Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

PfAE(ci,

a2) = щ ь г , 0l).

(П.1.1)

В частности, при действии на симметричную функцию

1Г+ (cj, с2) или антисимметричную Ф‘_ (о1;

с2)

Р°№± (°і. °г) =

± ІІ|1± (°і. сг)-

(п - 1• 2)

Следовательно, функции

Ф'± являются

собственными

функциями оператора

(с собственными

значениями

+1). С Другой стороны, эти же функции >F+ и

являются,

как мы знаем, собственными функциями

оператора сум­

марного спина S2 = (sj +

§2)2

с S = 1 или £ = 0. Так как

дует, что оператор

должен быть функцией от S2.

P°1., = A + ß ( â 1 + у з ,

(П .1.3)

так что собственные значения

равны А + BS (S -|- 1).

Из условия, что эти значения

равны 1

(при 5 = 1) или

—1 (при 5 = 0) заключаем, что

А = — 1, Б = 1 .Т ак к ак

§2= §;=3/4, то пз (П. 1. 3) имеем

Р Ъ — ~2 + 2 (§і§о).

(П.1,4)

W (сц, а.,) = с+а + (сц) a+ (а,) + с _ а _ (в,) а_ (а2) +

+ с(+-)а+ (аі) а- (аг) + е(- +)а- (аі) °+ (аз)>

(Л. 1. 5)

где а±(а(.) спиновая функция

г'-ого электрона

с s. =

+1/2.

Представляя (11.1.4)

в виде

РІ2— ~2 "Ь

+

«1+^2- ~Ь 4’і-^2+ (^'± =

Sjx І

tëjy)

(Л. 1. 6)

и учитывая, что [1]

1

j) = ± Y а±’

sJ-a+

(ay)>

(П .1.7)

s j+a_ (aj) =

(oj ) ,

sJ+a+ ( nj ) = £j_ a _

(oj) =

0,

убедимся, что оператор (П. 1. 4) обладает

свойством (II. 1. 1).

П Р И Л О Ж Е Н И Е г

ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИЙ ГАМИЛЬТОНИАН

ДЛЯ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ

АТОМОВ

а) Вывод

формулы (2. 44). Подста вляя (2. 39)

в первый член (2. 43), получим

Яо = < ^ вл°(?1. ••••

w

W i’

ÜA') I * 1l4 №) (Si,

• • ■ - ^ a;

’а

4

^a+l' •••> ^)> = ^

2

2

\ (dr)N<?JSa) (Г1-

•••>

TNa)X

X Vj (« 4 ) ( г Л'а+1............

(г1> • • • • гЛ'а) ? (Si) ОѴо+І-

■• • ’ Сѵ) Х

W

М ^ Г Ѵ і-

°м).

(П.2.1)

нов (1, 2,.

. Na) и {Na +

1, Na + 2, . . N)). С другой

стороны,

функции

и

(pW осуществляют неприво­

£ о = 5 ^ )(г1>г2, . . . 1гл,я)ср*№) (:Гма+1- Г Ма+2>

•••' T n ) X

X ЗД0*о) (i'i,

Г2,

. . . . г л,а)

(ЧгЫ’ гма+2-

X 2 2

S

x l f v) («і........-д) xif>. <*

№ 2. 3)

і=1 у=] {<Г}

рованы, т.

е. S Х*(/ Ж)ХИЖ) = 1- (в (П. 2. 3) і„,

/„ — любые

из і и /).

<*>

б) П р е о б р а з о в а н и е

/ku (Ж) (Ж =

Ж — 2?0/).

Согласно

(2. 47),

( І ) = < ¥ < я ж > I

I

NaNh.

( П . 2. 4)

11 Физика магнитных диэлектриков

161

Поскольку энергия от М не зависит/ вычислим

(11.2.4)

при

M = S,

подставив

из

(2.39).*

Тогда получим

/ ” > ( £ )

= Л\,ЛЪ (ѵвѵ4) - і 2

>'

2

2

(SaSbmamb\SS)x'

J I j '

ma+'"b=mi+ m'b=s

а (Гі, •••’ пОХ

Ч. .. ■’ Чѵа- 1’

Чѵ) X

(П. 2. 5)

(0i>

ч » )х

■•

аЛга-1> °ЛГ) X

X l f bm) (■

**„)■

Для

дальнейшего

удобно

выбрать функции y{sama) п

®(*о)

Wfb) ц ^(/Ѵ'і))

таким образом, чтобы рассматриваемые

как

функции своих

первых

Na— 1 (Nb— 1)

аргументов

они относились

к

определенным неприводимым

представ­

лениям

группы

(?дгд_1

(Слд-і)

перестановок

(Na— 1)-й

((Nb— 1)-й) частиц

[2]. При этом нетрудно убедиться, что

разные функции

и ®(.fa) (j

j')

относятся либо к раз­

ным

схемам Юнга

из (Na— 1)-й клетки,

т. е.

к

разным

представлениям группы

либо к одинаковым

схемам

Юнга из (Na— 1 )-н клетки, но с разным заполнением этих

Na— 1 клеток, т. е. являются разными функциями одного

и того

же

"представления

группы

Gua-\.

Аналогичные

утверждения

можно

сделать

и

относительно

функций

X\Sa\

Поэтому можно воспользоваться теоремой

(П. 2.2),

и

в формуле

(П. 2. 5)

останутся

лишь

члены

с і — і1,

} =

]';

кроме того,

сумма

по всем і и /

может

быть заменена суммой по различным представлениям ГѴ0_і

и ГЛ^_Х групп Gjva_1

и

G,vi-i, к каким относятся

разные

функции

и

Каждому

неприводимому представ--

лениго Г,ѵа_! II Глу-!

групп перестановок соответствует опре­

деленное

значение

спина (Na— 1)-й

и (Nb— 1)-й

частиц

S'a — Sa + 1/2 и S'b=

Sb+ 1/2. Таким образом,

все ѵа функ­

ций ^(.*тяЯ|я) разобьются

на

две совокупности:

1,

С^а+Ѵ=)

(i =

1 * 2......... V (Sa+1/2))

и х?«та) (Ѵ/ц (г =

2, ... ,

y(Sa— 1/2)),

где

v(S'a) — размерность

представления

Гма-і (S'a) (v (Sa

1/2) +

V

— 1/2) =

ve).

Через