ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 312
Скачиваний: 6
§ 5. Некоторые численные модели |
193 |
Таблица 9
Модели с произвольным“ законом взаимодействия, использующие программу РОТЗ для вычисления поля по методу преобразования Фурье
Указано время работы центрального процессора в секундах
ЭВМ |
CDC 6600 (автокод COMPASS) |
IBM 360/67 3* |
||
Количество частиц |
10 000 |
50 000 |
50 000 « |
100 000 |
Сетка 6 |
32x32 |
64x64 |
128x128 |
64x64 |
RHO |
0,19 |
0,87 |
0,87 |
5,97 |
РОТ |
0,49 |
1,85 |
7,54 |
9,24 |
ACCN |
0,57 |
2,83 |
2,83 |
21,37 |
Цикл |
1,25 |
5,56 |
11,24 |
36,58 |
аФактически для плоского движения точечных зарядов.
®Указан размер (пхп) сетки для изолированной системы. Та же сетка применима
идля двумерно-периодической системы размером 2пх2п.
вПотребовалось хранение координат частиц в памяти на дисках. Указанное вре
мя не включает времени записи на диск и чтения с него.
г Расчет на Фортране IV с использованием только внутренней памяти [компиля тор уровня Н (вариант 2) для модели 67-1 с LCS-памятью].
упомянутых случаях расчет проводился в имеющейся оператив ной памяти объемом в 100 000 машинных слов по 60 бит. Для этого необходимо было размещать в одном машинном слове х- и у-коор динаты и X- и ^-компоненты скорости частицы, используя 15 бит на каждую единицу информации. Координата, измеренная в еди ницах шага сетки, записывалась в фиксированном месте в шести двоичных разрядах, а скорость в единицах пространственного шага сетки, деленного на временной шаг,— в 13 двоичных раз рядах.
При такой ограниченной точности в представлении скорости нельзя брать слишком короткий шаг по времени. Этот шаг должен быть достаточно длинным, чтобы изменение в скорости за один временной шаг было больше, чем минимальная представимая ско рость.
Борис и Робертс [15] применяли другую упаковку величин. Они записывали (X , К) в одном слове, а (D X , DY) — в другом. Ускорение определялось на сетке и хранилось в памяти как (АХ •DT’1, A Y -D T 2). Новые значения скорости в этом случае опре делялись сложением спаренного вектора ускорения со спаренным вектором скорости, а новые координаты — сложением спаренного вектора скорости и вектора старых координат. При сложении спа ренных слов количество арифметических операций уменьшается вдвое и сокращается количество машинных команд.
1 3 -01236
194 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
Благодаря этой методике Борису и Робертсу удалось сокра |
|
тить |
время, необходимое для пересчета координат и скоростей |
в системе из 50 000 частиц, до 7,2 с при счете на KDF9 фирмы «Инг |
|
лиш |
электрик» (сравнимой по объему памяти и быстродействию |
с IBM 7090). Очевидно, что времена, указанные в табл. 8 и 9 для |
|
стадии пересчета, можно значительно уменьшить, если использо вать технику векторного сложения. С помощью тщательной буфе ризации (использовались три буфера) Борис и Робертс смогли
хранить координаты на магнитной ленте без потерь в скорости, |
||
и, следовательно, им удалось |
добиться того, что KDF9 рабо |
|
тала как машина с оперативной |
памятью в несколько миллио |
|
нов слов. |
|
|
§ 6. П р и м е н е н и я |
к |
моделям ч а с т и ц |
Как уже отмечалось, проблема вычисления потенциала возни |
||
кает как в модели отдельных |
частиц, так и эйлеровой модели. |
|
В первой из них система описывается путем расчета индивидуаль ного движения большого количества типичных частиц, а во второй на фиксированной в пространстве сетке решаются дифференциаль ные уравнения в частных производных, представляющие собой гидродинамическую аппроксимацию системы. В любом случае для определения сил, действующих на систему, приходится вычис лять потенциал, .созданный заданным распределением источников. Ниже мы ограничимся обсуждением ряда приложений к моделям частиц, отсылая читателя для обсуждения эйлеровых моделей к другим работам.1
1. Преимущества и недостатки модели частиц
Максимальное количество частиц в модели, движение которой можно изучать на современных ЭВМ (например, CDC 6600 или IBM 360/91), имеет порядок ІО5. Эта величина все еще на шесть порядков ниже количества звезд в галактике или количества частиц плазмы даже в плазменной установке небольшого объема. Следовательно, каждая типичная частица в численной модели с необходимостью несет заряд и массу примерно ІО6 электронов или ионов, и потому машинную частицу лучше рассматривать как центр тяжести облака электронов или ионов с размерами простран ственной ячейки сетки. Но, к сожалению, ионы и электроны плаз мы не собираются в облака с размерами порядка размера ячейки машинной программы, и большая часть проблем, связанных с ис пользованием моделей частиц, возникает из-за такого сильного укрупнения дискретной структуры модели.
§ 6. Применения к моделям частиц |
195 |
а. Шумы и флуктуации |
|
В силу этой укрупненное™ как частота парных столкновений, так и среднеквадратичные флуктуации электрического поля воз растают по отношению к своим значениям в реальной плазме про порционально количеству ионов или электронов в облаке. Сле
довательно, особенно |
важны |
оценка величины |
этих |
эффектов |
и доказательство того, |
что |
они несущественны |
по |
сравнению |
с изучаемыми явлениями. |
|
|
|
|
Кроме того, конечность шага по времени и пространственного шага, используемых в модели частиц, приводит к случайным полям из-за ошибок аппроксимации и нарушению законов сохранения. Хорошо известно, что в реальной плазме хаотические поля вызы вают стохастический нагрев плазмы [33—35]. В моделях частиц неизменно наблюдается увеличение кинетической энергии по этой причине. Недавно Бэрдсол и Фасс 117] предложили сглаживающую процедуру, уменьшающую этот эффект.
б. Столкновительные эффекты
Вчисленной модели плазмы, точно так же как и в реальной
плазме, относительное значение эффектов парных столкновений и коллективных эффектов в двумерном случае измеряется количе ством частиц в дебаевском квадрате N. Выбрав плазменный период Гр в качестве характерного времени коллективного взаимодей ствия и время между столкновениями тст в качестве характеристи ки бинарных эффектов, получим
_ N
Тхт — tp.
Величина К зависит от специфики используемого метода оцен ки и от того, как именно определяется время столкновений, т. е. от того, определяется ли последнее как время замедления в связи с передачей импульса, как время релаксации по обмену энергией или как среднее вероятное время отклонения пробной частицы на 90°. В любом случае для модели стержней величина К , по-ви димому, лежит между 1 и 10. Хотя некоторые оценки величины столкновительных и шумовых эффектов уже получены 11] и под тверждены измерениями [36], еще предстоит большая теоретиче ская работа для удовлетворительного обоснования этого вопроса. Первые шаги в этом направлении сделаны Бэрдсолом и др. [37].
в. Ограничения пространственных размеров
Если принять, что К та 10, то для изучения какого-либо бесстолкновительного плазменного явления в течение 100 плазмен ныхпериодов необходимо иметь примерно 1000 частиц в дебаев-
13*
196 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
ском квадрате. Следовательно, при ІО5 частиц можно изучать область размером в 10 А так как многие экспериментальные явления охватывают расстояния в многие тысячи дебаевских длин, то модель частиц более всего подходит для изучения поверхност ных областей и случаев, когда на явлении не сказывается искаже ние дебаевской длины.
г. Ограничения временных масштабов
Чтобы проследить за движением каждой частицы в модели, необходимо интегрировать уравнение движения Ньютона. Эти вы числения приходится проводить по явной схеме с шагом по вре мени, более коротким, чем самый мелкий масштаб времени в си стеме. Такое условие обычно требует около 10 временных шагов на один электронный ленгмюровский период. Например, при за тратах времени в 30 с на 1 временной шаг и типичном расчете про должительностью в 3 ч можно рассмотреть 360 электронных ленгмюровских периодов. В водородной плазме этому соответствует всего лишь девять ионных ленгмюровских периодов. Поэтому боль шая часть расчетов в моделях частиц выполняется с искусствен ным значением отношения массы иона к массе электрона в преде лах от 64 до 16, что дает возможность изучить от 45 до 90 ионных ленгмюровских периодов.
д. Модели частиц
Преимущество модели частиц состоит в том, что в пределах заложенного в нее физического взаимодействия она моделирует
все свойства реальной плазмы. В ней без труда можно |
учесть |
эффекты инерции и конечности ларморовского радиуса, и |
не воз |
никает затруднений с взаимопроникновением пучков, |
которое |
в гидродинамическом описании приводит к неоднозначности поля скорости. В этом отношении модель частиц столь же гибка, как и подход на основе разностного решения уравнения Больцмана в фазовом пространстве. В последнем заменяют распределение частиц весьма грубым разбиением четырехмерного фазового про странства. Этот метод был использован Киллином и Ромпель [38], которые делили сеткой 81 X 12 X 19 X 9 (содержащей примерно 160 000 узлов) фазовое пространство z, г, ѵх, ѵТ при численном моделировании Е-слоя в термоядерной установке «Астрон».
Миллер и Прендергаст [25] использовали другой интересный подход, в котором отдельные биты машинной памяти использова лись для регистрации наличия или отсутствия частицы в ячейке фазового пространства. Этот метод дал возможность моделировать галактику на типичной сетке 256 X 256 х 50 х 50 в фазовом пространстве х, у, ѵх, ѵу.
