Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл (14,00Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где z, p't и р" — независимые пе-ременные, влечет тождество

оо
2 K/(Pl, р2,	Pj)z'		=
	оо			оо
= 2 К,(Р[,			р'2,...,	РОг' 2	*,К,	Р?. • • •. РЛг/.	(4)
Для краткости	положим
	/	оо	\	оо
	к	2 Р ^ (		= 2 / С / ( Р „	•••»	Р / ) ^ .
	\/=о		У	/=о

Это сокращенное обозначение мы будем использовать как в слу чае, когда Pi рассматриваются как независимые переменные, так и в случае, когда этим переменным приданы определенные зна чения.

Степенной ряд

/с(1 +	г) =	2	м ' ,
где
Ь 0 = 1 , &» =	К,(1,	0,	. . . .	0)«=Я,

мы будем называть характеристическим степенным рядом мульти пликативной последовательности {Kj}.

Нам будет удобно ввести в рассмотрение формальные разло жения вида

m
l + p l 2 + . . . + р т 2 т = П ( 1 + М ) -	( 5 J
i=\

Иными словами, переменные р,- мы будем рассматривать как эле ментарные симметрические функции некоторых новых переменных Рь . . . , pV. Тем самым кольцо 33 будет кольцом всех симметри ческих многочленов от переменных р,- с коэффициентами в В.

Следующие две леммы полностью описывают все возможные мультипликативные последовательности.

Л е м м а		1.2.1.	Мультипликативная		последовательность		{Kj}
однозначно		определяется		своим характеристическим степенным			ря
дом	Q(z) =	K(\+z).
.	Д о к а з а т е л ь с т в о .			В виду соотношений		(3) — (5) имеем
m			оо
2 / ( / ( Р і		Рі)г'+	2	КіІРи ....	pm, 0	0)г' =

= I l Q ( M ) . ( 6 J

Следовательно, при / ^ m каждый многочлен Kj однозначно опре делен (как симметрический многочлен от Pi, а потому и как мно гочлен от р\ pj). Это верно для любого пг, откуда и следует наше утверждение.

Л е м м а		1.2.2.	Для	любого	формального	степенного	ряда
	оо
Q(z) =	biz1	с b0	= 1	и ЬІ^В	существует	мультипликативная
	1=0
последовательность			{Kj},	характеристическим		степенным	рядом
которой	служит ряд		Q(z).
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Рассмотрим в произведении

коэффициент при zh Этот коэффициент симметричен по Pi и по

тому	является некоторым многочленом K{^\pv		Pj)	от	pi
(имеющим, очевидно, вес / ) . При этом ясно, что при m^j				мно
гочлен	/С/т ) не зависит от т.	Положим Ki—K^	при	т ^	/.
Легко	видеть, что {Kj} и будет	искомой мультипликативной		после

довательностью. Действительно, так как по построению имеет ме сто тождество ( 6 т ) , то свойство мультипликативности (4) выпол нено в случае, когда для больших значений і переменные р\ и р'[ заменены нулями. Но тогда оно, очевидно, выполнено и всегда. Наконец, соотношение (6 т ) при т = 1 показывает, что /C(l-J-z) =

=Q(z).

Таким образом, согласно леммам 1.2.1 и 1.2.2, между мульти пликативными последовательностями и формальными степенными рядами со свободным членом, равным единице, имеет место есте ственное взаимно однозначное соответствие. Например, мульти пликативной последовательности {pj} соответствует ряд 1 -f- z.

1.3. Удобно переформулировать результаты п. 1.1

1.2 в

дру

гих переменных. Заменим р,- на

с,,

переменную

на

х,

а корни Pi

в ( 5 т )

на

YfДве системы переменных

свяжем

между

собой

соот

ношениями

с0 =

ро =

1, z — х2

и р, =

у2г

Другими

словами,

вве

дем соотношения

оо

/ ОО

z = x\

ЪрЛ-z)1^

2 <?,( - *)'

с,*'

(7)

<=о

\/=о

\ і = о

Имеет место очевидная

Л е м м а

1.3.1. Пусть {Kj{p\,

Pj)} — произвольная

мульти

пликативная

последовательность,

пусть

Q(z)

— ее

характеристи

ческий

степенной

ряд.

Рассмотрим

мультипликативную

последова-

тельность {Rj(ch

Cj)},

отвечающую

степенному

ряду

Q(x) =

— Q(x2).Тогда

соотношение

(7)

выражается

формулами

K/(Pi,

• • •, Рі)

К2і(си

c2j),

0 = / W c >

частности, степенному

ряду

1 +

х2 отвечает

мультипликатив

ная

последовательность

0, ри

О, р2, ... .

Заметим, что

Р\ = — 2с2

с2 ,

Р2 = 2СА — 2С3С1 + 4

Рз = - 2С6 + 2С5С1 ^ 2С4С2 + 4-

ОО

1.4.

Пусть

Q (z) =

biz1

— произвольный

степенной

ряд

2=0

(с Ь0=\

и bt ^ В). Рассмотрим формальное

разложение

1 +

Ьхг

+ &2 z2

+ . . .

bmzm

(1 +

р£2 ) . . .

(1 +

И .

(8)

Пусть,

как обычно,

— симметрическая

функция

от

являющаяся суммой

всех по

парно

различных

одночленов,

получающихся

из

одночлена

(Pi)'1

(К)'2 • • • (К)1г

всевозможными

перестановками

переменных р{,

$'2,

Р,- Число

слагаемых

этой

сумме

равно

ml/h,

где h —

число перестановок

переменных

р[, Р2 , • • • > Рт» оставляющих

инва

риантным одночлен

(р[)7' (Р2 )/ 2

. . . (р'т)'г-

Из наложенных

в (9) усло

вий

на

показатели

j u

/2 ,

/ г

непосредственно

вытекает,

что

симметрическая функция

2(pQ? i ( р ^ 2 . . . (Р^)/ г является

многочле

ном

от

bt веса k с целыми коэффициентами.

Этот многочлен не

зависит

от пг, и мы будем

обозначать

его символом 2(/,, /2 ,

/ г ) .

Следующая лемМа позволяет упростить явное вычисление

многочленов

мультипликативных

последовательностей.

Л е м м а

1.4.1.

Пусть

мультипликативная

последовательность

оо

{К](ръ

р/} отвечает

степенному

ряду

Q(z) =

2 6(-2г.

Тогда

коэффициент

при PjPf2

• • • Р,- в многочлене Kk{j{

> / 2 >

•••

> Ь

21/*=*) Р«бен

/2 ,

j r

) ,

Это легко	вытекает		из соотношений (6) и (8). Провести							под
робное доказательство мы предоставляем читателю.
Например,	коэффициент			pk	в	многочлене K,k	равен	sk	=	I,(k):
s 0 = l ,	bt,	s2=	— 2b2+b2l,			s3 = 3b3~3b2bl	+	b\	и т.	д.,
а коэффициент		при	р\	в	многочлене K2k		равен	2 (A,		k)=*

Числа sA могут быть вычислены с помощью формулы Коши:

									оо
	1 -	г ±	log Q (г) =		Q (г) £		( ^ )	= J ( - 1 / S / Z ' .		(10)
								/=о
1.5.	Изучим		теперь (в	этом пункте и в следующих п. 1.6—1.8)
некоторые		специальные		мультипликативные					последовательности,
используемые ниже в этой книге.
В первую очередь рассмотрим							степенной	ряд
						сю
		Q ( z ) e j£*		=	1 +	V	( . _ !)* - !		B K Z \
		* w	th			i S		<2Й)'
где B A	— числа		Бернулли	(в тех		обозначениях,			при которых Bk	> 0

и ф -j для всех k):

6 -

Й 6 — 2730 '

7 —

6 '

8 ~

510 *

Кольцом

коэффициентов

мы

считаем здесь

поле Q рациональ

ных

чисел.

Мультипликативную

последовательность,

отвечающую

степен

ному

ряду

Q(z),

мы

будем обозначать символом

{Lj(pu

р,)}.

Используя лемму 1.4.1,

можно

вычислить

первые

несколько мно

гочленов

Lf.

L \ =

jPu

L 2 = l 5 ( 7 Р 2 - P%

L 3 = 3 ^ 1 7 f ( ^

з -

^ .

адЗ),

^4 =

з г г ^ т у ( 3 8 1 P 4 -

71p3 Pi -

19p22

22Рзр\

Зр}),

L s =

3 ».5»'.7.U (

5 1

Э 1 9 / ^

3 3 6РзР 2

2 3 7 Р з Р і +

+1 2 7 / 7 ^ - 8 3 ^ + 1 0 0 ? ) .

Смотрите также файлы

1 вопрос. Натуральные числа имеют вид 1,2,3 которые используют для счета предметов, людей и др. Простым.doc

Цель занятия закрепление знаний об основных видах педагогической деятельности, формирование умения применять их. Задание 1.docx

Развивающие игры как средство обучения детей дошкольного возраста.docx

Используя данные таблиц 15, исчислите величину налоговых обязательств и налоговое бремя организации по всем отчетным периодам в течение одного календарного года по налогу на добавленную стоимость.docx

Физическая передача данных по линиям связи.pdf

Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно