ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 263
Скачиваний: 6
44 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
3. Связь с другими моделями
Мы уже останавливались на связи с подходом дискретного моделирования. Что касается уравнений (1) и (2), то мы знаем три основных подхода к ним. Их можно определить как модель «водяного мешка», прямое решение и метод преобразований. Основ ной целью этой главы является обсуждение двух модификаций метода преобразований. Однако вначале немного поговорим о пер вых двух подходах.
В модели «водяного мешка» по существу следят за орбитами частиц, (4), используя постоянство функции /. Выбираются неко торые особенно удобные начальные условия: предполагается, что функция / в начальный момент постоянна внутри нескольких простых областей плоскости (х, ѵ) и равна нулю во всех других местах. Поскольку орбиты (4) никогда не могут пересекаться, то уравнение (1) полностью решается путем слежения за точками границ этих простых областей, так как / сохраняет свое начальное значение внутри этих областей и остается нулем вне их. (В одно мерном случае уравнение Пуассона достаточно простое, чтобы пересчитывать Е на каждом шаге.) Этот метод использовали Ниль сен и др. [4], Де-Пак [5], а также Бэрк и Робертс (работы [6, 7] и гл. 3 настоящей книги). Его преимуществами являются значи тельная информация, приходящаяся на каждый истраченный при вычислениях доллар, и простота понимания. Его недостаток свя зан с тем, что развиваются упомянутые выше слишком большие градиенты в фазовом пространстве и границы областей быстро становятся очень извилистыми. Вряд ли их можно систематиче ски сглаживать без нарушения точности вычислений. Эта модель в основном применяется к явлениям, в которых интересные физи ческие особенности проявляются в течение нескольких первых плазменных периодов.
Единственные прямые решения, которые мы знаем, были полу чены Кнорром [8] и Келлогом [9]. При вычислениях Келлог счи тает ионы подвижными и рассматривает два уравнения Власова (для ионов и для электронов) непосредственно на сетке х , ѵ. Трудно оценить практическую значимость этого метода, поскольку подоб ные проблемы не рассматривались с помощью других известных нам методов. Тенденция к слишком большим градиентам / приво дит к численным неустойчивостям, которые нелегко преодолеть. Необходима дальнейшая работа для обоснования этого метода.
Метод преобразований частично порожден стремлением заме нить в уравнениях (1) и (2) частное дифференцирование более удобными алгебраическими операциями. Обе производные дідх можно исключить с помощью преобразования Фурье по х. В про странстве скоростей V использовались два разных преобразования: преобразование Фурье и преобразование Эрмита (Грама — Чар
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
45 |
ли). Подробное рассмотрение этих двух подходов и является предметом этой главы.
В § 2 представлена схема двойного преобразования Фурье, предложенная Кнорром [10, 11]. В § 3 обсуждается метод преобра зований Фурье и Эрмита, развитый Армстронгом и Монтгомери [12—16]. Параграф 4 посвящен обобщению метода Армстронга,
которое |
было выполнено Хардингом [17, 18] для включения |
в задачу |
внешних электрических полей. |
Тот факт, что преобразование Фурье — Эрмита годится для анализа системы уравнений Власова и Пуассона, был независимо открыт и изучен Грантом и Фиксом [19, 20] и Садовским [21]. Информацию о последующих численных расчетах на основе ука занных методов можно найти в литературе, список которой при водится в конце этой главы.
§ 2. М ет од двойного р а з л о ж е н и я Фурье
1. Двойное преобразование Фурье как естественный метод решения вычислительных проблем
Как уже отмечалось в § 1, обычные разностные методы, кото рые непосредственно используются для уравнения Власова, ста новятся непригодными после нескольких плазменных периодов. Сейчас мы более внимательно разберемся в причинах этой неуда чи, поскольку двойное преобразование Фурье позволяет просто и непосредственно избавиться от этого недостатка.
Прежде всего перейдем в уравнении Власова к безразмерным
переменным, вводя Юр1 |
как масштаб времени, где |
сор = |
= (Ane^njm)1/2 — плазменная частота. Если дополнительно |
при |
|
нять какую-то тепловую |
скорость за единицу, то длины будут |
|
измеряться в единицах КтСОр1 = Xd, т. е. просто в «дебаевских длинах». Электрическое поле тогда измеряется в единицах
Anen0Xd.
Можно записать в этих безразмерных переменных наше основ ное уравнение, описывающее электронную плазму и однородный ионный фон, как в уравнениях (1) и (2). Функция распределения/
нормируется на единицу: |
|
|
L |
+00 |
|
~ j dx |
j dvf (x, V, t) = 1, |
(6) |
Ü |
— oo |
|
где L — длина рассматриваемой плазмы.
Чтобы продемонстрировать несовершенство традиционных вы числительных методов, достаточно рассмотреть линеаризованный
46 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
вариант |
уравнений (1) и |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
df 1 |
■V |
dfj_ |
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
dt |
1 ^ |
дх |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
дЕ\ (X, t ) _ |
- f c o |
|
|
|
(7> |
||||
|
|
|
|
дх |
— j |
fl (*, V, 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выводе |
уравнений |
(7) |
предполагалось, |
что |
/ (ж, и, £) = |
|||||||
= /о ( у ) + fi |
{ х, V, |
t), |
Е |
— Еі (ж, |
£), и пренебрегалось |
членами |
||||||
второго |
порядка |
по |
/ 4 и Еі. |
Поскольку |
система |
(7) |
линейна, |
|||||
то теперь можно |
ввести |
явную |
пространственную |
зависимость |
||||||||
|
|
|
U i ( x , и, m |
г а ( у , 0 } |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
\ E h{i)\ |
’ |
|
|
|
|
|
в результате |
наша система принимает вид |
+°° |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ E + ikvfh- E k ^ £ |
І = 0, |
ikEh{t)= — j |
fu(v,t)dv. |
(8) |
||||||||
—oo
Теперь можно сразу выписать формальное решение для функции
распределения f k, |
которое имеет вид |
|
|
|
t |
|
|
h (v, t) = |
J e-Wt-t')Eh { n |
df + gh {v) e-ikvt. |
(9) |
о
Ясно, что второй член определяется начальными условиями. Величина gk (ѵ) должна быть функцией, моменты которой сущест вуют. Когда мы берем какие-либо моменты от f k, чтобы получить макроскопические величины, например плотность, импульс и т. п.т то лемма Римана — Лебега гарантирует нам, что
lim +f00d w ngh(v)e-ihvt = 0.
ht-юо J
— oo
Если gk (у) — голоморфная функция, которая экспоненциально стремится к нулю при больших у, то интеграл стремится к нулю также экспоненциально (ср. Титчмарш [22]). Если выбрать gk (у) целой функцией, которая регулярна во всей комплексной плоско сти, то интеграл будет стремиться к нулю при больших Ы быстрее, чем экспонента (например, это осуществляется для максвеллов ского распределения).
Из-за такого поведения второй член в правой части форму лы (9) обычно опускается. Видно, однако, что он не мал по срав нению с первым членом. Это заведомо так для малых времен; для устойчивой плазмы, в которой электрическое поле не растет
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
47 |
экспоненциально, это утверждение остается справедливым при всех временах.
Экспериментальное доказательство того факта, что этот член описывает реальное явление, было получено в результате наблю
дения эффектов |
эхо [23, 24]. Библиографию читатель найдет |
в статье Бэкуса |
[25]. |
Напомним, что этот член определяет основные асимптотиче ские свойства решения при больших временах. Только если g (ѵ) удовлетворяет определенным условиям аналитичности, мы можем ожидать экспоненциального спада или нарастания типа Ландау для электрического поля. Если эти условия «гладкости» но выполнены, то решение может вести себя почти произвольно
[26, 27].
То, что затухание Ландау (или экспоненциальное нарастание в случае неустойчивости) отнюдь не обычное поведение решения, можно понять без всякой математики из следующих рассуждений. Предположим, что мы численно нашли решение уравнений (1) и (2) вплоть до какого-то момента Т и что это решение указывает на экспоненциальный спад электрического поля. Используем теперь это возникшее распределение при t = Т, но с зеркально измененными всеми скоростями, в качестве начального условия для нового счета, эффективно обращающего время. В результате мы получим экспоненциальное нарастание электрического поля до t = Т. Затем нарастание прекращается и сменяется экспонен циальным спадом. Причина такого поведения, конечно, в том, что уравнение Власова в своем первоначальном виде, так же как и в линеаризованном, инвариантно по отношению к обращению времени и скорости. Таким образом, второй счет — просто обра щение первого.
Не только в аналитической теории, но и в численных расчетах второй член в (9), который представляет начальные условия, тре бует внимания. Уже отмечалось, что по абсолютной величине он сравним с первым членом. Он описывает колебания с частотой kt в фазовом пространстве. Если попытаться представить функцию распределения ее численными значениями на сетке в простран стве X, V с размером ячеек Ах и Аѵ, то эти колебания будут довольно неадекватно описаны, скажем, шестью точками на коле бание.
Чтобы описать функцию распределения в пространстве скоро стей, нам нужно распространить область по ѵ, скажем, до четырех тепловых скоростей, так что —4 ^ ѵ ^ 4. Предположим, также, что имеется N = 200 точек, попадающих в этот интервал, тогда
Аѵ = Ѵ25.
Отсюда следует, что после момента £/2я = 1/(6Аѵк) результат вычислений должен ухудшаться, поскольку колебания не могут больше правильно описываться такой сеткой.
