Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

20	ГЛ.	1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА
с	предложением	1.3 компактно		и факторпространство			T\G. Обрат
ное утверждение		очевидно.
	ПРЕДЛОЖЕНИЕ	1.10.	Пусть	Gy	и	G2 — локально	компактные
группы, Г — замкнутая			подгруппа в Gy X G2 и Г, — проекция груп
пы Г в Gy. Предположим,			что группа		G2	компактна. Тогда	справедливы
следующие утверждения:

(1)подгруппа 1\ замкнута в Gy;

(2)факторпространство r\(Gt X G2) компактно тогда и только тогда, когда компактно ГДб^

(3) если подгруппа Г дискретна в Gy X G2, то Ту дискретна в Gy.

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть V — компактная		окрестность
единичного	элемента	группы	Gy. Тогда	пересечение	(V X G2) \|"\| Г
компактно,	н V (~\|	служит	его образом	при проектировании из

Gy X G2 иа G). Поэтому компактно п пересечение V |~| Ту. Согласно

предложению

1.4,

группа Т{

должна

быть замкнутой

Gy.

Еслп

к тому же Г дискретна, то пересечение (V X С2)

fj Г конечно,

так

что конечно множество

V |~| Ту, откуда следует

(3). Утверждение (2)

легко

выводится

нз

предложения

1.3.

общей ситуации г ) две подгруппы Г и Г'

группы G называются

соизмеримыми,

если подгруппа Г П Г'

имеет

конечный

индекс

в Г

и в Г" 2 ) . Следующее

предложение

легко проверяется,

поэтому

мы оставляем его читателю в качестве упражнения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.11.

(1)

Если

подгруппа

Ту

соизмерима

Г2 ,

а подгруппа Г 2 соизмерима с

Г3 , то

подгруппа

Ту соизмерима

под

группой Г3 .

Г и Г" — соизмеримые

(2)

Пусть

подгруппы

топологической

груп

пы G. Если в этой ситуации

дискретна

Г, то

дискретна

Г".

(3)

Пусть

Г it Г' — соизмеримые

замкнутые

подгруппы

локально

компактной группы G. Если

факторпространство

T\G

компактно,

то компактно

и T'\G.

§ 1.2. Классификация дробно-линейных преобразований

Несмотря на то что больше всего нам будут интересны преобра зования верхней полуплоскости, рассмотрим сначала более общий случай дробио-лннейиого преобразования на С U {оо}. Для произ-

\а

вольной матрицы а == £ GL 2 (C) и произвольной точки z 6

са\

£ С U {оо}	положим	a(z) = (az -f- b)'(cz	d). Предположим, что
это преобразование		не тождественно, т. е.	будем считать, что о
не является	скалярной матрицей. Из теории канонической жорпаио-

1 )	Без	ограничений со стр. 18 . — Прим.	ред.
2 )	То	есть числа [Г : Г (1 Г'] и [Г' : Г	(~\| Г'] конечны-— Прим-, ред.

§ 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 21

вой формы следует, что матрица а сопряжена с одной нз следующих:

	(i)		'X 1"	(ii)	"к О"	К:
			О X		О и-J '

	(i)	z	• z -{- Х~	(ii)	cz. сф\.
В первом	случае		преобразование		а называется		параболическим,
а во втором случае мы говорим, что о — эллиптическое								преобразова
ние, если	\| с \| =		1, гиперболическое		преобразование,			если число с
вещественно и		положительно,		и локсодромическое			преобразование

во всех остальных ситуациях. Эта терминология относится и к ма трицам, и к преобразованиям. Тождественное преобразование из этой классификации исключается. Мы видим, что число неподвижных точек для о равно 1 или 2 в зависимости от того, параболично сг или нет. Если наложить дополнительно условие det(o) = 1, то

классификацию удается

провести

помощью

следа

tr(cr) =

а +

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.12.

Пусть

6 S L 2 ( C )

оф+12.

Тогда

{а

— параболический

элемент}

{tr(a)

± 2 } ;

{а

— эллиптический

элемент)

число tr(a) вещественно

\ ,

| tr(a)

| < 2

Г '

{а

— гиперболический

элемент}

число

tr(o) вещественно и

l | t r ( a ) | > 2

{а

— локсодромический

элемент}

{число

tr(o)

невещественно}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

det(cr) =

жорданова

кано-

ппческая

форма

для

о равна либо

~ ± 1

~К 0

0 +

либо .о

х-\ при

X Ф ± 1 .

Поэтому легко

проверяются

первые

три

импликации

и первая импликация Ф=.

0 '

Предположим

теперь,

что

а =

и число

tr(a) =

X +

X 1

вещественно. Тогда если X веществепио, то о должно быть гипер болическим. Если X мнимое, то Я и Я являются корнями уравнения х2 — tv(a)x 4 - 1 = 0 и, следовательно, XX = 1. Поэтому о — эллип тическое преобразование. Таким образом, а не может быть локсодро мическим, если след tr(a) веществен. Этим доказана последняя импликация =j>. Поскольку условия в правых частях формулировки предложения взаимно исключающие, это завершает доказательство.

Ограничимся теперь рассмотрением преобразований с веще ственными матрицами х ) . Для произвольной точки z 6 С и произволь-

1 ) Т о есть дробно - лниейиьшп преобразованиями, сохраняющими веще ственную прямую . — Прим. ред.

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

ноп матрицы а

£ G L 2 ( R )

положим

Г S

(1.2.1)

Да,

z) — rz -|- s.

Если

w =

a(z),

то

~pz-f-s"

а-

У (a, z).

- s _

Далее,

если

г/;'

a(z'),

то

(1.2.2)

z'~

w'-

(a,

a- . 1

1 _

. 1

1 _

(a, z')

Подставляя

z п u» вместо z' и м/ и вычисляя

определитель, получаем

(1.2.3)

det(a)-Im(z)

= Im(o(s)) • | Да,

z) |2.

Пусть

$Q — комплексная

верхняя

полуплоскость,

т. e.'i

Положим

<§ = { z E С I l m ( z ) > 0 } .

GL+(R)

6 GL 2 (R)

| del(a) >

0}.

Если

a £

G L j ( R ) ,

то

посредством

полуплоскость §

переводится

на себя. Кроме того, хорошо известно, что каждый голоморфпып

автоморфизм полуплоскости	.0 получается из	некоторого элемента
группы G L J ( R ) . Очевидно,	преобразование а	индуцирует тожде

ственное отображение тогда и только тогда, когда оно является скалярной матрицей. Таким образом, группа всех голоморфных

автоморфизмов	полуплоскости		£>	изоморфна	факторгруппе
G U ( R ) / [ R x . l 2 ] ,	т . е . группе	S L 2 ( R ) / { ± 1 2 } .
Из (1.2.2) легко получается, что
(1-2.4)	ДаВ, z) =	Да,	В(2 ))Д8, z).

Более того, формально подставляя z -J- dz вместо z' в соотношение (1.2.2) и вычисляя определитель, мы получаем

(1.2.5)

- ^ a ( z )

d e t ( a ) - / ( a , г)"

Если

а-

Р Я

£ S L 2 (R)

i = У

— 1,

то a(i)

= i тогда и только

г s

тогда, когда

справедливы

равенства

р =

q =

—г, р2 J- q2 = 1.

Поэтому

специальная

ортогональная

группа

SO(2)

{a е SL2 (R) |( aa =

12 }

является пзотроппой подгруппой группы SL2 (R) в точке i. Действие


группы SL2 (R) па полуплоскости		транзитивно, так как для а > 0
преобразование а 1/2 •	^ переводит точку i в точку at - j - Ь.

§ 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 23

По этой причине и в силу теоремы 1.1 полуплоскость ig гомсоморфиа факторпростраиству SL2 (R)/SO(2) при отображении а н-> a(i).

Познакомимся теперь поближе с преобразованиями, получаю щимися из элементов группы SL 2 (R) . Согласпо предложению 1.12, группа SL2 (R) не содержит локсодромических преобразопаиий. Для каждого z £ <р можно найти такой элемент т из SL 2 (R), что x(i) = z. Тогда

x-SO(2)x~1 = {а 6 SL2 (R) | a(z) = z}.

В виду того что характеристические кории всех элементов группы

SO(2) равны по абсолютной величине 1, это показывает, что

произ

вольный элемент

группы

SL 2 (R), имеющий

по крайней

мере

одну

неподвижную

точку

на

должен

быть либо

± 1 2 ,

либо

эллипти

ческим.

Для произвольной

точки

s 6 R U { ° ° }

положим

F{s)

{а

6 SL2 (R)

| a{s)

s),

P(s)

—

£ F(s)

I a

— параболический элемент пли a =

± 1 2 } .

Так как группа SL2 (R) действует траизитпвно на R (J {оо}, мы

можем иайтп такой элемент а из SL 2 (R), что

ст(оо) =

s. Тогда F(s) =

o\F(oo)a- 1

P(s)

аР(оо)а~1.

Теперь легко

видеть,

что

F(oo)

О я - 1

« 6 R X ,

Ъ £ Я ]

/>(°°) =

Г1

/ г 1

R x { + l } .

{ ± [ 0

/ ^ R | =

Это показывает,

что

если

элемент а группы SL 2 (R), отличный от

+12» имеет по крайней мере одну неподвижную

точку на R [) {оо},

то

о — параболическое или гиперболическое

преобразование.

Из этих

рассмотрений

получается

следующее

утверждение:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.13.

Пусть

о £ SL 2 (R)

и с г = ^ + 1 2 .

Тогда

„

элемент}

[

го

имеет

ровно

одну

непо-л

{о

параболический

д в и ж щ

о ч к у

R ^ o o } } !

га

имеет

одну

неподвижную^

{а — эллиптический

элемент)

<^>

1 точку z на $Q и вторую

не

подвижную

точку — точку zJ

„

элемент)

имеет

две

неподвижные]

{о

гипероолическии

<=>

{ т о ч к и

к {)

{оо}

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.14.

Пусть

а £ S L 2 ( R ) ,

а = ^ + 1 2 ,

m £ Z ,

а"1

± 1 2 .

Тогда

о — параболическое

(соответственно

эллиптиче

ское,

гиперболическое)

преобразование

в том

и только

в том случае,

когда

преобразование

о"1

является

параболическим

(соответственно

эллиптическим,

гиперболическим).

24ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

До к а з а т е л ь с т в о . Необходимость немедленно следует из предложения 1.13 пли рассмотрения жордаиовой формы матрицы а. Утверждение о достаточности очевидно.

УПРАЖНЕНИЕ		1.15. Пусть а	и	(5 — элементы	группы SL 2 (R),
отличные от	± 1 2	п такие, что сф	=	(За. Докажите,	что
(1) если	а — параболическое			(соответственно	эллиптическое,

гиперболическое) преобразование, то и преобразование В является

параболическим	(соответственно эллиптическим, гиперболическим);
(2) если a(z) =	z для некоторой точки z £ С U {оо}, то и B(z) = z.

Фиксируем теперь какую-нибудь дискретную подгруппу Г груп пы SL 2 (R) . Точка z полуплоскости <р называется эллиптической точкой группы Г, если в Г существует такой эллиптический эле мент а, что a(z) = z. Аналогично точка s на R U {оо} называется параболической точкой группы Г, если в Г существует такой пара болический элемент т, что x(s) = s. Если w — параболическая (соответственно эллиптическая) точка группы Г и у £ Г, то легко заметить, что точка y(w) является параболической (соответственно эллиптической) точкой группы Г.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.16. Если то множество {о £ Г | a(z) группой.

z —	эллиптическая точка	группы Г,
= z)	является конечной	циклической

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Если	т £ SL 2 (R)	н	x(i) = z, то спра
ведливо равенство
{о 6 Г \| a(z)	= z}	= T S O ( 2 ) T - 1	f]	Г.

Так как группа Г дискретна, а SO(2) компактна, это пересечение представляет собой конечную группу. Далее, группа SO(2) изо морфна факторгруппе R/Z, а потому все ее подгруппы цнклпчны. Это и требовалось доказать.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.17.

Пусть

s — параболическая

точка группы Г

и Ts

{о £ Г | a(s) =

s}.

Тогда

факторгруппа ГДГ

|~1 { ± 1 г }

изо

морфна группе Z. Кроме того,

всякий элемент из Ys

либо равен-л^ 1 2 ,

либо^параболичен,

т. е.

(] P(s)-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

уже

видели,

что

группа

P(s)

изо

морфна

прямому

произведению

R X

{ ± 1 }•

Поэтому

факторгруппа

{P(s)

П Г)/(Г П { ± 1 } )

изоморфна

некоторой

нетривиальной

дискрет

ной подгруппе группы R, а потому она изоморфна группе Z. Без

потери

общности

мы

можем

предположить,

что

оо.

Возьмем

образующую а =

m o d ( ± l )

этой группы и будем

считать,

что

Г8

содержит

гиперболический элемент

\а\ф\.

а"1

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно