Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Например, в случае п — 4 имеем

у} (V4) = hu 0 - Л1 -1 + А 1 , 2 - А1 -3 + А1 -4 =

=

4 х ( ^ ) - 1 ^ ( 2

с 4

+

СзС і )[К4 ]-

(8)

п.

Ясно, что

сумма

2

%р (Vn) равна

нулю, если

п

нечетно.

Знако-

п

переменная

сумма

2

( — l)p%p(Vn)

по теоремам

де

Рама и

Ходжа

доказал, что для четного п сумма

2 x P W равна индексу

мно-

гообразия

Vn. По

определению

индекс многообразия Vn

равен

сигнатуре

(числу

положительных собственных значений

минус

рической формы

xy[Vn](x,

у е

Hn(Vn,

R)),

определенной на

n-мер­

ной группе вещественных когомологий многообразия Vn.

Следова­

тельно, индекс

многообразия

Vп

является

многочленом

от

классов

Чженя для Vn- Фактически

этот

многочлен

выражается

через

классы Понтрягина для Vn,

и потому

он определен для

произволь­

ного ориентированного гладкого

многообразия.

0.7. Как мы только что заметили,

из основного результата этой

книги [выражения для x(Vn,

W)

в

виде

многочлена

от

классов

Чженя для

Vn

и

W] следует,

что

индекс

алгебраического

много­

образия Vn является некоторым

многочленом

от

классов

Понтря­

гина для Vn-

На

самом

деле

эта

теорема

была

исходным

пунк­

том нашего

исследования.

Пусть

M4h

— ориентированное

гладкое

многообразие

вещественной

размерности 4k.

В

этой

книге

глад­

образия Mih

определяет

некоторый фундаментальный

цикл. Зна­

чение 4^-мерного класса когомологий b на фундаментальном

цикле

обозначается

через b[M4h]. В

гл. I I с

помощью

теории

кобордиз-

мов Тома доказано, что индекс x(M4h)

представим в виде

много­

члена веса k от классов Понтрягина

для

М4к.

Например,

т{М*)=±Рі[М*\,

х(М*) =

±(7р2-р*)[М*].

(9)

Формула

для х(М4)

была

предложена

(в качестве

гипотезы)

By. Обе формулы для

х(М4)

и х(М8)

доказал

Т о м [2]. Краткое

изложение вывода формулы для %(Vn,

W)

из формулы

для

х(М4к)

можно найти

в Х и р ц е б р у х

[2].

1

ксимациях и

на алгебраической

теории гомотопий, выходят за

рамкй

книги.

В

гл. I I I

формальная теория

рода Тодда и ассоциированных

ческих замечаниях

к гл. I I I и в приложении

1.

В гл. IV теория

целых чисел %(Vn, W)

развивается, насколько

гообразий

(^-теория). Кратко описаны необходимые результаты

из теории

когомологий в

пучках,

принадлежащие

К а р т а

ну,

Д о л ь б о ,

К о д а и р е ,

С е р р у

и С п е н с е р у .

По

ходу

доказа­

тельства нужно сначала предполагать, что Vn

— кэлерово

много­

образие. В

конечном

счете,

если

Vn

— алгебраическое многообра­

зие, мы можем отождествить х-теорию с Г-теорией

(теорема

Ри­

мана— Роха для векторных

расслоений; теорема 21.1.1).

довательностях, расслоениях и характеристических

классах

собран

в гл.

1.

0.9.

Замечания

об обозначениях

и о терминологии. Следующие

обозначения

используются

во всей

книге.

Z — целые

числа;

Q — рациональные

числа; R — вещественные

числа;

С — комплексные

числа;

— векторное

пространство

над

R,

состоящее

из

наборов (хи

...,

хя) вещественных

чисел;

лексных чисел; GL(g\ R) обозначает группу обратимых

^ Х ^ - м а т -

риц {aik) с вещественными

коэффициентами aik, т.

е. группу

автомопгЬм -<мов пространства

R«:

сохраняющих ориентацию);

0{q)

обозначает

подгруппу

ортого­

нальных матриц в GL(<7, R),

a SO(^) = 0{q)

Л GL+(^, R);

анало­

гично GL(<7,C) обозначает группу обратимых

qXq-матриц

с комп­

лексными коэффициентами, a

V(q)—подгруппу

унитарных

матриц

в GL(q, С); через C * = G L ( 1 , C )

мы будем обозначать мультипли­

ности q — 1 (пространство

комплексных прямых, проходящих че­

рез начало координат в Cq).

Вещественную

размерность

мы чаще

всего обозначаем верхним индексом (например M4h,

R«),

а

комп­

лексную

размерность — нижним индексом

(например

Vn,

CQ).

Мы

пошли на одно небольшое отклонение от обычной

терми­

сплошную нумерацию по

всей

книге, за

исключением

приложе­

ния 2. Нумерация формул

своя

в каждом

параграфе.

Параграфы

4.1(5)

обозначает формулу (5) из § 4, находящуюся в 4.1; тео­

рема

4.1.1—это теорема 1 из 4.1.

классы Чженя и Понтрягина. Поскольку результаты

§ 1 впервые

используются

лишь в § 8, читателю

рекомендуется начать

прямо

с § 2 и обратиться .к § 1, только

когда в

этом возникнет

надоб­

ность.

§ 1. Мультипликативные

последовательности

1.1.

Пусть

В— коммутативное

кольцо

с

единичным

элемен­

том 1. Пусть,

далее, р0

= 1, и пусть

р ь рг,

. . . — независимые

пе­

ременные. Кольцо

23 =

В [р\, р2,

...],

получающееся

присоедине­

нием переменных РІ к кольцу В,

является,

очевидно,

не

чем

иным, как кольцом многочленов от р{

с

коэффициентами

из

кольца

В; оно градуировано следующим образом.

Одночлен

рі1ріг

• • • РІГ имеет вес /і + /2 +

. . . + j r .

Далее,

для

щую из всех

многочленов, содержащих лишь

члены веса

k

(при

k = 0 по определению полагаем 33o = j5). Группа ЗЗь есть

модуль

над кольцом В, ранг которого равен числу n{k)

разбиений

числа k.

Ясно, что

оо

(і)

a=2s*

» A < = 3 W

(2)

1.2. Пусть

{Kj} — последовательность

многочленов от

перемен­

ных РІ, для которой Ко = 1 и Kj е 53j

(/ = 0,1,2, . . . ) . Такую по­

следовательность мы будем называть мультипликативной

после­

довательностью

(или m-последовательностью),

если каждое

тож­

дество вида

1 + рхг + p2z2

+ . . . =

= (1 + P\z + P'2z* + . . . ) ( ! + p'{z +

pi* + • • • ) -

(3)