ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 360
Скачиваний: 6
§ 3. Исследования с частицами конечного размера |
33 |
где L — длина системы. Первый член справа есть энергия, содер жащаяся в электрическом поле, а второй — энергия, которая требуется, чтобы изотермически создать в газе из центров облаков требуемую флуктуацию плотности. Из формул (35) и (36) находит ся среднее значение величины EIL,
К Т
(37)
2 { 1 Zc2A,|j exp [/с2а2]}
Видно, что (Е%) сильно уменьшается, когда величина к2а- боль ше единицы.
Верхняя пунктирная кривая на фиг. 10 получена из теории для плоских листов, т. е. при а, равном нулю. Точки — резуль таты численного эксперимента; они очень хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями. Некоторые расхождения имеют ся при малых номерах мод, но они обусловлены в основном тем обстоятельством, что начальные условия не обеспечивают эти моды в начальный момент энергией КТ, и проходит много времени, прежде чем они релаксируют к своему тепловому значению (здесь используется усреднение по времени). Из фиг. 10 можно заметить, что использование частиц конечного размера почти не влияет на теоретически полученные флуктуации в области длинных волн, но, как и ожидалось, сильно подавляет их в области коротких длин волн. Мы просчитывали другие случаи с различными зна чениями а и всегда приходили к тем же результатам.
Другой интересной задачей, которую можно решить, является вывод дисперсионного соотношения в модели частиц конечного размера. Уравнение Больцмана в отсутствие столкновений для
этих частиц имеет вид |
|
|
|
|
£/ |
.v ! L + J L V |
о, |
(38) |
|
dt |
дх |
771 ÖV |
|
|
|
|
|||
где / (ж, ѵ) — функция распределения центров облаков и их ско ростей. Действующая на частицы сила получается путем интегри рования выражения Е (Е) р (Е, х) по всем Е, где х — координата центра заряженного облака:
F (х) = 4лОН f |
dkexvl-ikx - kW ] |
Г j к' du' |
J |
у 2лк |
J |
Такое же выражение, за исключением множителя ехр [—к2аЦ, получается и для точечных частиц. Линеаризуя уравнение (38) и используя преобразование Фурье по координатам и времени,
3—01236
34 |
Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация |
|
||
получаем |
|
iF (k, to) dfoldv |
|
|
|
f{k, to) |
|
(40) |
|
|
m((ü-\-kv — ie) |
’ |
||
|
|
|
||
|
k F — 4яо2 exp [— k2a?] j f(k, |
v) dv. |
(41) |
|
Здесь добавлено малое затухание в для определения направления интегрирования вокруг полюсов. Подставляя выражение (40) в (41), получаем дисперсионное соотношение
1 |
4яа2 |
■к2а2] J |
(dfo/dv) dv |
(42) |
тк ■ехр |
со -р кѵ—•is |
За исключением множителя ехр [—к2а2], оно совпадает с обычным дисперсионным соотношением. Таким образом, длинноволновые моды, остаются прежними, в то время как коротковолновые моды сильно изменяются.
3. Редкий холодный пучок в модели частиц конечного размера
Вторая проблема, которой мы занимались, связана с неустой чивостью, вызываемой редким холодным пучком, проходящим через теплую плазму. В этом эксперименте использовались систе мы, содержащие 1000 частиц, причем 1/5 их находилась в пучке. На дебаевской длине было 20 частиц, а пучок был холодным и имел скорость, в 4 раза превышающую тепловую скорость (скорости всех частиц сдвинуты так, что полный ток отсутствует). Числен ный счет был проведен для случаев, когда полуширина частицы a
равнялась половине, |
одной и двум дебаевским длинам (а = |
= Лд/2, kD, 2кв). Во |
всех трех случаях начальные координаты |
и скорости были одинаковыми. Для сравнения при идентичных начальных условиях был проведен небольшой счет на модели плоских листов.
На фиг. 11 приведены графики полной энергии электрическо го поля, полученные из этих четырех расчетов. Имеется очень хорошее согласие между случаем плоских листов и частицами с a = Xd/2. Для частиц с a = kD согласие со случаем листов еще достаточно хорошее. Хотя и появляются некоторые расхождения, однако заметная часть этих расхождений может быть связана с энергией электрического поля, находящейся в коротковолновых модах, которые в этом случае подавляются. Можно ввести грубую поправку, добавляя к энергии в случае a = XD разность началь ных значений энергии электрического поля в случае a = kD и в случае листов. Это объясняет примерно половину расхожде ния в момент первого пика.
§ 3. Исследования с частицами конечного размера |
35 |
Когда мы переходим к случаю частиц с а = 2ЛВ, происходит качественное изменение, так как первый пик энергии электриче ского поля заметно уменьшается и сдвигается на более позднее
Ф и г . 11. Энергия электрического поля для двухпотоковой неустойчивости.
Кривые соответствуют разным размерам частиц.
время, а второй пик становится гораздо выше. Такое различие, вероятно, обусловлено тем фактом, что размер частицы влияет на скорость нарастания третьей моды. В табл. 1 приведены ско рости нарастания первых четырех мод для всех четырех случаев.
Таблица 1
Скорости нарастания мод 1—4 для разных размеров частиц
|
|
|
Номер моды |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0,163 |
0,255 |
0,250 |
0,148 |
0,5 |
0,163 |
0,255 |
0,243 |
0,125 |
1,0 |
0,163 |
0,250 |
0,220 |
0,058 |
2,0 |
0,162 |
0,233 |
0,114 |
0,002 |
На фиг. 12 представлены распределения частиц в фазовом пространстве в моменты t — 0 и t — 15. Начальные условия оди наковы во всех случаях, так что распределение при t = 0 для
3*
36 |
Гл. 1. |
Модель плоских листов и ее модификация |
а — Xd/2 |
м о ж н о |
использовать во всех случаях. Графики для |
Хв /2 и \ХВ удивительно похожи; это касается как числа образо ванных вихрей, так и их формы при apt — 15. В случае же а = = 2ХВ образуются только два вихря, так что он качественно отличен от первых двух случаев. По-видимому, третья мода была
Ф и г . 12. Вихри в плоскости (х , ѵ).
эффективно стабилизирована конечным размером частиц, что привело к качественному различию в энергиях электрического поля между указанным случаем и остальными. Если бы было больше неустойчивых мод, скажем от 5 до 10, то различие, вероят но, не было бы таким большим.
4. Использование частиц с различными зарядами
Существует еще одна модификация нашей модели, которую мы исследовали. Пусть имеется несколько сортов частиц с заря дами — Qa и массами М а, где о указывает сорт частиц. Примем, что отношение Qa/Ma одно и то же для всех сортов. Уравнения Власова и Пуассона для этой системы частиц имеют вид
9fg |
діа |
Е- |
df a |
- 0 , |
(43) |
dt |
’ дѵ ' M r |
|
дѵ |
|
|
У -Е = — 4я I 2 |
j fodv — е«о} , |
(44) |
§ 3. Исследования с частицами конечного размера |
37 |
где еп0 — заряд неподвижного нейтрализующего фона (здесь рас сматриваются точенные частицы, однако аналогичное рассмотре ние нетрудно провести и для частиц конечного размера). Введем новую функцию распределения
F ( r , v , t ) = ' 2 } ^ - f a (r,v,t), |
(45) |
О
где е — некоторый основной |
наименьший |
заряд. |
|||
на QJe и суммируя по все сортам а, получаем |
|||||
dF . |
dF |
е „ |
dF |
„ |
|
-яГ + |
' |
ѵ>-^--------- Е--Я—= |
0, |
||
dt |
д \ |
т |
д \ |
|
|
тогда как уравнение (44) можно записать в виде
Ѵ-Е = —4л {e\Fdv — еп0}.
Умножая (43)
(46)
(47)
Эти уравнения совпадают с обычными уравнениямиВласоваиПуассона для одного сорта частиц. Таким образом, в приближении Власова рассматриваемая система ведет себя как плазма, состоя щая из частиц одного сорта.
Преимущество такого метода заключается в следующем. Во мно гих задачах основная часть частиц образует фон, который осцил лирует под действием немногих частиц (например, «горб на хвосте» функции распределения). При использовании обычного метода все машинное время затрачивается на слежение за множеством час тиц, с которыми не происходит ничего интересного. Используя же вышеуказанную процедуру, мы могли бы заменить основную массу частиц несколькими сотнями частиц с зарядом, скажем, 100 е, а частицы в интересующей нас области фазового простран ства представить несколькими тысячами частиц с зарядом е. Это даст нам эквивалент большого количества частиц. Но прежде чем это проделать, необходимо уменьшить до приемлемой величи ны эффекты от столкновений массивных частиц. Эффекты столкно вений, конечно, не учитываются в уравнении Власова. В этом значительно помогло бы использование частиц конечного размера. Описанная процедура должна быть полезной как в случае одного, так и двух, трех измерений. Мы провели некоторые предваритель ные исследования с этим методом, и они кажутся перспективными. Однако нужна еще большая работа, чтобы определить его воз можности и ограничения.
Благодарности. Автор благодарит д-ра К. Смита, который в значительной степени развил двухкомпонентный код, д-ров С. Хеи, Р. Шэнни и В. Круэра, которые разработали метод частиц конечного размера и метод зарядов многих сортов.