Файл: Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 225
Скачиваний: 0
165
фективную систему из группы одинаковых по назначению систем, имеющих различную надежность и ремонтопригодность.
В тех случаях, когда на практике для реальных средств ав томатизированного управления и связи выполняется условие
£
Т « / ,
можно принять
При этих условиях формула (9.27) упрощается и может быть представлена в ввде:
|
|
|
|
Т |
|
при |
6 « |
t |
« 2 6 ; |
|
|
|
|
|
|
г+ ѳ |
|
|
|||||
|
P{t/â) = |
|
|
|
|
(9.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ѳ |
|
- у г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
, |
|
при |
2 |
6 ^ t< 00, |
|
|
||
|
|
|
/ ” |
7+Ѳ |
|
е |
|
|
|||
где Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
5 |
- математические ожидания времени наработки |
сред- . |
||||||||
ства на один отказ и времени его ремонта. |
|
|
|||||||||
Из анализа выражения (9.28) |
следует, |
что при &« |
t |
« 26 |
|||||||
/) |
« |
I |
вероятность |
выполнения поставленной задачи |
систе |
||||||
и -=- |
|||||||||||
мой непрерывного использования можно оценивать коэффициентом го товности. Кроме того, если одинаковые по назначению системы имеют одинаковые коэффициенты готовности, то они являются рав нозначными и с точки зрения вероятности выполнения поставлен ной задачи.
§ 9 . 3 . ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ С ПОТЕРЕЙ ИНФОРМАЦИИ
На практике широко осуществляется резервирование средств автоматизированного управления и связи.
В качестве примера можно указать на радиопередающие, уст ройства, используемые на передающих радиоцентрах. В ходе при менения передающих устройств по назначению поставленная зада
ча заключается в передаче информации заданного объема. |
При |
|
этом, если в течение минимально необходимого времени 6 |
отка |
|
за в работе передающего устройства не |
наступает, задача |
счи |
тается выполненной. Если же в течение |
этого времени происходит |
|
отказ, производится включение в работу следующего передающего
166
устройства, с помощью которого возобновляется передача инфор мации заданного объема. В случае отказа в работе и этого уст ройства производится включение последующего и т .д . Применяемую таким образом группу радиопередающих устройств можно рассматри вать как некоторую резервированную систему с потерей информа ции.
Задача, связанная с определением вероятности выполнения за данного объема работы с помощью подобных систем, в общетеорети ческом плане формулируется следующим образом.
Система состоит из п+ I однотипных устройств, одно из ко торых находится в действующем состоянии, а остальные п - в ненагруженном ("холодном" резерве). Минимально необходимое время выполнения задачи задано и равно & . Если действующее устройст во в интервале времени (0 , 6 ) не вышло из строя, задача счита ется выполненной. В противном случае включается одно из исправ ных устройств резервной группы, причем в общем случае это уст ройство (как и любое последующее) может быть включено не мгно венно после выхода из строя предыдущего, а через некоторое слу чайное время. Если второе устройство безотказно проработает (от момента его .включения) время не менее «У , возложенная на систе му задача будет выполнена за счет этого устройства. Однако если
|
|
|
|
Г М |
|
|
|
|
|
|
--------------------г |
||
! |
И |
- |
|
__________L |
||
1— |
Z/— |
j |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
— * ъ_ |
— |
L |
1 |
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
t |
||
|
Время |
Выполнения |
________ ( |
1 |
||
|
задачи |
| |
\ |
|||
О |
|
|
|
|
|
t г |
Рис.9 .8 . Реализация последовательной работы системы |
||||||
второе устройство выйдет из |
строя за время, меньшее â , |
вместо |
||
него включится следующее из |
резервных устройств и |
т .д . |
|
|
Принцип работы такой системы легко уясняется |
с помощью |
|||
рис.9 .8 , где длительности импульсов |
выражают |
собой |
время |
|
167
безотказной работы включающихся устройств; а длительности па уз V- - время от момента выхода из строя предыдущего до момен та включения последующего устройства. На этом рисунке изображен случай, когда система выполнила свою задачу за счет третьего устройства.
Спрашивается:
1) какова вероятность выполнения поставленной задачи резер
вированной системой с потерей информации в течение |
|
заданного вре |
|||
мени t , |
если она состоит из п+ 1 устройств; |
|
|
||
2) сколько необходимо иметь устройств, чтобы |
в |
течение за |
|||
данного |
времени |
t |
система выполнила свою задачу |
с |
вероятностью |
не менее |
Р . |
|
|
|
|
Сформулированную задачу будем решать в предположении, что: |
|||||
- время t; |
безотказной работы любого действующего устрой |
||||
ства распределено |
по экспоненциальному закону |
|
|
||
|
|
|
инъ) = л, е"А,т, |
|
(9.29) |
где Л, - интенсивность отказов;
-интенсивность отказов устройств в период нахождения их в резерве равна нулю (ненагруженное резервирование);
-время V* от момента выхода из строя предыдущего до мо мента включения в работу последующего устройства распределено по экспоненциальному закону
Ф(ѵ) = л 2 е‘ ЛгѴ , |
(9.30) |
д а л , |
• |
Решение сформулированной задачи сводится к следующему. Задача, возложенная на систему, в течение времени t может
быть выполнена за счет н -го устройства, если
(9.31)
ЪК-!
и при этом
168
* |
< |
|
Тi |
|
|
* |
< |
|
Xг |
|
|
Ч |
< |
(9.32) |
|
С , <
>â )
Если неравенство (9.31) при условиях (9.32) вшолняется с вероятностью p (t / H) , то система за время' t выполнит задачу за счет н -го устройства с вероятностью
pH(t) = р { к ) p i t / К) , |
(9.33) |
где р ( к ) —вероятность совместного выполнения неравенств (9.32). События, заключающиеся в тот, что система выполнит постав
ленную задачу за счет того или иного устройства, являются не совместными. В связи с этим задачу за время t система выпол нит с вероятностью
гН
|
|
|
|
|
|
(9.34) |
где pH(t) вычисляется по формуле |
(9 .3 3 ). |
|
|
|||
Условия (9.32) в предположении'(9.29) выполняются с веро |
||||||
ятностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
р(к) |
= РЯ*'1 , |
|
^9 *35) |
|
где |
|
|
= Jw(x) dx = е |
|
|
|
|
р = р ( х * > 6 ) |
-SL,6 |
(9.35а) |
|||
|
? |
|||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
$ |
ѵ}{%) dx = 1 - е -А,<? |
|
|
|
Ч = у {X* < 6) = j |
(9.356) |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
Вычислим вероятность |
р{Ь/н) |
выполнения неравенства(9.31) |
||||
при условиях |
(9 .3 2 ). |
|
|
|
|
|
Плотность |
вероятности |
случайной величины |
т* при условии |
|||
|
|
X* < |
s |
|
|
(9.36) |
|
169 |
|
с учетом (9.29) определится функцией |
|
|
Л< -Л.Х |
при 0 ^ т « |
Ö; |
— е |
||
(9.37)
Опри прочих значениях % ,
где £ |
вычисляется по формуле |
(9 .356). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Для вычисления искомой вероятности p{t/H) воспользуемся |
||||||||||||||||
преобразованием Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В этом |
случае |
изображение |
функции |
(9.37) |
согласно |
опреде |
||||||||||
лению [38] |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
L ^ Q / â ) |
= |
Г |
|
|
|
е &zä t , |
|
|
||||
где Я, - комплексное переменное. |
|
|
|
|
w{t/5) |
|
|
|||||||||
Подставив в данное выражение значение |
, определяе |
|||||||||||||||
мое выражением (9 .3 7 ), |
и выполнив интегрирование, |
получим |
||||||||||||||
|
|
|
|
L,{Q/6)‘ JLt 1-е |
-(2 |
|
|
|
|
|
(9.38) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
На величины ^ , входящие |
|
в неравенство |
(9 .3 1 ), |
не |
налагает |
|||||||||||
ся каких-либо дополнительных условий, |
за |
исключением |
требования |
|||||||||||||
экспоненциального их распределения |
|
(9 .3 0 ). |
В силу |
отмеченного |
||||||||||||
обстоятельства изображение плотности |
вероятности величины у* |
|||||||||||||||
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш2 ) = U |
|
Г |
|
= — --2- |
• |
|
|
0 .3 9 ) |
|||||
Поскольку случайные |
величины |
г* |
и |
У* |
, |
образующие сумму |
||||||||||
(9 .3 1 ), |
при условиях |
(9.29) |
и |
(9.30) являются независимыми,изо |
||||||||||||
бражение |
условной плотности |
Д52 /н) вероятности случайной вели |
||||||||||||||
чины |
г*ч |
определяется |
произведением |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
-(я +л,)<?і К-І |
|
(9.40) |
||||
|
|
|
Ш / н ) |
= |
Ь к |
/ - е |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(Я+л,) (S2+ Л2) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
L Я |
|
1 |
|
|
||||||
где н |
= I , |
2, 3, |
... » |
г |
+ I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись |
тождеством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( 1 - а ) к = £ ( - / ) ' ,
і-О
