330
тов в запасе т я величиной вероятности нормального функциони рования п .
Для установления этих соотношений рассмотрим простейшую си стему, состоящую из п одинаковых элементов (ри с.16,6 а ). Систе-
со
5)
Рис.16 .6 . Структурные схемы, эквивалентные по вероятности нор мального функционирования
ма непрерывно эксплуатируется в течение времени Т. Интенсив ность отказов элементов в режиме применения не зависит от вре мени, т .е .
.А, = Аг - ... = Ап= А = c o n st.
К системе придано т элементов запаса. Интенсивность отка зов этих элементов в режиме хранения постоянна и равна Ш , а после постановки их в систему равна А ; отказы всех элементов независимы. Пополнения запасов в течение срока Т не происхо дит. э
При этих условиях необходимо установить связь между вели чиной вероятности нормального функционирования п ( Тэ ) и пара метрами системы, т .е . вычислить функцию
331
Так как вероятность г представляет собой вероятность на личия запасного элемента при очередном ремонте, т .е .
г(Тз )= г |
(16.10) |
где к - число отказов в системе за время Тэ , |
то для установ |
ления искомой зависимости необходимо определить распределение числа отказов рассматриваемой системы с учетом отказов элемен тов ЗИП.
Система, изображенная на рис.16.6 а , может быть преобразо вана в систему, состоящую из h элементов с интенсивностью от казов, равной (О , к которой придано m запасных элементов с той же интенсивностью отказов. Преобразованная система изобра жена на рис.16.66. Доказательство полной эквивалентности этих систем как по вероятности безотказной работы, так и по распре
делению |
числа отказов можно найти в работах |
[24] и [25]. |
Для |
экспоненциального распределения |
|
|
h = n j - . |
(1 6 .II) |
|
(а) |
|
Легко показать, что для системы, изображенной на рис.16.66, распределение числа отказов выражается зависимостью
Ы ТЭ) = СІ Л НРЬ+ГП~К ’ |
<І6 ’ І2) |
где ^ - вероятность отказа одного элемента в течение срока эксплуатации Тэ , т .е .
0 = 7 - е -“ 7* = /-/? . |
(16.13) |
Выражение (16.12) может быть преобразовано в более удобный вид. Для этого'введем величину
представляющую собой среднее ожидаемое число отказов элементов в системе за срок эксплуатации Т.
Подставив выражения (16.13) и (16.14) в равенство (16.12), после преобразований получим
332
Формула (16.15) отражает распределение числа отказов в системе, изображенной на рис.16 .6 а, при условии возможности ее преобра зований в эквивалентную систему (ри с.16.66).
Если известен закон распределения числа отказов, то веро ятность нормального функционирования системы с учетом наличия запасов вычисляется по формуле
m |
|
|
п [ Т ) = 2 р ( Т ) . |
(16.16) |
* н=о |
* |
|
Подставив в это выражение равенство (16 .15), получим
г іта)-2с* |
(16.17) |
Э K -Q h * m |
|
Последнее выражение является исходным для расчета объема запа сов при известной величине вероятности нормального функциони рования.
Если система состоит из разнотипных элементов, то ее можно разбить на I групп, в каждую из которых включаются лишь совер шенно одинаковые элементы (одного типа, номинала, рассеиваемой
мощности и т .д . ) . Число элёментов в каждой группе |
обозначим че |
рез п. . Приняв условие, что |
в каждой груш е |
придано/^, запас |
ных Элементов ( і = 0 ,1 ,2 , . . . |
) , будем иметь |
величину вероятно |
сти нормального функционирования каждой группы в |
виде |
гЛТэ)=е |
2 |
с* іе -И |
|
(16.18) |
|
|
|
н=о |
n^mL |
|
|
При независимых отказах элементов (зависимые отказы учиты ваются особым образом) вероятность нормального функционирования всей системы
R(T )=Пг (Т ) . |
(16.19) |
d м 1 3 |
|
Выражение для парциальной вероятности нормального функцио нирования группы может быть записано в несколько ином виде:
333
При h = со (элементы запаса не отказывают)
W - e - ' i
к-0 и\
При h 10 целесообразно использовать выражение А+/Л
Ѵ т3).І-\І-е
*=0 hi +mi
При h.= const можно вычислить последующее значение г.(Т), зная два предыдущих, по формуле
h;+m;
л (Г а , т ; * /) = г .( Г ,т г) + ^ [ л . | Г , от.)-г (Г л , гог/ ; ] .
Доказательство эквивалентности всех приведенных выражений для г. (Тэ) представляет собой несложную задачу, с которой чи татель может справиться самостоятельно.
§ 16 .5 . ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПОПОЛНЕНИЯ
Очевидно, что при периодическом пополнении начальный объем запасов m должен обеспечивать эксплуатацию технической систе мы без пополнения в течение времени
|
|
т, - т, + ъ ' |
где Tj |
- |
интервал времени между моментами посылки заявок; |
X |
- |
время пополнения. |
Следовательно, оценка качества функционирования СМТО может быть произведена по величине вероятности нормального функциони рования, которая должна определяться за время T j. Однако время пополнения t почти всегда является случайной величиной, рас пределенной по закону oU'C) . Из этого следует, что величина вероятности нормального функционирования должна быть определе на путем усреднения ее по всем значениям Т , т .е .
|
оо |
|
л. (Г;)= j г. {T^Z)d(Z)dZ . |
(16.20) |
|
о |
|
Однако вычисления по формуле |
(16.20) весьма сложны. Поэтому на |
практике для вычисления г. (Г) |
используют приближенное |
равенство |
