Файл: Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 230
Скачиваний: 0
170
правую часть выражения (9 .4 0 ), запишем в виде
M / к ) - -------- ^ ---------- 2 И / С е ' і(й+Л,К. <9 -4 І >
L ^ f l + A , H ß + A 2) J Я>
Условная плотность вероятности ^(z /н ) случайной величины Ъ*.( , определяемой суммой (9 .3 1 ), находится путем вычисления интеграла
(9 .42)
При известной функции /к) искомая вероятность p i t /и) выполнения неравенства (9 .31) при условиях (9.32) может быть
найдена путем вычисления интеграла |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.43) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Подставив в |
выражение |
(9 .43) значение |
^ ( z /tf ) , |
определяе |
||||
мое выражением |
(9 .4 2 ), получим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.44) |
На основании первой теоремы смещения и теоремы интегрирова |
||||||||
ния [3 8 ] выражение |
(9.44) |
можно записать |
в виде |
|
|
|||
|
pif/KJ - |
ш |
/ |
к |
> |
■ |
»•«> |
|
функция p{t /к) |
является кусочно-гладкой, |
т.е,. |
она на каж |
|||||
дом из интервалов |
[і â , il |
+ /) <?] |
имеет |
свой |
вид. |
В связи с |
||
этим и функция |
Pr+Iit) |
также будет кусочно-гладкой. |
|
Подставив |
в выражение (9 .34) значения |
рік ) и p i t /н) .опре |
|
деляемые соответственно |
выражениями (9.35) |
и (9 .4 5 ), и восполь |
|
зовавшись теоремой вычетов, получим выражение для определения вероятности выполнения системой поставленной задачи
171
|
+ e~A,t |
I £ |
|
н г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j’i m*О |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x-l J-l |
|
|
г к-г |
^к-і.к-т-г. |
\K-1-i |
|
|
S 6 { H r X , ) |
|
- A , t |
|
r m |
*v |
|
^ 2 |
^ Si |
||
|
+ e |
|
|
|
j » 1 rtm 0 |
I ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
{н-і-;ѵлііГл2г+;-т-2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.46) |
где |
t &■ â ; |
I - |
целая |
часть |
числа |
Л- • |
|
|
|
||
|
В случае, когда время t |
, |
|
о |
на |
выполнение задачи, |
|||||
|
отведенное |
||||||||||
удовлетворяет неравенству t |
» |
(л* + /) 6 |
, в выражении (9.46) |
||||||||
суммирование по |
s |
достаточно |
выполнять |
только до значения I = |
|||||||
= г |
+ I , поскольку остальные |
члены этой суммы будут равны ну |
|||||||||
лю. Например, при |
r + |
I = 2 функция Р2 (t ) |
имеет |
вид |
|||||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-л,<у |
|
А2 |
|
|
Л |
- л 2(£-<?Л |
|
|
||
|
е |
/ + |
|
е |
|
_и __р |
|
при &*t<2â; |
|||
|
Л ,-Л 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
л - Ѵ |
|
|
|
|
/>(*)=- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.47) |
|
|
|
|
-А,(У |
|
|
|
|
|
при2<У^і<°°. . |
||
|
|
е |
- |
|
|
|
|
|
|||
Из анализа выражений (9.46) и (9.47) следует, что в общем случае при увеличении числа резервных устройств и времени t величина ( t) растет. При этом граничными значениями функции
^ +/ |
бУДУТ |
-Л, (У |
|
|
|
|
|
|
|
|
при t |
= â |
и любом числе |
г ; |
|||
|
|
|
||||||
|
, |
І4 а~І110\Г +І |
при |
* |
- ОО |
|
||
|
[ / “ V - е |
у |
£ |
|
|
|
||
Если на практике рассчитанная величина |
(£) за |
отве |
||||||
денное |
время t |
окажется меньше |
требуемой, |
|
следует изменить по |
|||
рядок применения резервных средств системы. Так, заменяя после
довательное включение резервных средств на параллельное, |
уже |
|||||
при t - |
6 |
можно достичь максимально возможного значения |
Pr+/(t), |
|||
равного |
1 |
I t |
- е |
- Л б \ г + І |
|
|
/ |
- у |
|
) |
|
||
В случае, |
когда |
отказавсве в работе устройство системы з а - |
||||
172
мещается мгновенно ( Л2 |
о©) |
, |
функция |
Pr + / (t) |
принимает |
||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*»/ i=l |
|
|
|
|
|
(9.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
I |
- по-црежнему целая |
часть |
числа |
• |
|
|||
|
Если время t , отводимое на выполнение |
задачи, |
удовлетво |
||||||
ряет |
неравенству |
t |
(г +1) |
6 |
, |
то правая |
часть выражения |
||
(9.48) |
приводится к весьма простому виду: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
А ,$ \г + І |
(9.49) |
|
|
|
|
|
t*(r+i)â = |
/ - ( / - е ’ |
) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
где |
р = 0 ,1 ,2 ,3 , . . . |
|
|
|
|
|
|
||
|
Зависимость |
РЛ+/ (t) от |
|
для различных значений г со |
|||||
гласно |
(9.48) и |
(9.49) |
построена на р я с .9 .9 . |
|
|||||
Рис.9 .9 . Зависимость Рг + /(£) от |
для различных значений |
Теперь, когда функция Pr+f (t) |
найдена, вторая часть сфор |
мулированной выше задачи сводится |
к решению относительно р урав |
||
нения |
|
|
|
Pr+I (t) |
= Р , |
(9.50) |
|
где Р0 - требуемая вероятность |
выполнения поставленной задачи. |
||
Поскольку функция Pr+f(t) |
в |
зависимости от р |
является |
173
неубывающей, уравнение (9.50) относительно п имеет единствен ный положительный корень п = г*(Р0) . Если этот корень найден, то целая часть числа
{г(рв) + 1}= гшп(Ро)
есть минимально необходимое значение п , начиная с которого выполняется неравенство
|
Pr (t ) > P D . |
(9.52) |
Итак, зная Р |
(і) , можно найти |
то минимально необходи |
мое число резервных устройств, при наличии которого система вы полнит задачу с вероятностью не менее заданной. Например, если А, <? = I , і = 5 0 и устройства включаются мгновенно, то мини мально необходимое число резервных устройств согласно рис.9.9 равно
0,9 = 4.
Приведем другой пример. Пусть для передачи радиограммы с помощью передающего устройства требуется 6 = 0,2 час. Время, отведенное на передачу этой радиограммы, задано: t = I час. Ин тенсивность отказа передающего устройства А,= 0,5 І/ч а с , а ин тенсивность включений в работу резервных устройств Л2= ОД ]/час. В резерве имеется одно передающее устройство. Для решения зада чи устройства используются по принципу, изложенному в данном параграфе. Спрашивается, с какой вероятностью может быть выпол нена поставленная задача?
При условиях данного примера можно воспользоваться форму
лой (9 .4 7 ). При этом искомая |
вероятность |
|
|
Pz (t) |
|
= 0,91. |
|
t |
= |
I час |
|
Если в условии последнего |
примера положить |
(мгно |
|
венное включение резервного |
устройства), то величина |
Рг (t) бу |
|
дет равна |
|
|
|
P2'(t) |
|
0,99. |
|
t |
= I час |
|
|
Сравнение предыдущего и последнего результатов расчета по казывает, что вопросу оперативности включения резервных уст ройств необходимо уделять самое серьезное внимание.
