Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

туаций параметра порядка па расстоянии, равном радиусу взаимодействия (I), был бы существенно меньше квадрата самого параметра порядка. При ферромагнитном переходе параметром порядка является намагниченность М, вместо которой в теории молекулярного поля была введена про­ порциональная ей величина 5 (2. 111). Таким образом, два требования для применимости теории Ландау выгля­ дят следующим образом (поскольку радиус корреляции р ;§> I при Т -> Тс)'-

(2. 203)

Зе — равновесное значение 3, определенное в соотноше­ нии (2. 114), так что пока в (2. 203) неопределенным яв­ ляется лишь параметр /, связанный с коэффициентом при члене (д2о/Зг2)2, который добавится к выражению для сво­ бодной энергии (2. 115) при неоднородном распределении намагниченности. Этот коэффициент можно оценить, ис­

ходя из того, что дополнительный член в bF (2. 115) должен иметь вид гІ2А (дз/дѵ)2 и, очевидно, быть того же порядка, что и член с о2, если 3 существенно меняется на длине, равной радиусу взаимодействия I (т. е. если дз/дг—з/І). Но это означает, что А порядка Іг. Так как плотность сво­

где V— некоторый численный коэффициент, d — по­ стоянная решетки (т. е. ds — объем, приходящийся на один магнитный ион). Сравнение этого выражения с (2.196) дает

(2. 205)

Подставляя эту оценку для f во второе из неравенств

(2'. 203) (вместе с оге из (2. 114) и ß из (2. 112)), получим

8* 115

неравенство, ограничивающее область применимости тео­ рии Ландау температурами

где z =l3/d3 — число магнитных ионов в области взаимо­ действия. Чтобы это неравенство имело смысл, необхо­ димо, очевидно, выполнение условия х<^1. Как видно из (2. 206), физическим параметром, который бы обеспе­ чивал малость Xи тем самым существование области при­ менимости теории Ландау, является отношение постоянной решетки к радиусу взаимодействия, как уже говори­ лось в начале этого раздела. Чем больше длина взаимодей­ ствия, тем лучше условия для применимости теории Лан­ дау, т. е. тем ближе к температуре перехода она «работает». Однако в ферромагнетиках радиус взаимодействия сов­

щего малость X. Однако и при d= l х численно мало, если

ных кристаллах существует область температур, близких к температуре Кюри (но не очень близких, х х), в ко­ торой можно пользоваться теорией Ландау (или теорией молекулярного поля).

Вместе с тем последние исследования по теории фазовых переходов второго рода [15—17 ] указывают на существен­ ную неаналитичность термодинамического потенциала вблизи точки перехода и на связанный с этим иной харак­ тер зависимости физических величин от температуры вблизи точки перехода. На это же указывают и точные измерения, произведенные в окрестности точки Кюри. Для непроводящих гейзенберговских ферромагнетиков, по-видимому, закон изменения намагниченности и вос­

стр. 432], там же — ссылки на литературу по этим во­ просам).

* Неравенство (2. 206) носит иллюстративный характер. Более точные критерии содержатся в работе [14].

116

I 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИЙ ЛАНДАУ

ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНЫХ СТРУКТУР, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ УПОРЯДОЧЕНИИ. СЛАБЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИЗМ

Переход из парамагнитного состояния в магнитоупорядоченное чаще всего происходит как фазовый пере­ ход второго рода. Хотя, как ясно из предыдущего пара­ графа, теория Ландау не описывает удовлетворительно фазовые переходы в магнитных кристаллах, тем не менее она широко применяется для объяснения (по крайней мере, качественного) процессов магнитного упорядоче­ ния. По-видимому, наибольшей достоверностью обла­ дают те следствия из теории Ландау для магнитных пере­ ходов, которые проистекают из соображений симметрии.

Конструирование термодинамического потенциала

Общая схема применения теории Ландау к про­ цессам магнитного упорядочения состоит в следующем. Пусть имеется кристалл, содержащий в одной кристал­ лической ячейкенесколько (п) парамагнитных ионов. Для простоты рассмотрим переходы, при которых период воз­ никающей магнитной структуры остается равным пе­ риоду исходного парамагнитного кристалла, т. е. весь процесс упорядочения полностью описывается заданием средних значений спинов ионов одной ячейки ( £ = 1 , 2 , . . . ,

и ) .

Равновесные значения S, определяются из условия минимальности термодинамического потенциала (2. 160), который в расчете на одну ячейку имеет вид

Основная задача, конечно, — определение вида функ­ ции (р (S.). Как обычно, в теории Ландау делается допу­ щение о том, что при малых |Sf| (вблизи точки магнит­ ного упорядочения) <р(S,.) может быть разложена в ряд

(и квантовой механики) инвариантны относительно изме­

117

нения знака времени, и поэтому термодинамический по­ тенциал также не меняется при обращении времени. Од­ нако момент количества движения меняет знак при изме­ нении знака времени. В силу этого разложение термоди­ намического потенциала должно иметь вид

Но это означает, что магнитные переходы автоматически удовлетворяют критерию я3 = 0 (2. 164), необходимому (но не достаточному) для существования линии фазовых переходов (Тс =Тс(р)), и <р(р , Т, S.) имеет вид, аналогич­ ный (2. 166).

полностью независимыми. Они должны быть связаны друг с другом таким образом, чтобы при всех операциях группы симметрии G кристалла (в его парамагнитной фазе) ер (р , Г, S.) оставалось ішварпаптпым. С другой стороны, при пре­ образованиях (поворотах или отражениях) симметрии меняются как компоненты спинов (индексы а), так и сами ионы «меняются местами» друг с другом (т. е. меняются индексы і). Поэтому при действии некоторого элемента симметрии §

Подобно тому, как это обсуждалось при рассмотрении перестановочной симметрии волновой функции в § 1 на­ стоящей главы, из 3п параметров S ia можно построить новые линейные комбинации, которые разобьются на не­ которое число (д) совокупностей, содержащих соответ­ ственно гх, г2, . . ., г? параметров (r-t-|-r2+ . . .-(-г =3п).

Эти новые параметры

где fj'ka можно выбрать так, что при всех преобразова­ ниях симметрии гѵ параметров (с одним и тем же ѵ) при всех операциях симметрии будут преобразовываться

118

толькочерез параметры а'-Ѵ с другими /', но с тем те самым V.

Т. е.

Это выражение справедливо при любой операции g из группы симметрии кристалла, и при этом никаким выбо­ ром новых линейных комбинаций из величин a{j‘] (с фик­

сированным ѵ) нельзя произвести дальнейшего разбиения совокупности a(/J па совокупности с меньшим (чем гѵ) числом параметров, преобразующиеся только друг через друга под действием всех операций g. О параметрах al/J

с фиксированным ѵ говорят, что они осуществляют не­ приводимое представление ѵ (с размерностью гч) группы G. Можно также сказать, что они принадлежат к определен­ ному (из возможных для группы G) типу симметрии отно­ сительно преобразований группы G. Удобство использо­ вания таких параметров с определенной симметрией состоит в том, что можно доказать важную теорему обинва­ риантах второго порядка, выраженных через параметры

. Прежде чем формулировать эту теорему, сделаем еще одно замечание. Конечно, из гѵ величин a'/J (с од­

ним и тем же ѵ) можно выбрать новые гѵлинейных комби­ наций а'у’1, которые также будут преобразовываться

только друг через друга аналогично (2. 211), но явный вид матриц 2)(ч) (g) будет иной, чем в (2. 211).* В дальней­ шем, когда будет идти речь о разных совокупностях а/(.' и bj'J величин, осуществляющих одинаковое не­

приводимое представление ѵ (принадлежащих к одному ѵ-му типу симметрии), то будет подразумеваться, что эти разные совокупности выбраны таким образом, что законы их преобразования в точности совпадают (т. е. матрицы Dvn (g) в (2. 211) одинаковы для величин и b(/J).

Тогда теорема об инвариантах формулируется следующим образом.

* Т. е. величины a<j'> и a’W осуществляют одно п то же представление ѵ, но в разных формах. Про два таких представления говорят, что они эквивалентны.

119

Единственные инварианты второго порядка относи­ тельно всех преобразований группы G имеют вид

по одному и тому же ѵ-ом,у неприводимому представлению группы G. (Доказательство этой теоремы в Приложении 5).

«векторы» А(Ѵ) и В(Ѵ) и определить скалярное произведение

обычным образом, как

гѵ

то предыдущую теорему можно сформулировать так.

Единственными инвариантами второго порядка отно­ сительно группы G являются скалярные произведения «векторов», осуществляющих одинаковые неприводимые пред­ ставления группы G.

Суммирование по а, b ведется в (2. 215) по всем «век­ торам» А(Ѵ) и В1,), преобразующимся по ѵ-ому предста­ влению.

Чтобы понять основной характер результатов, кото­ рые можно получить в теории Ландау, рассмотрим сначала простейший случай, когда все представления ѵ — различ­ ные, одномерные (г, =1) и вещественные, т. е. когда из Зп величин S іа можно образовать 3?г их линейных веще­ ственных комбинаций я(Ѵ) (V=1, 2, . . ., Sn), таких, что

•120