Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 258

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

494 Д ополнение

где оех, сгг и ое — сечения перезарядки и ионизации на ионах и электронах. В этом случае плотность пучка вдоль его траекто­ рии равна

 

S

 

пь (s) = пъ(0) exp

j пр (s') а (s') ds' J

,

где

о

 

 

 

О (s) — Оех (Eq) -j-&i (Ео) + Ое (Те (8)) ■

.

Используя геометрические соотношения, можно найти плотность рождающихся горячих ионов на каждой магнитной поверхности.

2) Затем следует выяснить вопрос о поведении образовавшихся горячих ионов: являются ли они запертыми или пролетными, лежат ли их дрейфовые траектории внутри плазмы или выходят на стенки камеры. В ряде случаев, особенно при инжекции поперек плазменного шнура, существенную роль в судьбе частиц может играть гофрировка магнитного поля в направлении магнитной оси. Горячие ионы, локализованные между гофрами магнитного поля, быстро выходят из плазмы вследствие тороидального дрейфа и не успевают передать свою энергию частицам плазмы. Не вполне ясна до сих пор судьба запертых частиц с достаточно большими «банановыми» траекториями. Ряд авторов считает, что существен­ ная доля этих частиц выходит из объема плазмы после нескольких столкновений и их энергия также теряется для плазмы.

3) Наконец, следует разумно описать передачу энергии от горячих ионов к ионам и электронам плазмы. Этот процесс можно разделить на две части. Пока энергия горячего иона Е 0 суще­ ственно больше, чем

(Еі та 16,ЗГе10 3 кэВ для протонов), он отдает энергию в основ­ ном электронам со временем передачи

[Те (ЭРГ)]3/2

:0,2-10-5Р

ТЪ12

(32)

8і/2п ~\/ше е4гер In Л

 

 

(пр — плотность плазмы, In Л — кулоновский логарифм). При энергии горячего иона, меньшей Е 1, энергия передается в основ­ ном ионам плазмы с характерным временем

1

Ѵ

—

[Ер (эрг)]3/2

2,1 -ІО“3/ р

ЕІ/г

(33)

1'і 3 у

2 ¥

4

e*N ln Л

п

Если времена передачи меньше энергетического времени жизни, то можно использовать гипотезу о мгновенной передаче энергии.

 

Д ополчение

495

В этом случае [19]

Qi=aQh, Qe = (1 — а) Qh,

(34)

 

где Qh — плотность

энергии горячих ионов, образовавшихся на

Ф и г . 1. Доля энергии, передаваемой ионам, при охлаждении быстрых частиц.

данной магнитной поверхности и удерживаемых магнитным полем,

, а = к

JX

1 ,

1 ~ У \ + Х

2 - У х

)

(35)

{з у ¥

з ш

(1 + ѵ і ) 2

Узх

J ’

На фиг. 1 приведен график зависимости а = а (Я). При К < 0,4 основная часть энергии передается электронам, а при Я > 0,4 — ионам.

§ 9. Р а с ч е т р е а к т о р а - т о ка м а ка

Совпадение результатов вычислений и эксперимента на совре­ менных установках вызывает естественное желание экстраполи­ ровать результаты на большие установки и проследить зажигание и развитие термоядерной реакции. При этом следует учесть ряд новых эффектов, существенных при высоких температурах.

496

Д ополчение

1) П ередача

энергии а-частиц, выделяю щ ихся при реакции

синтеза, электронам и ионам плазмы . Совокупность проблем здесь подобна обсуж давш ейся в § 8. Плотность энергии а-частиц может быть описана приближ енной формулой [20]:

1 + 7Ѳ®/4

200

\

 

 

Qdt = Q A 0(in

тУз

) ’

г

93 800 ’

[l + 2420f/4 ]1/2

і

 

 

 

где i t и i d — относительные

концентрации трития

и

дейтерия.

Из-за большого ларморовского радиуса траектории а-частиц сильно смещаются относительно магнитных поверхностей. Расчет времени их удержания является трудной задачей. Однако боль­ шая часть а-частиц будет принадлежать к типу пролетных и, повидимому, будет достаточно долго оставаться в объеме плазмы.

При температуре плазмы Т и е ~ 10 кэВ

основная часть энергии

а-частиц

будет передаваться электронам

с характерным време­

нем (32)

(при п ~ 10, Те ~ ІО4, те~ 1с). Вместе с тем при п ~ 10

время передачи энергии от электронов к ионам невелико и отрыв

Те от Т і будет небольшим.

2)Потери на излучение. Потери на излучение QT склады­ ваются из тормозного излучения электронов на ионах Qbe, цик­ лотронного излучения Qce [21] и излучения, связанного с приме­ сями Qim:

Qt— Qbe + Qce+ Qimi

Qbe == 7,2• 10_4H ]/~Tg,

Qce = 0,265 -10-5Я 2Геф,

где

«

__ _

Ф = 2 . 1 0 - 8г : / 2 | /

у т + Г ту т т г ^

есть коэффициент выхода излучения из плазмы, хт — llOal(RTl^), rw — коэффициент отражения от стенок,

Q m = 7,2*10-4Z2Sh. У~Т~е+ <?ЛИн,

где І — относительная концентрация примесей, Z — их эффек­ тивный заряд, <?лин — суммарная мощность линейчатого излу­ чения. Линейчатое излучение существенно при небольших темпе­ ратурах электронов Т е ~ 100 эВ и на начальной стадии разряда, пока ионизация примесей не слишком глубока. При Т е ~ 10 кэВ доля линейч’атого излучения для легких атомов невелика.

Дополнение

497

§ 10. Ч и с л е н н о е р е ш е н и е сист ем ы

(1) — (4)

Система (1) — (4) является системой квазилинейных парабо­ лических уравнений второго порядка. Для ее решения наиболее удобно использовать следующую процедуру:

1)линеаризация уравнений на каждом шаге по времени с по­ следующими итерациями,

2)аппроксимация линеаризованных уравнений с помощью неявной разностной схемы второго порядка точности по а: и пер­ вого по t,

3)решение разностной системы с помощью прогонки. Уравнение (4) для плотности п (х, t) содержит в правой части

помимо производной дгпІдх2 еще и вторые производные от функ­ ций Т і и Те. Если учесть эффекты пинчевания плазмы (20) и (21), то в уравнениях (2) и (4) появятся члены, содержащие дг)хІдх2. Таким образом, в общем случае система (1) —(4) оказывается сильно связанной, и для решения соответствующей разностной системы уравнений было бы естественно использовать матричную прогонку. К сожалению, этот метод требует обращения N матриц четвертого порядка при каждой итерации (N — число узлов сети по координате х), что ведет к существенному увеличению времени счета. Кроме того, нелинейный характер системы (1) — (4) не по­ зволяет аргіогі говорить о безусловной устойчивости неявной раз­ ностной схемы. По-видимому, могут обнаружиться ограничения на шаг по времени и использовать все преимущества неявной схемы не удастся.

Однако на практике ситуация оказывается более благоприят­ ной. Поскольку время диффузии частиц существенно больше энер­

гетического времени жизни (так как D <4 %t, D <4 у%е),

уравне­

ние (4) фактически отделяется от остальных уравнений.

Далее,

в силу (22), член с д2\і/дх2 в уравнении (2) оказывается меньше дру­ гих членов в правой части этого уравнения. Поэтому для системы

(1) — (4) оказывается естественной неявная разностная схема, в ко­ торой с последующего слоя по времени в правых частях входят только те функции, которые стоят в левых частях уравнений. Для такой разностной схемы можно использовать простую прогонку для каждого уравнения в отдельности.

Рассмотрим подробнее схему вычислений на примере уравне­ ний (1) и (2). Обозначим через h и т шаги разностной сети лох,

и t\

хп — nh (п = 0, 1, 2, .

. ., N), t k

= кх (к = 0, 1, 2,

. . .).

Для

уменьшения

количества

индексов

введем обозначения

и =

= Ti

(х, t), w =

Те (х, t). Уравнение (1) с учетом членов,

появ­

ляющихся при поджатии плазмы (30),

можно записать в виде

 

 

 

 

 

(36)

1/2 3 2 -0 1 2 3 6

498

Д ополчение

 

 

где

 

 

 

 

ф — хп, п — п(х,

t),

/ = xn%i=f (х, t,

и,

п),

ф = ~ жф = ф (х, t,

п),

F = F(x, t, и,

w,

п).

Введем сеточные функции, полученные после т-й интерации на

слое t = th,

 

а^т) = н(т) (хп, tk),

(37)

и решение разностной задачи на предыдущем слое t = tk_lt

 

ип— и (хп, tji-i)-

(38)

Аналогичные обозначения будем использовать и для остальных функций, w, п и [1 . Для уравнения (36) используем следующую разностную аппроксимацию:

,,(т) _ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фп

= Ш

[( Ä 'l4)+

1})

-

и Т ) -

 

 

 

/Д«г-1) I Дт-1)\ /,,(т) „(т)

 

 

.Лт ) __ (т)

,оп\

—

^

 

“п+1

“п-і ,

1 / п

+ / П - 1

) ( и п

— И п - і ) ] +

ф п ------------ 2Ä----------------Г ^ л .

( ^ 9 )

порядка точности (/г.2 +

т).

Здесь фп, ф„

и

—

функции,

вычис­

ленные на (к — 1)-м слое. Запишем (39) в виде, удобном для про­

гонки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Апип(+ 1 + ВпиТ( -

СпиТ21 = D n

(п =

1,

2,

. . . ,

N - 1 ) ,

(40)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"^71

 

 

 

б* п --

6&П-І

 

^ ф л ?

 

 

 

 

■Sn = «n + a

,

2Ä2

-

dr\

A m - 1) .

A m - 1)

 

 

71-1-

 

‘фт.

In-

j-1

+ / n

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z>„=

2fea/^

+

^ - ф пмп.

 

 

 

 

(41)

Используя граничные

условия для

 

T t

и

условия

в

центре

шнура (дТі/дх = 0), будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и Т = Ті0,

«<т >= и<т).

 

 

 

 

(42)

Решение системы (40) ищем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un ^= Enu\i^.\ -f- Gn

(п = N — 1,

 

N — 2,

.. ., 0).

 

(43)

Комбинируя (43) при п ^ - п

— 1

с

уравнением (40),

получаем

рекуррентные соотношения для Еп и Gn:

 

 

 

 

 

 

Еп = (В„ - С ^ д ) - 1 Ф„,

Gn = (Л„ -

СпЕп^

X

 

 

х ф п + CnG^!)

(Л = 1,

2,

 

 

 

N — 1)

 

 

(44)

Смотрите также файлы