Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

определитель которой отличен от нуля, во-вторых, опре­ делитель обратной матрицы тоже отличен от нуля и, в-тре­ тьих, определители матриц А и Л-1 — взаимно обратные числа:

И-І-тѴ

Итак, обратную может иметь только невырожденная мат­ рица.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную. В са­ мом деле, как это следует из равенств (5.1), обратной для матрицы А является, например, матрица

Каждая матрица может иметь только одну обратную. Действительно, пусть матрица С удовлетворяет, как и мат­

рица Л-1. условиям (6.1). Тогда

С = СЕ = С (АА~') = (СА)Л~‘ = ЕА~1= А~\

что и доказывает единственность обратной матрицы. Матрица, обратная произведению двух невырожденных

матриц Л и В, определяется равенством

В самом деле, умножая обе части равенства

(AB)-' AB = Е

справа на произведение обратных В~'А~', сразу получаем (6.4).

§ 7. Транспонирование матрицы и переход к сопряженной матрице

Рассмотрим прямоугольную матрицу Л = (аг;) с раз­ мерами т X п.

Матрица Л' = (а],-) с размерами п X т называется тран­ спонированной по отношению к матрице Л, если а*,- =

Матрица Л* = (а*,-) с размерами п X т называется со­ пряженной (или эрмитово сопряженной) по отношению к

матрице Л, если a'ki — aik, где alk — число, комплексно

і 23

^22 ~

В частности, матрица может быть рассечена только го­ ризонтальными или только вертикальными линиями. При этом блочная матрица будет иметь соответственно вид

Сокращенно блочную матрицу обозначают так:

А = (Лар)5і/.

Рассмотрим две матрицы А и В одинаковых размеров и с одинаковым разбиением на блоки, т. е.

и матрицы Лар и имеют одинаковые размеры та X щ (а = 1, 2, ..., s; ß = 1, 2, ..., t). Тогда в соответствии с правидом сложения матриц

Таким образом, операция сложения над блочными мат­ рицами одинаковых размеров с одинаковым разбиением на

блоки производится формально так, как если бы вместо бло­ ков стояли числовые элементы.

Для того чтобы правило умножения матриц можно бы­ ло перенести на блочные матрицы, необходимо, чтобы все горизонтальные размеры блоков в первом сомножителе сов­ падали с соответствующими вертикальными размерами бло­ ков во втором сомножителе. Иными словами, если

и, кроме того, число столбцов блока Лав равно числу строк блока Вб\з (а = 1, 2, ..., s; ß = 1, 2, и; б = 1, 2, ..., f), то возможно перемножение матриц А и В формально так, как если бы вместо блоков стояли числовые элементы:

6=i

Квадратная матрица, у которой все элементы, располо­ женные под (над) главной диагональю, равны нулю, назы­ вается верхней (нижней) треугольной матрицей.

Аналогичные понятия вводятся и для блочных матриц. Блочная матрица

называется верхней (нижней) квазитреугольной матрицей,

если все диагональные блоки и сама матрица А — квадрат­ ные матрицы, а все недиагональные блоки, расположенные под (над) диагональными блоками,— нулевые матрицы.

Блочная матрица А = (Ац) называется квазидиагональной, если все диагональные блоки и сама матрица А — квад­ ратные матрицы, а недиагональные блоки — нулевые мат­ рицы. Квазидиагональная матрица является частного вида квазитреугольной матрицей.