Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 103
Скачиваний: 0
А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й Х А Р А К Т Е Р Р Е Ш Е Н И Й |
4 1 3 |
члены которых — на промежутке 0 < x < L нужное число раз дифференцируемые функции отт;
f (t, г, е) — вектор-функция (столбцовая матрица), не
прерывная при |
т £ [О, L]; t £ О, — |
(е > |
0) и |
регуляр |
||||||
|
|
|
|
|
|
’ |
е |
|
0. |
|
ная относительно е в окрестности точки е = |
функцией |
|||||||||
Матрица А (т, е) предполагается |
регулярной |
|||||||||
от е, причем clet А (т, 0) Ф 0 (т £ [0, |
L)\. |
|
|
|||||||
Уравнение (1) допускает формальное решение, опреде |
||||||||||
ленное равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х = К { т, г) у, |
-^- = |
Л(т, е)у + |
М {х, e)R {x, |
т, е), |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/? (т, е) = |
К (т) + |
2 |
|
|
(т), |
|
|
|||
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
М (х, е) = |
М (т) + |
со |
|
(t), |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k = |
\ |
|
|
|
|
Ä (т, е) = |
Л (т) + |
со |
е*Л[й] (т), |
|
|
|||||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
п=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
Я (т, е)= |
Aö' (т) + 2 |
ekRk (т)> |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4 = 1 |
|
|
|
|
|
Л(Т) = M ( X ) U ( X ) K ( X ) , |
U = |
Aö'B0, |
M = |
K ~ l . |
||||||
В соответствии сэтим приближенное решение хт уравне |
||||||||||
ния (1) представляется так: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
е)г/т, |
|
(2) |
||
= Л(т)(г, е)ут + |
М(т)(т, е)Rш (X, г) n t , |
х, г). (3) |
||||||||
Здесь |
|
К (т) + |
т |
|
|
|
|
|
|
|
К {т) (т, е)= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
УИ(Ш) (т, е) = |
М (т) + |
2 |
|
|
(г), |
|
(4) |
|||
Л(т) (т, е) = |
Л (г) + |
2m е*Л[А] (х), |
|
|||||||
|
|
|
4=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Т) + |
m |
|
(г). |
|
|
||
R {m) ( X , 8 ) |
= |
/4 с Г ‘ |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
414 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е |
Для установления асимптотических свойств построен ного таким образом приближенного решения воспользуем ся методом Н. Н. Боголюбова [4], который неоднократно применялся для тех же целей в работах идругих авторов [13, 52]. В соответствии с основной идеей этого метода
К {т) (т, е) будем рассматривать как матрицу некоторого
преобразования переменных в уравнении (1):
|
|
|
X = К 1т) (т, е)у. |
|
|
(5) |
||
|
В результате подстановки (5) в (1) получаем |
|
||||||
А(х, в ) К т (х, е)-§ - = |
|
|
|
|
|
|||
|
В (т, е)К |
(т, е) — еА (т, е) |
dKim) (т, г) |
y + |
f(t, |
т, 8). (6) |
||
|
|
dx |
||||||
|
С другой стороны, имеем (см. гл. VIII, |
§ 2) |
|
|
||||
еД(т, е) |
е) -f Л(х, е)Д(х, е)Л(х, е) = |
В (х, е) К (т, &), |
||||||
и, значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕЛ ( Т ,8 ) ^ І - 1 |
= |
|
|
|
|
|
||
= ß(x, 8)K {m)(т, 8) - А (Т, 8)К [т)(т, 8)Л(т)(т, 8) - |
S^'N ^T , б), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 ) |
где JVX — матрица, |
регулярная |
|
относительно |
е в окрест |
||||
ности точки е = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Используя (7), уравнение (6) представим так: |
|
||||||
Л(т, е) К т (т, е) |
= |
|
|
|
|
|
||
= |
Л (г, 8) K im} (X, е)A(m) (X, е)у + |
е"'+Ч (х, е)у + |
f (t, х, е). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
Матрица |
К (т) (х, е) является |
регулярной функцией от |
|||||
е, |
причем К ш (х, |
0) = К (х) — невырожденная |
матрица. |
|||||
Поэтому существует такое положительное число е0, что
при е •< е0 К іт) (х, е) — невырожденная матрица. Предпо
лагая, что е С е0, умножим обе части уравнения (8) слева на Д(т)_| (х, е) R (х, е). Получим, учитывая еще, что по
А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й Х А Р А К Т Е Р Р Е Ш Е Н И Й |
4 1 5 |
построению R (т, е) А (т, е) = Е т
\ = Л(т) ( т , г)у + |
Ет+'К{т)~ 1(х, е) R (т, е)N, (т, е)у + |
|
|
+ К ш '\ х , е)/?(т, е)/(*, т, е). |
(9) |
Вычитая из (5) равенство (2), имеем |
|
|
X— |
= К т (т, е) (у — ут). |
|
Отсюда |
|
|
11^-хт||<||/Г,)Ке)||||^/-ут|. (10)
Таким образом, задача по оценке нормы разности х — хт сводится к оценке нормы столбцовой матрицы z — у — ут,
которая, как это следует из равенств (3) и (9), удовлетво ряет уравнению
=е)г +
+ [/<(т,_1 (т, е) R (г, е) - М(т) (т, е) R(m) (х, е)] / (/, т, е) +
+ ет+1К т ~' (X, в) R (X, е) N, (х, е) у. (11)
Оценку погрешности приближенного решения проведем раздельно для промежутков 0 -< т < Z. и ^ ^
(L, tv t2 — фиксированные числа).
Асимптотическая оценка на проме
жутке |
0 < т < L . |
Запишем (9) в виде |
|
|
|
4 - = |
Л(m)y + e-+W^ + |
/V3. |
(12) |
Здесь N2, |
N з — матрицы, регулярные |
относительно |
е в |
|
окрестности |
е = 0. |
|
Оценим сначала на промежутке [0, L\ решение у (t) |
||
однородного |
уравнения |
|
|
\ = Л™ у + e-+W2y, |
(13) |
начальное значение которого ограничено условием
і!у (0)|<со.
Перегруппируем слагаемые правой части (13), прини мая во внимание (4). Будем иметь
*$r = Ay + eNiy, |
(14) |
4 1 6 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е |
где
т
N4— 2 е л- 'Л т + &"NV к=1
Из (14), перейдя к сопряженным выражениям, получаем
^ |
= /Л * + |
ег/*лС |
(15) |
Уравнение (14), |
умноженное |
слева |
на у*, сложим с |
(15), умноженным справа на у. В результате приходим к
следующему дифференциальному |
уравнению относительно |
||
нормы столбцовой матрицы у: |
|
|
|
= у* (Л + Л*) у + |
еу* (N4 + А4*) у. |
(16) |
|
Поскольку Л -f- Л* — эрмитова матрица, то |
|
||
у* (А + |
А*) у < |
2ц II у I2, |
(17) |
где р — наибольшее |
собственное значение |
матрицы |
|
’/о (Л + Л*).
Далее, при заданных ех;> О (е4 С е0) и при данном но мере приближения т можно указать такое не зависящее от е постоянное число аг, что для всех т £ [О, L] и в < ех
|
f l^ lK O r |
|
(18) |
|
Принимая во внимание (17) и (18), из (16) получаем |
||||
d\\y\\ < ( р |
+ |
EOj) ||г/|| |
( в < 8 1). |
|
di |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
і!У (О II < II г/(0)||exp j (р + |
еаг)Ш = |
|
|
|
о |
|
|
|
|
= IIУ(0) II exp ^ахт + |
j |
ydtj < ||у (0) || exp |
f P dt |
|
Итак, |
(0)||exp [a^L + jpctfj. |
|
||
!J (0 K I ? |
(19) |
|||
Если на сегменте 10, L] все собственные значения эрми
товой матрицы 'А (А -J- А*) неположительны, то t
j р dt < 0 t£ 0, 4 -1 . е € (0, ех)) , (20)
