Файл: Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 229
Скачиваний: 0
174
§ 9 .4 . ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕРЕЗЕРВИРОВАННЫМИ СРЕДСТВАМИ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ И СВЯЗИ
С СОХРАНЕНИЕМ ИНФОРМАЦИИ
Пусть плотности распределения времени безотказной работы и времени ремонта радиотехнического устройства, предназначен ного для передачи (приема) информации, заданы в виде iö{T) и Ф(Ѳ) соответственно.
Задача начинает выполняться в момент времени t=* . Необхо димо определить вероятность P(t/Ö) того, что задача постоянно го объема 6 будет выполнена в течение заданного времени t{t^â). При отказе устройства информация, накопленная (переданная) им, сохраняется, т .е . после ремонта выполнение задачи продолжает ся с той операции, при выполнении которой возник отказ.
Процесс функционирования устройства по аналогии с предыду щим параграфом может быть проиллюстрирован с помощью импульс
ной модели (ри с.9 .1 0 ). |
Здесь |
длительность импульса потока Х*(г) |
|
Т, - ѳ , - - т, - |
К - |
«к-, — ъ |
2 |
|
|
t |
|
№ 0 .9 .10 . Реализация |
процесса выполнения задачи |
|
|
соответствует продолжительности безотказной работы устройства,
длительность |
паузы потока - продолжительности его ремонта. Бу |
|
дем считать, |
что момент начала выполнения задачи |
попадает |
на импульс потока. Для стационарного режима эксплуатации веро ятность этого события может быть легко учтена с помощью коэффи циента готовности.
Задача будет выполнена, если в интервале времени ^ + г] сумма продолжительностей времени безотказной работы устройства
будет не меньше объема задачи â |
, т .е . при выполнении условия |
||||
І |
Т? 9 |
â |
( / < = / , 2 |
. |
(9.53) |
і*/ |
L |
|
|
|
|
Согласно рис.9.10 |
Т* - случайная длительность |
і -го им |
|||
пульса потока X*(2 ) при L - |
I , |
2, . . . , н . |
|
|
|
Вероятность того, что выполнение задачи закончится в пре |
|||||
делах н -го импульса, |
обозначим |
Рк . |
|
|
|
175
Время Tf , затраченное на выполнение задачи, состоит из интервала â и суммы продолжительностей пауз Ѳ* потока Х*(2 ; до того импульса, в пределах которого задача окажется выполненной:
|
|
|
|
т:, |
â |
при |
к = I , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
<7+ Ѳ* |
|
при |
н = |
2, |
|
(9.54) |
|||||
|
|
|
|
Тп |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
<? + |
£ |
|
Ѳ* |
|
при |
к >2 , |
|
|
|
где |
Tg* |
- |
продолжительность |
і*/ |
|
|
|
|
|
задачи |
в пределах к -го |
||||
выполнения |
|||||||||||||||
импульса последовательности |
X *(z). |
|
|
|
|
||||||||||
|
С учетом вероятности выполнения задачи в пределах к -го им |
||||||||||||||
пульса |
Рн |
время ее |
выполнения |
|
Т* можно записать в виде |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Т* = S |
|
Рн Т* |
|
|
|
(9.55) |
|||
|
|
|
|
|
|
в |
", |
|
к |
Ьк |
|
|
|
|
|
|
Теперь, вычислив плотность распределения f(Tg) времени вы |
||||||||||||||
полнения задачи |
Т$* , представляется |
возможным определить иско |
|||||||||||||
мую вероятность |
P(t/â) |
выполнения задачи постоянного |
объема 6 |
||||||||||||
в заданном интервале времени [$-, Ц +t] |
по известной |
[20] фор |
|||||||||||||
муле |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( t / 6 ) |
= |
|
|
|
|
|
|
(9.56) |
||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
||||
|
Для упрощения задачи будем считать, |
что плотности распре |
|||||||||||||
деления 1У(Г)и |
Ф(В) заданы в |
виде: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ѴПТ) |
= |
|
Л е~ЛГ , ' |
|
|
(9.57) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (Ѳ ) |
= ju |
е ' ^ |
, |
|
|
|
||||
где |
JI |
- |
интенсивность |
отказов устройства; |
|
|
|||||||||
|
ju |
- |
темп его ремонта. |
|
|
|
|
|
|
|
Р . |
|
|||
|
В ы ч и с л е н и е |
в е р о я т н о с т и |
Вероят |
||||||||||||
ность выполнения задачи в пределах |
к -го |
импульса последова |
|||||||||||||
тельности Х*(2 ) отождествляется |
с вероятностью |
выполнения си |
|||||||||||||
стемы неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Т*> 6 |
при к = |
I , |
|
|
|
|
(9.58) |
|||||
|
|
|
7 |
+ 7 |
+ - |
+ С |
‘ |
# >‘ при К>1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ѵ + т ; + . . л т ; > е |
|
|
|
|
|
|||||||
В общем случае |
для нахождения |
|
Ри |
необходимо вычислить плотность |
|||||||||||
г
176
распределения длительности н случайных интервалов при усло вии, что
K-t
а затем вычислить вероятность выполнения неравенства
і г ; |
> в . |
і-і |
|
В случае выполнения условий |
(9.57) задача вычисления величины |
Рк существенно упрощается. |
Действительно, при этом условии ве |
роятность окончания выполнения задачи в пределах к -го импуль са означает вероятность появления в интервале â ровно к - I отказов устройства и описывается известным распределением Пуас сона, т .е .
|
|
|
P« = j ß |
] j r e ~Aâ |
(Я - |
1,2, . . . |
(9.59) |
|||
В ы ч и с л е н и е |
п л о т н о с т и |
р а с п р е д е |
||||||||
л е н и я |
f{Tg) . |
Сначала вычислим плотность распределения слу |
||||||||
чайной величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ті* |
= |
f + |
■ |
|
(9.60) |
||
Для этого воспользуемся преобразованием Лапласа. |
|
|||||||||
Согласно |
определению, |
если |
задана |
функция h(x) |
, то ее |
|||||
изображение |
по Лапласу запишется в виде |
|
|
|
||||||
|
|
|
//(ß )= |
|
Jh{x)e~a x d x |
, |
|
(9.61) |
||
_ |
оператор |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
где і2 - |
преобразования Лапласа. |
|
|
|||||||
В свою очередь, |
знание |
|
функции Н(.Я.) |
позволяет |
вычислить |
|||||
функцию h{x) |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ң х ) = |
|
|
|
|
|
. |
(9.61а) |
|
Интеграл в правой части последнего выражения берется по зам кнутому контуру от подынтегральной функции.
Изображение плотности распределения случайной величины Т* согласно (Э.60) и (9.61) запишется в виде *
177
FH(Q) = Л{ ШП (pt(2 ), |
(9.62) |
где Д£2) и ф (й) - изображения по Лапласу плотности распреде ления интервала 6 ( т .е . дельта-функции, поскольку этот интер вал по условию постоянен) и плотности распределения времени восстановления Ф(Ѳ) .
С учетом (9.57) выражение (9.62) примет вид
F( Q) |
= e~6Sl~ p H1 , , |
(9.63) |
к |
(ju+ й Г ' |
|
где ju - интенсивность восстановления устройства.
На основании (9.55) запишем изображение Я(£2) плотности распределения f{Tg) времени выполнения задачи постоянного объе ма Ö устройством с сохранением информации цри возникновении отказа:
|
|
|
ПШ - £ Рн FAQ ) . |
|
(9.64) |
|
|
|
|
к-1 * |
к |
|
|
Подставляя в выражение (9.64) значения Рк |
и FH{Q) |
из (9.59) и |
||||
(9.63) |
соответственно, получаем |
|
|
|||
|
|
F ( S » , |
|
|
(9.65) |
|
|
|
|
|
|
||
Согласно |
(9.56) |
изображение |
L(Q) |
вероятности |
выполнения |
|
задачи |
з а время t |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.66) |
или с |
учетом |
(9.65) |
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
£Q (,S2+ju)Äк\ |
(9.67) |
|
|
|
|
|
|||
Обозначим |
к -й |
член суммн |
|
|
|
|
|
|
|
А,= |
U 6ji)K |
|
(9.68) |
|
|
|
|
|
||
ивычислим для него обратное преобразование Лапласа
И. Ш - 2JT $ АДШ е 21 і 2 .
178
Воспользовавшись для вычисления последнего контурного ин теграла теоремой вычетов, получим [38]
19-69)
Оригинал суммы равен сумме оригиналов, поэтому оригинал выра
жения (9,67) |
P{t/â) |
запишется |
в виде |
|
|
|||
|
|
|
Р{і /6) = е~х 61 а н{ і - 6) |
(9.70) |
||||
|
|
|
|
|
|
к=0 |
|
|
или с учетом |
(9.69) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О при |
0 « t |
< $ , |
|
(9.71) |
||
f\t/6)=+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
k*i “ • i=o |
L |
• |
|
можно получить |
следую |
|
Изменив в (9.71) порядок суммирования, |
||||||||
щее, более удобное для вычислений соотношение: |
|
|||||||
|
|
0 |
при |
|
0 |
t 4 6 , |
|
|
Pit/S)= |
-ju(t-â)ao |
[ ( t - â ) i i T |
|
л |
^ 9 *7 2 ) |
|||
1 -e |
|
S |
—-;i ^ |
ВЦ+І) |
при t & 6 , |
|
||
L |
|
t*0 |
1• |
|
|
|
|
|
где
(9.72a)
к*і+1
Найдем приближенное значение вероятности выполнения задачи Pit/ S) . Нетрудно убедиться, что сумму (9.72а) можно цредставить в виде
В(і)= |
(9.73) |
Для случаев, когда выполняется условие
AS é 0 ,1 , |
(9.74) |
сушла в квадратных скобках выражения (9.73) может быть с доста точной степенью точности представлена' суммой І-го и 2-го членов. Тогда вероятность выполнения задачи
P i t /6) * |
• |
(9.75) |
