ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 276
Скачиваний: 3
(г|) и отклонению температуры от температуры перехода (т = (Т—Тс)/Тс.), может претендовать на то, чтобы быть верной только достаточно близко от точки перехода (х<^1). Однако слишком близко к точке перехода она вместе с тем не может давать хорошего описания, по скольку именно вблизи температуры перехода особенно возрастают флуктуации параметра порядка.
Действительно, вероятность со (лД того, что в резуль тате флуктуации параметр упорядочения примет значе ние т), равна, согласно общим теоремам статистической физики [11, стр. 413],*
ДФ(Г, г))
оі(т|)==Ле к1 . |
(2.185) |
А — нормировочный множитель, определяемый из уело-
+CD
вия 1 w (т]) d-r]=l. Для краткости опускаем аргумент р
у флуктуаций, считая, например, что давление постоянно, а фазовый переход происходит с изменением температуры. В выражении (2. 185) АФ (Т, д) — разность термодинами ческих потенциалов при флуктуированном т) и при равно весном значении параметра г)е.
Рассмотрим сначала однородные флуктуации, т. е. будем считать т) константой. Разлагая в ряд по разности (т\— \ ) , получим, поскольку в равновесии (при '<] — '%) термодинамический потенциал имеет минимум,
дФ=^Ф';(->) —т)е)2, |
j |
причем |
(2.186) |
„ 1 /д*Ф\ |
I |
Из (2. 186) видно, что Ф" определяет крутизну «по тенциальной ямы» по отношению к флуктуациям пара метра т), так что средняя квадратичная флуктуация
-4- СО |
кТ |
|
5 |
|
|
(Ч— Т)Л2 и) (і) di) = Уф» . |
(2.187) |
* При этом в формуле (114. 2) из монографии [И ] следует счи тать p=const и Т = const.
НО
Однако в точке фазового перехода II рода Ф"=0 (2. 167), так что средняя квадратичная флуктуация при
этом обращается в бесконечность. Если |
в выражение |
||||||
(2. |
187) |
подставить |
Ф", |
вычисленное |
из (2. 166) |
||
(с |
учетом |
(2. 174) и (2. |
176)), то при Т ->• Тс |
||||
|
|
кТс |
|
|
|
|
|
|
|
~ ä v ~ ( Т — |
Т с У 1 |
п р и |
Г - Г с |
+ 0 , |
|
|
|
(ДЦ)2 = |
|
|
|
|
(2. 188) |
|
|
кТг |
|
|
при |
Г->Гс - 0 . |
|
|
|
2 S r(rc - r ) - i |
|||||
При рассмотрении фазового перехода в ферромагне тике был получен аналогичный закон для температурной зависимости восприимчивости вблизи точки перехода (2. 119). Это не случайность; действительно, так как при наличии однородного магнитного поля Н в равновесии минимален Ф =Ф (М)—МНѴ (2. 159) * (как функция от М,
играющего в этом случае роль параметра ц), |
то в равно |
||
весии |
|
|
|
- |
— — я |
(2.189) |
|
V ‘ дМ — п ■ |
|
||
Продифференцировав |
это |
равенство по |
Н, получим |
1 |
гГ-Ф |
дМ |
(2.190) |
Т ' |
дМ* ■ <5Я = 1, |
||
т. е. (сравнивая с (2. 187))
дМ |
V |
V ------- |
„ „ , |
Х==0 Я = |
<?2Ф — кТ (ш )2- |
(2.191) |
|
~д№
Таким образом, восприимчивость пропорциональна средней квадратичной флуктуации намагниченности, чем
иобусловлено сходство выражений (2. 188) и (2. 118). Формулы (2. 187) и (2. 191) получены в предположении,
что флуктуации однородны. На самом деле флуктуации всегда неоднородны. Как же надо понимать в таком слу
чае входящие в (2. 187) (Аті)2 (и (ДМ)2 в (2. 191))? Пусть
* Для изотропной модели.
111
имеется пространственно неоднородная флуктуация Ц (г), которую разложим в ряд Фурье:
|
87) (г) = |
7] (г) — И]0 = |
2 5% е' кГ7 |
|
(2. 192) |
|
|
|
к |
|
|
причем §т]7.= 8т]*7., так |
как Ц (г) — вещественная |
функ |
|||
ция. Введем корреляционную функцию (или, |
короче, |
||||
коррелятор |
флуктуации |
|
|
|
|
§ (г) = 07] (г + |
г') Ьц(r') = |
7j (г) 7j (0) — |
Y)=. |
(2. 193) |
|
Последнее получено из условия, что |
|
|
|||
7) (г') = |
71(Г -Ь г ')= 71е Ц Ц(V + |
1-') 7J (r') = |
-Г) (г) 7) (0) |
|
|
ввиду однородности системы.
Если подставить в формулу (2. 193) §т) (г) из (2. 192), то получим
g(t)= 2 8 ^ k,e,' (k+k')r4,'kr.
k, k'
Поскольку функция g (г) иѳ зависит от r', это означает,
что
®1)k®1/k' = 5k+k'Sllk5l)-k = ®k+k' | Stlk |2. |
(2‘ 19Н |
Таким образом,
£(>•) = |
2 |
I 6Тк Г2 в’'кг. |
(2.195) |
|
к |
|
|
Для вычисления средних |
значений | 8r|kj2 нужно |
пред |
|
варительно определить |
вид |
термодинамического |
потен |
циала для случая неоднородных флуктуаций т] (г). По скольку., как мы видели, именно однородные флуктуации возрастают критическим образом вблизи точки перехода, то достаточно ограничиться изучением длинномасштабных, медленно меняющихся в пространстве флуктуаций от) (г). Такие флуктуации можно учесть, добавив в термодинами ческий потенциал члены с первой пространственной про
изводной от т) (г), |
так что |
вместо |
(2.166) будем |
иметь |
Ф(Г, 7 , ) = И т |
(Г)712(г) + |
Т 7)4(г) + |
Т / ® ) 2} ЙК’ |
(2- і90) |
112
причем / > О, так как иначе равновесию не соответство вало бы пространственно однородное состояние. Из вы
ражения |
(2. 196) |
получается |
условие |
|
стационарности |
|
оФ |
дФ |
д |
дФ |
|
|
|
Ш |
= Ш |
- ^ |
- 7 Е ^ |
аГ1 + ь^ |
~ |
= °’ (2-197) |
|
|
|
д дт |
|
|
|
(которое для однородного распределения (Ѵт)=0) совпа дает с уравнением (2. 166), определяющим т)е). ДФ (т]), входящее в (2. 185), будет определяться второй вариацией Ф (т|) (2. 196) по величинам S-q (г) (2.192):
ДФ (У. ч) = S у {ф«5ті2 W + 1 ( 5 ) 1 dV =
= Т 2 |
+ т |
I |
I2 |
= Т 2 |
(Ф‘ + т |
№ |
+ 1й 2). |
(2- 198> |
|
к |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
где Ф" — то же, |
что и в (2. 186), (2. |
187), |
а 8% и 8% — |
||||||
вещественная и мнимая части |
%. Прежде чем переходить |
||||||||
к вычислениям |
| %|2, |
заметим, |
что |
в силу веществен |
|||||
ности |
8т) (г) (2. 192) |
8% = 8-г[1к и |
§% =—Вщк при к =£=О, |
||||||
и от)" =0. Поэтому в |
(2.198) |
не все |
члены суммы |
неза |
|||||
висимы. Объединяя члены с к и —к, можно провести сум мирование по полупространству^ волновых векторов к.
Если обозначить |
такую |
сумму Ё, |
то |
V |
|
к |
|
Ф'Х5 + |
X? |
m (571k2 + Ц ?). (2. 199) |
|
ДФ (Т , 7)) = т |
V 2 | (Ф'; + |
||
|
|
к=£0 |
|
Теперь уже |
из |
распределения (2. 185), подставив |
||||
в него ДФ (т]) из (2. 199), получим |
|
|
||||
|
___ ч |
кТ |
|
|
|
|
|
I |
Г2 = у (ф; + //с)2 = |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
~Ѵ~ ' а (Т — ТЛ + |
/A3 |
"Р“ |
Т > |
ТС, |
||
= |
|
' |
|
|
|
(2.200) |
*Гс |
1 |
|
при |
Т < |
m |
|
~ |
‘ 2а (Гс — Т) + Д-2 |
ТС- |
||||
(Эта формула верна и при к = 0).
Из выражения (2. 200) видно, что при приближении
к точке |
перехода гигантски возрастают |
именно длинно- |
8 |
Физика магнитных диэлектриков |
ИЗ |
масштабные |
флуктуации |
(с |
к -> 0). |
Если сопоставить |
|||
(2. 200) с |
(2. |
187), (2. |
188) |
и |
(2. |
191), |
видно, что в трех |
последних |
формулах |
под |
Arf и |
Ар2 |
следует понимать |
||
(от]0)3 и (SA/0)2 — среднюю квадратичную флуктуацию ще левой Фурье-компоненты коррелятора (2.193) (ср. (2.195)). Поэтому, в частности, соотношение между восприимчи востью и флуктуациями намагниченности (2.191) прини мает вид
х = Т г (м /о)'2= J r 1 S (О d Sr- |
(2- 201) |
Коррелятор g (г), очевидно, должен стремиться к нулю при г -> со. Характерное расстояние р, на котором спадает g (г), естественно назвать радиусом корреляции флуктуа ций. Тогда вследствие возрастания крупномасштабных флуктуаций при Т —> Тс будет, очевидно, возрастать и радиус корреляции. Характер этого возрастания нетрудно определить, вычислив коррелятор по формуле (2. 195)
с помощью I 6т]к |2 из (2.200) ^прп этом, как обычпо> 2 '
(2&0 "):
|
кТс |
1 |
йѢе'tkr |
|
kTG |
е р± |
|
. • М - Г ■^ |
у |
т^ + і - ы |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
(2. 202) |
|
|
|
|
|
|
|
|
а + = а, а_ = 2 з, р± = |
|
Г — |
НА |
|
|||
В уравнении (2. 202) g+(г) и g_ (г) — значения корре |
|||||||
лятора |
соответственно |
выше и ниже точки перехода. |
|||||
Как видно из этих формул, |
радиус корреляции |
р± стре |
|||||
мится |
к бесконечности при |
Т |
Тс |
пропорционально |
|||
IТ—Тс\~'к, В самой точке перехода коррелятор |
спадает |
||||||
по степенному закону, пропорционально г-1.
Попробуем теперь выяснить, существует ли-область применимости теории Ландау для магнитных переходов. Поскольку, как мы видели, эта теория сводится к прене брежению флуктуациями, то для ее применимости (кроме
уже упомянутого в начале этого раздела условия т |
1), |
необходимо во всяком случае, чтобы коррелятор |
флук |
114