Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й Х А Р А К Т Е Р Р Е Ш Е Н И Й

4 1 7

и, значит,

 

 

 

IУ (О II < IIУ (0) II ехр (аг1) < с0ехр faL) =

с

(*6

0 ,—

е £ (0, ех)

 

’ 8

 

 

Таким образом, имеет место следующая

Л е м м а 1. Пусть на сегменте 0 -< т •< L все собствен­ ные значения эрмитовой матрицы 1/%(Л -f- Л*) неположи­ тельны. Тогда существуют положительные числа с и

(ех С е0) такие, что любое решение у (t) однородного урав­ нения (13), начальное значение которого ограничено условием

IIУ (0) | < с0.

удовлетворяет неравенству

ІИ О ІК с

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (12). Также, как и для однородного уравнения, легко получить сле­ дующее дифференциальное уравнение относительно нормы столбцовой матрицы у (t):

у* (Л + Л*) у + ег/* (Nі + N\) у + y*N3 + N\g.

(21)

В силу свойств матрицы N 3 существует такое положи­ тельное число а3, что при всех т £ [0, L] и е < ех

Учитывая и эту оценку, из (21) имеем

—^ < ( р + еяі) I г/ И+ а3.

Отсюда

і

IIУ(0 II < IIУ(0) II ехр ) (р +

saj dt +

 

 

О

t

t

 

+

а3 [ ехр

) (р + eo j df'dt'.

(22)

ог

Если на сегменте 0 < т < 1 все собственные значения эрмитовой матрицы Ѵа (Л + Л*) неположительны, то,

418

П Р И Л О Ж Е Н И Е

учитывая (20), имеем из

(22)

№ (0 II < 10(0) II ехр (агт) +

/

а3ехр (а2т) j e~8aii' dt'

 

 

о

< ехр (^т) (||^(0) Н - a3t).

Отсюда следует

Л е м м а 2. Пусть на [0, L] все собственные значения эрмитовой матрицы У2 (Л + Л*) неположительны. Тогда существует положительное число е1 С е0 такое, что любое решение у (t) неоднородного уравнения (12), начальное зна­ чение которого ограничено условием

допускает

оценку

II 1/(0) 1 < с 0,

 

 

 

 

 

|)^(0 К

ехр (агЩ с0+ a3t).

(23)

Теперь

оценим норму решения г — у — ут уравнения

(11). В этом уравнении

 

 

 

так что

К tffl)-'/? — M {m)R{m) = 0 (em+ ‘),

 

 

 

 

 

 

—j f = Л(

т ) 2+

ет+' (N2y + Л/6)

(24)

(N6 — матрица, регулярная

относительно е

в окрестности

точки £ =

0).

 

 

 

Уравнение (24) представимо в виде

 

,т

-JL = Лг + 8 2 е*_ІЛ[ й і 2+ em+ I (N2y -f- N6).

Используя последнее соотношение, получим следующее дифференциальное уравнение относительно нормы столб­

цовой матрицы

г:

 

 

= 2 * (Л +

Л*) г + ег* ( 2 г ^ А т +

2

е*-ІА[Л]*'| г +

иС

'А=1

ft=l

/

+ em+1 [г* (N2y + AQ + (y*N\ + Nl) Z]. (25)

При заданных ex > 0 (ex •< e0), L > 0 существуют по­ ложительные постоянные a4, аъ, a0 такие, что при всех т 6 [0, L] и е < ех

Іт <«4- l|jV2||< a 5, 1/V5| < a a. (26) fc=l

А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й

Х А Р А К Т Е Р Р Е Ш Е Н И Й

419

Принимая во внимание неравенства (26), из (25) полу­

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

2р II г f

+ 2еа, ||г f

+

2е"‘+ ‘ ||г || (а6 \\у\\ + а6);

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

(ц -|_ ед,) II г И+

effl+ ‘ (а51| у || + а„).

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z (О I < Иz (0) II ехр \ (р +

еа,) dt +

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

+ em+1 \ К IIУII +

ао)exp f (Р + ей4) dt"dt'.

(27)

 

 

 

о

 

 

 

г

 

 

Если все

собственные

значения

матрицы Ѵ2 (Л +

Л*)

неположительны,

то, учитывая (23),

имеем

 

 

 

 

 

 

 

I

t

 

 

 

2 (О II <112 (0) II ехР (а4т) +

ешд7 [ ехр [

 

<

 

 

 

 

<

 

 

6

Г

 

em- 'a 7L ехр (д4т),

где

 

 

IIz (0) II ехр (a4L) +

а7=

аь(ес0 +

a3L) ехр (a,L) +

ea„.

 

 

 

Отсюда следует

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

3.

Пусть

 

||z(0)||<e— >д10

 

 

IIУ(0) II < с0,

 

и на [0, LJ

все собственные значения эрмитовой матрицы

Ѵ2 (А -f- Л*)

неположительны. Тогда существуют положи­

тельные числа Ej <

Е0 и

такие, что

 

 

 

II2if)I<

(

^ '

.

0

,

4

8 6 (0, ех) .

(28)

Из вышеизложенного

вытекает

 

 

 

Т е о р е м а

1.

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

X(0) =

хп (0)

 

 

 

и на промежутке 0 С т С

L все собственные значения эрми­

товой матрицы

Ѵ2 (Л +

 

А*)

неположительны. Тогда

при

некоторых постоянных е7 > 0 и ст >

0 имеет место оценка

1ДС( 0 - Х т ( 0 « < 8 т - ^

 

 

 

L_

е€(0. 8і

 

 

 

 

г

 

(29)

420

 

П Р И Л О Ж Е Н И Е ^

 

 

В самом деле, согласно (10) и (28)

 

 

(I * -

л'т I < II К(т)112 1 <

в"- ■II /<(т>Iс, =

ет~,ст.

Если f

(t, т,

е) е= 0, то оценка

(23) принимает вид

 

 

II # (0 IIС со ехР (aiQ>

 

 

так как в данном случае можно

положить а3 =

0, и в со­

ответствии с этим вместо

(29) для

однородной

дифференци­

альной системы получаем оценку

 

 

 

А с и м п т о т и ч е с к а я

 

о ц е н к а

н а

п р о ­

м е ж у т к е

tx < t <

t2.

Из

непрерывности

матрицы

Vs(А (т) -f- А* (т)) на [0, L1 следует ограниченность ее соб­

ственных значений.

Поэтому

при

фиксированном

е2 б

£ (0, е1) существует такое число о2, что

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

(31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно (см.

(19)),

 

 

 

 

 

 

!1«/(01К1'/(0)||ехр(а1Т + а2)

 

 

 

и

тем

более

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, имеет место

положительное

число

 

Л е м м а

4. Существует

такое

еі

Ео. что

для каждого

фиксированного

числа е2 £ (0, ех)

можно указать такое с >

0, что любое решение у (t) одно­

родного уравнения (14),

начальное значение которого ограни­

чено условием

 

IIУ (0) К

с0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет удовлетворять неравенству

 

 

 

 

Обратимся теперь к неравенству (22).

 

 

 

При

фиксированном

е2 (в2 £ (0,

ех)),

учитывая

(31),

Смотрите также файлы