Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 68
Скачиваний: 1
Введение
Теория пучков, развитая Л е р е [1], [2] и примененная им в раз личных топологических вопросах, недавно нашла применение
в алгебраической геометрии и в теории |
функций нескольких ком |
|||
плексных |
переменных. Эти приложения, |
принадлежащие |
главным |
|
образом |
К а р т а ну, С е р р у , |
К о д а и р е , С п е н с е р у , |
А т ь е и |
|
Х о д ж у , |
сделали возможным развить единый общий подход |
|||
к обеим |
теориям. В настоящей |
книге развивается далее |
направле |
ние исследований, связанное с алгебраической геометрией. Кроме того, изложены приложения результатов Тома о кобордизмах гладких многообразий, имеющие самостоятельный интерес. Теория
пучков |
и теория кобордизмов |
образуют в совокупности |
тот фунда |
||||
мент, |
на котором |
строится |
современная теория алгебраических |
||||
многообразий. В данном |
введении |
в п. 0.1—0.8 дается обзор ре |
|||||
зультатов, излагаемых в книге. Точные определения |
не приво |
||||||
дятся, |
их можно |
найти |
в основном |
тексте. Замечания |
по терми |
||
нологии и обозначениям, |
принятым |
в книге, собраны |
в конце вве |
||||
дения |
в п. 0.9. |
|
|
|
|
|
|
0.1. |
Компактное комплексное многообразие V (не |
|
обязательно |
||||
связное) называется алгебраическим |
многообразием, |
если оно до |
пускает комплексно-аналитическое вложение в качестве подмно
гообразия в комплексное проективное пространство |
некоторой раз |
мерности. По теореме Ч ж о у [1] это определение |
эквивалентно |
классическому определению неособого алгебраического многооб разия. Алгебраические многообразия в этом смысле часто назы вают также неособыми проективными многообразиями. В п. 0.1—0.6 мы будем рассматривать только алгебраические многообразия.
Пусть Vn — алгебраическое многообразие комплексной размер ности п. Исторически арифметический род для Vn был определен четырьмя различными способами. С помощью постулационной фор мулы (характеристического многочлена Гильберта) можно ввести целые числа pa{Vn) и Pa(Vn)- Это два первых определения. С е в е р и предположил, что
Pa(Vn) = Pa(Vn) = g n - g n - l + • • • + (-1)""*'gt, |
(1) |
где gi — число |
комплексно-линейно независимых голоморфных |
||
дифференциальных форм на Vn степени |
/ (/-кратных |
дифферен |
|
циалов первого |
рода). Альтернированную |
сумму чисел |
gi можно |
рассматривать как третье определение арифметического рода |
(под |
||||||||||||||||
робности см., например, |
у С е в е р и |
[1]). Соотношение |
(1) |
|
легко |
||||||||||||
устанавливается |
при помощи |
теории |
пучков |
( К о д а и р а |
и |
С п е н |
|||||||||||
с е р |
[1]), и, следовательно, |
первые три |
определения |
арифметиче |
|||||||||||||
ского рода эквивалентны. |
|
|
gt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вид |
знакопеременной |
суммы |
в (1) |
несколько |
неудобен, |
и |
|||||||||||
мы |
слегка видоизменим |
классическое определение. Мы будем на |
|||||||||||||||
зывать |
арифметическим |
родом |
алгебраического многообразия |
Vn |
|||||||||||||
число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%(Vn)=Il(-l)igi- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
»=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Целое число go в (2) равно числу линейно независимых |
голоморф |
||||||||||||||||
ных |
функций на |
Vn |
и потому |
совпадает |
с числом |
связных |
компо |
||||||||||
нент многообразия Vn- Принято называть gn |
геометрическим |
|
родом |
||||||||||||||
для |
Vn, |
a g\ — иррегулярностью |
|
для |
Vn. |
В случае п = |
1 связная |
||||||||||
алгебраическая кривая V\ представляет собой компактную ри- |
|||||||||||||||||
манову |
поверхность, |
гомеоморфную |
сфере |
с р ручками. В |
этом |
||||||||||||
случае |
gn = gi — р |
и арифметический |
род для |
V\ |
равен |
|
1—р. |
||||||||||
Арифметический |
род и геометрический род ведут |
себя мультипли |
|||||||||||||||
кативно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Род |
прямого |
произведения |
|
V y^W |
двух |
алгебраических |
|
много |
|||||||||
образий |
равен произведению |
рода |
V на род |
W. |
|
|
|
|
|
|
Ясно, что арифметический род в старой терминологии не обла дал этим свойством. Арифметический род %(Vn) является бирациональным инвариантом, потому что все g{ бирационально инва риантны (см. К э л ер [1] и В а н д е р В а р д е н [1, 2]). Арифмети ческий род рационального многообразия по старой терминологии есть нуль. По нашему определению он равен 1.
0.2. Четвертое определение |
арифметического рода принадлежит |
|
Т о д д у [1]. Он показал в 1937 г., что арифметический |
род можно |
|
выразить через канонические |
классы Эгера'—Тодда |
( Т о д д [3]). |
Однако доказательство его неполное: оно основано на одной лем ме Севери, ни одного полного доказательства которой в литера туре нет.
Класс Эгера —Тодда Кі на Vn — это по определению класс алгебраических циклов вещественной размерности 2п — 21 отно сительно некоторого отношения эквивалентности. Из этого отно шения эквивалентности следует гомологичность, хотя, вообще го
воря, оно |
не совпадает с гомологичностью. Например, |
Ki{ = K) |
|
является |
классом канонических дивизоров на Vn. |
(Дивизор на |
|
зывается |
каноническим, если он является дивизором |
мероморфной |
|
«-формы.) |
Рассматриваемое отношение эквивалентности |
при t = l |
совпадает с линейной эквивалентностью дивизоров. Класс /С,- опре деляет некоторый (2« — 2І) -мерный класс гомологии. Последний
определяет в свою очередь 2і-мерньій класс когомологий, совпа
дающий |
с точностью |
до |
знака |
с |
классом |
Чженя |
ct |
многообра |
|||||||||
зия Vn. Это совпадение |
классов |
Эгера — Тодда |
и классов |
Чженя |
|||||||||||||
было |
доказано |
Н а к а н о |
[2] (см. также |
Ч ж е н ь |
[2], Х о д ж |
[3] |
|||||||||||
и А т ь я [3]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
З а м е ч а н и е . Знак |
2і-мерного |
класса |
когомологий, |
опреде |
||||||||||||
ленного классом Ки зависит от ориентации |
многообразия Vn. Мы |
||||||||||||||||
всегда будем использовать |
естественную |
ориентацию |
в |
Уп. |
Если |
||||||||||||
zu |
z2, |
|
zn— |
локальные |
координаты |
с |
zh = |
xh |
+ |
iyh, |
™ |
эта |
|||||
ориентация задается упорядочением Х\, у\, |
|
хп, уп, или, |
дру |
||||||||||||||
гими |
словами, |
положительным |
элементом |
объема |
dxxAdy\A |
|
... |
||||||||||
... |
A |
dxn |
A dyn. |
В этом |
случае |
Кг |
определяет класс |
когомологий |
|||||||||
( - 1 ) ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
этой книге |
мы |
будем |
пользоваться |
только |
классами |
|
Чженя, |
||||||||
и |
потому |
то, что они совпадают с |
классами Эгера — Тодда, |
нам |
|||||||||||||
не понадобится. Определение рода |
Тодда |
T(V„) |
будет |
дано |
в тер |
минах класса Чженя, и одной из основных целей книги будет до
казательство того, что %{Vn)= |
Т(Уп). |
0.3. Естественная ориентация многообразия Уп определяет эле |
|
мент из 2и-мерной группы |
целочисленных гомологии H2n(Vn, Z), |
называемый фундаментальным циклом для Уп. Значение 2л-мер- ного класса когомологий b на фундаментальном цикле обозна чается через Ь [V„].
Определение |
Т(Уп) |
дается |
с |
помощью |
некоторого |
многочлена |
|||||||||
Тп |
веса п от классов |
Чженя |
с,- многообразия |
Уп, |
произведения |
||||||||||
рассматриваются |
в |
кольце |
когомологий |
многообразия |
|
Уп. |
Этот |
||||||||
многочлен определен |
алгебраически |
в § 1; он представляет |
собой |
||||||||||||
2«-мерный рациональный класс |
когомологий, |
значение |
которого |
||||||||||||
на фундаментальном цикле по определению совпадает с |
T(Vn). |
||||||||||||||
Для |
малых п имеем |
(п. 1.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T(V*) |
= T c i [ 4 |
4 ^ ) |
= |
tV(c? + ^ 2 ] , |
T ( V 3 |
) = ^ C ] C 2 |
[ V 3 ] . (3) |
||||||||
Из |
определения |
следует, что Т(Уп) |
— рациональное |
число. Из ра |
|||||||||||
венства %(Vn) = |
Т(Уп) |
вытекает |
нетривиальный |
факт, |
что |
Т(Уп) |
|||||||||
есть целое число и что Т(Уп)—бирациональный |
|
инвариант. По |
|||||||||||||
следовательность |
многочленов |
{Тп} |
должна |
быть |
выбрана |
так, |
чтобы, подобно арифметическому роду, число Т(Уп) вело себя мультипликативно относительно прямых произведений. Имеется много последовательностей с этим свойством: достаточно, чтобы последовательность {Тп} была мультипликативной ( § 1 ) . Последо
вательность |
{Тп} нужно, далее, |
выбрать так, чтобы Т(Уп) |
совпа |
дало с %(Уп) |
всюду, где только |
возможно. В частности, |
если че |
рез Р„(С) обозначить «-мерное комплексное проективное про
странство, то должно быть Т(Рп(С))~ |
1 для всех |
п. Это условие |
||
используется в § 1, где показывается, |
что оно |
однозначно |
опре |
|
деляет мультипликативную последовательность |
{Тп} |
(лемма |
1.7.1), |
При |
фиксированном |
п многочлен |
Тп |
однозначно |
определяется |
||||
следующим свойством: |
Tn[Vn]=\, |
если |
У = Р / 1 ( С ) Х • • • Х Р / / С ) — |
||||||
прямое |
произведение |
комплексных |
проективных пространств с |
||||||
j l _)__,,_)_ |
j r = п. |
Следовательно, |
Т„ |
является |
единственным |
мно |
|||
гочленом, который принимает |
значение |
1 на |
рациональных |
много |
|||||
образиях |
размерности |
п. |
|
|
|
|
|
|
|
0.4. |
Дивизоры |
на |
алгебраическом |
многообразии |
Vn |
распа |
даются на классы эквивалентности по отношению линейной эк вивалентности. Дивизор линейно эквивалентен нулю, если он является дивизором (f) мероморфной функции / на Vn- Эта экви валентность согласована со сложением дивизоров, и, следователь но, классы дивизоров образуют аддитивную группу. Мы можем также рассматривать комплексно-аналитические одномерные век
торные |
расслоения |
(со слоем С и структурной группой |
С*) |
над |
Vn (см. |
0.9). В этом введении мы будем отождествлять |
изоморф |
||
ные расслоения. Тогда одномерные расслоения образуют |
абелеву |
|||
группу |
относительно |
тензорного умножения ®. Единичным |
эле |
ментом, обозначаемым через 1, будет служить тривиальное рас
слоение |
X ® С. Обратное к |
F расслоение будет |
обозначаться че |
|
рез Z7 - 1 . |
|
|
|
|
Группа одномерных векторных расслоений изоморфна |
группе |
|||
классов |
дивизоров. Всякий |
дивизор определяет |
одномерное |
рас |
слоение. Сумма двух дивизоров'определяет тензорное произведе ние соответствующих расслоений. Два дивизора определяют одно и то же расслоение тогда и только тогда, когда они линейно экви валентны. Наконец, всякое одномерное расслоение определяется
некоторым |
дивизором |
( К а д а и р а |
и С п е н с е р |
[2]). |
Обозначим |
||||||||||
через H°(Vn,D) |
комплексное векторное |
пространство |
всех |
меро- |
|||||||||||
морфных |
функций |
f на |
Vn, |
таких, |
что D |
+ (f) |
является |
дивизором |
|||||||
без полюсов. Это — пространство |
|
Римана— |
Роха |
для |
D; оно |
ко |
|||||||||
нечномерно. |
Размерность |
dim #°(V„, D) |
зависит |
только |
от |
класса |
|||||||||
дивизоров, в котором лежит D. В нахождении |
dim #°(V„, D) |
по |
|||||||||||||
данному |
дивизору |
и состоит проблема Римана —Роха. Если |
F — |
||||||||||||
одномерное расслоение, соответствующее D, то H°(Vn,D) |
|
изо |
|||||||||||||
морфно |
H°(Vn,F), |
комплексному |
векторному |
пространству |
голо |
||||||||||
морфных |
сечений расслоения F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0.5. Как уже было сказано, одна из целей этой книги —дока |
|||||||||||||||
зать равенство |
|
|
|
%(Vn) = |
T(Vn). |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Число Чженя cn[Vn] |
совпадает |
с |
эйлеровой характеристикой |
для |
|||||||||||
V„. Поэтому равенство (4) дает для связной алгебраической кри |
|||||||||||||||
вой V], гомеоморфной |
сфере с р |
ручками, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
X (V,) ~ |
Т (V,) = 1 |
с, [J/J = |
1 |
(2 - |
2р), |
|
|
(4l) |
Теорема Римана —Роха для алгебраических кривых утверждает (см., например, Г. В ей л ь [1]), что
|
|
dim Н° (Vu |
D) - |
dim Н° {Vu |
K-D) |
|
= d + l - p , |
|
(4?) |
||||||||||
где |
d — степень |
дивизора |
D |
и |
К — канонический дивизор |
на |
V\. |
||||||||||||
Так |
как |
dim Я°( Vu |
К) = gu |
то |
при |
подстановке |
£> = |
0 |
(41) |
пере |
|||||||||
ходит в (4i). Мы покажем, |
что |
и для |
алгебраических |
многообра |
|||||||||||||||
зий |
произвольной |
размерности |
равенство |
(4) |
допускает обобще |
||||||||||||||
ние, совпадающее с (4Ї) в |
случае |
п = |
1. |
Это |
обобщение |
будет |
|||||||||||||
дано в терминах векторных расслоений, а не дивизоров. |
|
|
|||||||||||||||||
Пусть |
F — одномерное |
комплексно-аналитическое |
|
расслоение, |
|||||||||||||||
и пусть |
Н1(Уп, |
F) — г-мерная группа |
когомологий |
многообразия |
|||||||||||||||
Vn |
с коэффициентами |
в пучке ростков голоморфных сечений для F. |
|||||||||||||||||
В случае |
F = |
1—это пучок |
ростков |
голоморфных функций. Груп |
|||||||||||||||
пы |
когомологий |
Я*(У„, F) |
являются |
комплексными |
|
векторными |
|||||||||||||
пространствами, |
которые в силу |
результатов К а р т а н а |
й С е р р а |
||||||||||||||||
[1] |
(см. также |
К а р т а |
н [4]) |
и |
К о д а и р ы |
[3] конечномерны. Век |
|||||||||||||
торное пространство H°(Vn,F) |
|
есть не что иное, как |
пространство |
||||||||||||||||
Римана — Роха |
для |
F, введенное |
в |
0.4. Из |
теоремы |
Д о л ь б о |
[1] |
||||||||||||
следует, |
что |
dim #*(V„, 1) = |
gi. |
Целые |
числа |
dim Hl{ |
Vn, |
F) |
за |
||||||||||
висят только от класса изоморфизма расслоения F и равны нулю |
|||||||||||||||||||
для і > п. Следовательно, |
можно |
положить |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
%(Vn, |
F) = |
%{~\U\mHl(Vn, |
|
|
F). |
|
|
|
(5) |
Это и есть искомое обобщение левой части равенства (4). Будет показано, что %(Vn, F) является некоторым многочленом от клас сов Чженя для Vn и от двумерного класса когомологий f, опреде ляемого расслоением F. Здесь / — первый класс Чженя F (кого мологическое препятствие к существованию нигде не обра щающегося в нуль непрерывного сечения для F). Если F представляется дивизором D, то f определяется (2п — 2)-мерным классом гомологии, соответствующим D. Для малых п имеем
* (У* |
П - |
(т V2 + ^) |
+ -к (ci + с2)) |
[v2], |
|
х |
F) = ( I /3 + т Р*. + -w f(c' + с 2 ) + |
- к \ у * \ |
|||
Это — обобщение |
теоремы |
Римана — Роха |
на |
алгебраические |
многообразия произвольной размерности (теорема 20.3.2). По
теореме |
двойственности |
Серра |
(15.4.2) |
6imHl(V\, |
F) = |
|
= uimH°(VhK® |
F-1 ) и |
d i m t f 2 ( V 2 , F ) = dim#°(V 2 , K®F-'), |
где |
|||
К—одномерное |
векторное |
расслоение, |
определенное каноническим |