7 итераций при критерии А < 1СР3. Даже в этом случае получаемые результаты выглядят физически разумными. Но этого недостаточно, и, как мы видели выше, небольшие изме нения от итерации к итерации или небольшие невязки не обеспе чивают соответствующую точность решения даже в пределах нескольких порядков величины. Когда это возможно, применение
прямых методов — явно наилучшее |
решение проблемы. |
§ 4. П р о и зво л ьн ы й за к о н |
вза и м о д ей ст ви я |
Рассмотрим теперь методику преобразования Фурье, которая применима в случае произвольной силы (или потенциала) взаимо действия. Эта методика была разработана независимо рядом исследователей, включая автора, Миллера и Прендергаста [25], а также Рибицкого.
Пусть требуется вычислить потенциал на прямоугольной сетке, созданный распределением частиц, заданным на той же
186 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
сетке (здесь для простоты сетку считаем квадратной, п X п). Частицы будем называть «зарядами», но это не означает, что взаимодействие между ними обязательно носит характер взаимо действия между зарядами.
1. Двумерно-периодические системы |
|
|
Предположим, |
что все функции f Sit, определенные |
на сетке |
O ^ s , t ^ п — 1, |
продолжены периодически в обоих |
направле |
ниях. Двукратное разностное преобразование Фурье такой функ ции можно определить следующим образом:
71— 1
f k , i = 2 |
|
/e.texp [ —-— -(sfc-MZ)] . |
(86) |
s, t—0 |
|
|
|
Тогда разложение Фурье |
функции-оригинала запишется в виде |
||
|
П—і |
|
|
/ s . г = ^ 2 |
2 |
/ f t . гехр [ ^ - ( s /г + г/)] . |
(87) |
|
ft, г=о |
|
|
Эти соотношения для разностного преобразования Фурье можно доказать, пользуясь свойством ортогональности
П - 1
2 еХР p ^ ( Ä — l)~] =nÖh, i-
s = 0
Потенциал в узле (а, Ъ) можно определить, вычисляя непосред ственно сумму вкладов от зарядов во всех остальных узлах по фор муле
П- 1 |
|
фо.Ь^ 2 9s, t F a - s , b - U |
(88) |
s , ( = 0 |
|
где 4s, t — заряд в узле (s, t). Взаимодействие между зарядами описывается функцией FCy d, которая равна потенциалу, создан ному в точке (с, d) единичным зарядом, расположенным в начале координат (0, 0). Эта функция имеет произвольный вид, ограни ченный лишь общим для всех функций условием периодичности по обеим координатам вне области определения.
Количество операций, необходимое для вычисления потенциа ла на всей сетке по формуле (88), будет пропорционально и4 с не большим коэффициентом пропорциональности. В наиболее бла гоприятном случае, когда F вычислено заранее и хранится в памя ти, количество операций составит и4. При п = 128 и быстродей ствии 2 мкс на операцию такой расчет потребует 9 мин машин ного времени. Эти числа следует сравнить с 10 п3 log2 п и 2,4 с для метода преобразования Фурье, который будет описан ниже. Хотя
§ 4. Произвольный закон взаимодействия |
187 |
с помощью аппроксимации и применения дифференцированного набора сеток и может быть достигнута некоторая экономия в мето де суммирования [26], такая программа все-таки работает медлен нее, чем метод преобразования Фурье, дающий точное решение.
Подставляя в (88) фурье-образ потенциала взаимодействия F
П- 1 7 1 - 1
Ф*.ь = 7ПГ |
2 |
2 |
A . i e x p { - ^ [ ( a - * ) Ä + (b - f)J]} |
(89) |
||
s, |
і = о |
іі, г=о |
|
|
|
|
и изменяя |
порядок |
суммирования, |
получаем |
|
||
|
|
гг— 1 |
гг— 1 |
|
|
|
Фа. ъ = -^- |
2 |
г { |
2 g«.texp[ —-^(sA -M Z )]} |
X |
||
|
|
ht 1=0 |
s, |
t=0 |
|
|
|
|
|
X exp |
(a k + |
Ы ) ] . |
(90) |
Член в фигурных скобках равен по определению фурье-образу заряда q, следовательно,
71- 1
Фа. ь = 7 2 2 Fk.iqk.i exp [ “ ( ^ + feZ)] . |
(91) |
ft, 1=0 |
|
Сравнивая (91) с определением преобразования Фурье, оконча тельно получаем
Щ, i — Fk,iQh, г- |
(92) |
Это конечно-разностный аналог теоремы о свертке, утверж дающей, что фурье-образ свертки двух функций равен произве дению их фурье-образов. Здесь потенциал равен свертке распре деления заряда с потенциалом взаимодействия.
Итак, потенциал, созданный двумерной периодической сово купностью зарядов с произвольным потенциалом взаимодействия, может быть найден следующим образом. Сначала записывается на сетке требуемый двумерно-периодический потенциал F для единичного заряда в начале координат. Вычисляется и запомина
ется фурье-образ F этого потенциала взаимодействия. Это вычисле ние нужно выполнить только один раз. На другой сетке определя ется распределение заряда q для каждого временного шага чис
ленного эксперимента. Вычисляется фурье-образ q этого распре деления заряда, который можно записать на место исходного распределения q. Фурье-образ заряда умножается на фурьеобраз потенциала взаимодействия, что дает фурье-образ распре деления потенциала. После этого путем двукратного обратного преобразования Фурье вычисляется распределение потенциала, созданное исходным распределением заряда. Результаты всех
