Файл: Контрольные вопросы для самопроверки. Пособие содержит методические указания по теории погрешностей. Работы расположены в последовательности изложения материала курса Общая физика, раздел Механика.docx

l. Если маятник отклонить от положения равновесия на небольшой угол α (α – угол, образованный нитью с вертикалью) и отпустить его, то маятник начнет совершать колебательное движение (рис.1).

Получить уравнение колебаний математического маятника можно исходя из закона сохранения энергии. Поскольку маятник совершает только вращательное движение с угловой скоростью ω в поле действия силы тяжести, то можно записать:

(4)

где I – момент инерции маятника, m – масса маятника, h – высота подъема груза.



рис. 1

Исходя из рис.1

, .

Разложим в ряд до второго члена cos(α) и подставим предыдущее выражение:



Перепишем выражение (4), продифференцировав части равенства по t:



Упростив, получим



Учитывая, что , получим

(5)

т.к. для математического маятника , и обозначив получим:

(6)

Решением данного однородного дифференциального уравнения второго порядка является функция:

, (7)

где – собственная циклическая частота колебаний математического маятника; – максимальное значение α; φ₀ – начальная фаза. Убедиться в справедливости решения (7) можно путем непосредственной подстановки его в уравнение (6).

Из предыдущего выражения вытекает, что собственная циклическая частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения. Учитывая связь между собственной циклической частотой математического маятника и периодом колебаний, получим выражение для периода:

---

(8)

Таким образом, зная величину l и измерив Т, можно найти ускорение свободного падения.

Методика эксперимента

Определять ускорения свободного падения с помощью математического маятника на практике лучше графическим методом. Для этого необходимо по полученным экспериментальным данным построить график зависимости квадрата периода колебаний маятника от длины нити (рис.2).



рис. 2

По тангенсу угла наклона полученного графика к оси Т² можно определить среднюю величину ускорения свободн6ого падения .

(9)

где δl и δT² – приращения графика функции по соответствующим осям.

В реальной лабораторной установке груз это не материальная точка и, следовательно, точное определение длины подвеса невозможно. Поскольку для определения требуется нахождение приращений δl и δT², то можно перенести начало координат 0 в точку l₀, и измерять изменение длины Δl относительно l₀ на каждом шаге измерений. Таким образом, построив график зависимости можно найти значение ускорения свободного падения по формуле:

. (10)

Если продлить характеристику до пересечения с осью Δl то можно найти истинное значение l₀. Достоинством этого метода является то, что он позволяет исключить систематическую ошибку в определении длины подвеса.

Все измерения проводятся с помощью модульного учебного комплекса МУК-М1.

Нить наматывается на малый шкив барабана и фиксируется с помощью специального крючка, который расположен на большом шкиву.

Расчет значений приращение длины производить исходя из условия, что минимальная длина подвеса l₀ соответствует максимально измеренному значению x_max

---

(рис.3). Таким образом, .



_{рис. 3}

Для проведения измерений необходимо перевести секундомер в режим №3. Выведите груз из положения равновесия на небольшой угол 5 - 10°. Отпустите груз и нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Отсчитайте время t_изм равное 10 колебаниям и нажмите кнопку «Стоп/Сброс» секундомера. Период колебаний можно рассчитать по формуле .

Порядок выполнения работы

1. 
   Установите минимальное значение массы груза. Установите максимальную длину нити .
   
2. 
   Измерьте время 10 колебаний . Вычислите период колебаний T. Данные занесите в таблицу 1.
   
3. 
   Увеличивая массу груза, измерьте соответствующие периоды. Убедитесь в том, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.
   

Таблица 1

№	m, кг	, с	T
1
2
3

4. 
   Оставьте максимальное значение груза. Уменьшая длину нити на величину найдите значения . Проведите 5 измерений. Данные наблюдений запишите в таблицу 2.
   

Таблица 2

№		Ti
1
2
3
4
5

---

5. 
   По результатам измерений постройте график функции .
   
6. 
   По формуле (10) на линейном участке найдите приращения функций (см. рис.2) и рассчитайте пять раз для разных пар приращений функций. Вычислите среднюю величину. Сравните полученный результат с теоретическим ( м/с²).
   
7. 
   Вычислите абсолютную и приведенную погрешность измерения , взяв за по формулам:
   

8. 
   Запишите результат в виде
   
9. 
   Сделайте выводы.
   

Контрольные вопросы

1. 
   Какие колебания называются гармоническими?
   
2. 
   Какие виды колебаний вы знаете?
   
3. 
   Что такое математический маятник?
   
4. 
   К какому виду колебаний относятся колебания маятника в работе?
   
5. 
   Чему равен период колебаний математического маятника?
   
6. 
   Зависит ли период колебаний математического маятника от массы? Докажите.
   
7. 
   Получите уравнение гармонических колебаний математического маятника (6) и его решение (7).
   
8. 
   Как определить ускорение свободного падения с помощью математического маятника?
   
9. 
   *Предложите методику эксперимента, в котором бы учитывалось затухание колебаний, и имелась возможность расчета декремента затухания колебаний.
   

---

Лабораторная работа №13
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель работы: Изучить гармонические колебания на примере движения физического маятника. Определить момент инерции физического маятника методом колебаний.

Требуемое оборудование: Модульный учебный комплекс МУК-М1: рабочий узел «маятник», стержень, грузы, электронный секундомер ЭС1.

Краткое теоретическое введение

Физический маятник представляет собой твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси О, не проходящей через его центр масс С (рис.1).



рис. 1

Дифференциальное уравнение, описывающее колебания физического маятника:

(1)

где m – масса маятника; l – расстояние от оси вращения (точка О) до центра масс (точка С); I – момент инерции физического маятника относительно оси вращения.

Обозначив получим:

(2)

Решением данного дифференциального уравнения является функция (убедиться в справедливости решения (6) можно путем непосредственной подстановки его в уравнение (5)):

, (3)

где – собственная циклическая частота колебаний физического маятника; – максимальное значение α; φ₀ – начальная фаза.

Учитывая связь между собственной циклической частотой физического маятника и периодом колебаний, получим выражение для периода:

(4)

Методика эксперимента

Рассмотрим физический маятник, конструкция которого представлена на рис.2а. Он состоит из барабана массой m₁, стержня массой m₂ и двух грузов с одинаковыми массами m₃, которые могут перемещаться вдоль стержня. Вращение маятника происходит относительно оси, проходящей через точку О.

---