Файл: Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

334

г. (Г) = Л ( Г + Т ) .

(16.21)

Это равенство является точным в тех случаях, когда зависимость П Т ) цредставляет собой линейную функцию времени. Действитель­ ную функцию г для биномиального закона распределения при усло­ вии z ^ 0,5Т можно считать практически линейной. Таким обра­ зом, использование равенства (16.21) не приводит к существен­ ным ошибкам.

Следовательно, исходные соотношения для случая периодиче­ ского пополнения отличаются от случая без пополнения лишь теы, что при вычислении величины вероятности нормального функциони­ рования вместо времени эксплуатации Тэ нужно использовать сум­

марное

время

 

 

Г, = Г +Т ,

(16.22)

где

- среднее время пополнения.

 

Комплекс средств, эксплуатация которого обеспечивается ком­

плектом ЗИП с периодическим пополнением,

также может быть оце­

нен величиной частного коэффициента готовности.

В реальных системах с периодическим пополнением применяет­ ся как чисто периодическое пополнение, при котором нет никакой возможности посылки заявки в непредусмотренные сроки, так и пе­ риодическое пополнение с возможностью посылки внеочередной за­

явки на недостающий элемент в случае нахождения системы в

не­

исправном состоянии.

 

Рассмотрим первый случай - чисто периодическое пополнение.

Очевидно, что с вероятностью г группа не имеет простоя из-

за отсутствия запасных элементов, а с вероятностью I - г

груп­

па простаивает некоторое, в общем случае случайное время х

. По­

этому величина частного коэффициента готовности группы и з-за

отсутствия запасных элементов может быть вычислена по формуле

 

Hr = r + ( l - r ) ^ ß - ,

(16.23)

где X - среднее время

I

 

простоя группы в неисправном

состоянии.

Таким образом, для

вычисления среднего значения

частного

коэффициента готовности необходимо найти распределение време­ ни простоя группы в неисправном состоянии, вычислить его сред­ нее значение и подставить его в выражение (16 .23).

Найдем распределение времени простоя х . Для этого обозна­ чим длительность функционирования группы через 01 , причем

 

 

 

 

335

 

 

 

 

 

ѳ' + л:= Т -t-t .

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

Величина Ѳ1 представляет

собой сумму m+ I интервалов времени

безотказной работы группы

t u ,

т .е .

 

 

 

 

 

К

rml

 

 

 

 

 

 

ѳ'=

K=t2 tк ’

 

 

Закон распределения времени Ѳ

является распределением сум­

мы случайных величин і

и

может

быть

определен

по обще­

известным правилам.

 

 

 

 

 

 

Для случая, когда Л=const,

закон распределения времени Ѳ1

представляет

собой гамма-распределение

 

 

 

 

 

 

д'п+’ о,'п

Дй1

(16.24)

 

 

0й(Ѳ')=^— f - e

.

 

 

 

 

m\

 

 

Так как

время пополнения

%

такие

случайная величина, то

в процессе отыскания функции распределения о); (X)

цредваритель-

но положим

 

 

 

c o n s t.

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом условии величина х определится как разность между по­ стоянной величиной Tj и случайной величиной Ѳ' , т .е .

х=Т}- д ' ,

азакон распределения времени х , очевидно, будет

 

 

Ц(Х)=—'-------------- (0 (Tt-x)

(16.25)

 

 

[ (Ю(Ѳ’)йѲ'

 

 

при 0

X == 7";

и постоянном времени ТГ .

 

 

В выражении (16.25) первый сомножитель представляет

собой

условие

нормирования.

 

 

U (х )

Для вычисления закона распределения времени простоя

при случайном времени пополнения Z

достаточно усреднить

закон

tu (X)

по всем значениям времени Z .

Следовательно,

 

 

 

 

ао

 

 

 

 

 

U(x) =j u)f(x)cUz)dZ .

(16.26)

Подставив в

О

 

 

 

(16.26) выражение (16.25), будем иметь

 

 

^ ( T 3+z-x)d(t)

(16.27)

I (D ( Ѳ ') Cf Ѳ '

О

336

Выражение (16.27) позволяет вычислить закон распределения вре­ мени простоя технической системы и з-за отказов элементов і -й

группы. Подставив в это выражение значения параметров

группы

Л и т. , найдем законы распределения для времени х і по

всем

группам элементов технической системы.

 

Зная закон распределения времени простоя группы, можно вы­

числить среднее время простоя xL . Очевидно, что

 

со

 

 

 

X. = j£ . V(xi)dxi .

(16.28)

0

 

_

 

Среднее время простоя системы в

целом X определяется пу­

тем усреднения величин д\ по формуле

 

 

1

 

 

 

X = 2 Q. X.

,

 

іч ‘

1

 

 

где

0.=

L i-RtTj)

есть условная вероятность появления отказов в L -й группе при условии наличия отказа в системе.

В этом случае средняя величина частного коэффициента готов­ ности системы вычисляется по формуле

•

(16.29)

Определим теперь связь между величиной вероятности нормаль­ ного функционирования и значением коэффициента готовности в случае периодического пополнения при наличии внеочередной за­ явки.

Если алгоритм подачи заявок в СМТО допускает подачу внеоче­ редной заявки, которая удовлетворяется независимо от того, по­ слана очередная заявка или нет, то время простоя техническойсистемы в неисправном состоянии в основном определяется пара­ метрами процесса удовлетворения этой заявки. В такой СМТО,как правило, внеочередная заявка посылается лишь на тот элемент, который необходим для восстановления работоспособности техни­ ческой системы.

Время удовлетворения внеочередной

заявки

z

есть случай­

ная величина, параметры распределения

которой

в

общем случае

337

не совпадают с параметрами распределения времени пополнения очередной заявки ТГ . Обычно среднее время удовлетворения вне­ очередной заявки намного меньше, чем среднее время пополнения, т .е .

При этих условиях можно считать, что время простоя системы в неисправном состоянии в первом приближении равно времени удов­ летворения внеочередной заявки г,О , т .е .

Следовательно, коэффициент готовности системы

(16.30)

Формула (16.30) является приближенной, однако она достаточ­ но хорошо отражает действительную картину, особенно при больших величинах вероятности нормального функционирования.

§16 .6 . ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОПОЛНЕНИЯ

СПОСТОЯННЫМ РАЗМЕРОМ ЗАЯВКИ

При пополнении с постоянным размером заявки число элемен­ тов в запасе в течение срока эксплуатации Тэ изменяется слу­ чайным образом в пределах от т до нуля. При этом может возник­ нуть ситуация, при которой отказ элемента системы произойдет в период отсутствия запасов. В этом случае система не может быть восстановлена и будет простаивать в неисправном состоянии до момента прибытия необходимого элемента. Очевидно, время простоя системы является случайным. Это положение заставляет оценивать влияние запасов на эксплуатационные показатели системы по ве­ личине ее коэффициента готовности н .

Поэтому задачей настоящего параграфа будет установление за­ висимости между величиной иг , показателями системы п, L,Л, ч)

и т . д . , распределением времени пополнения и числом элементов в запасе. При этом мы рассмотрим только вариант, в котором раз­ мер заявки определяется равенством

Установим зависимость частного коэффициента готовности нг

338

для простейшей системы, изображенной на ри с.16.7,

при следую­

щих упрощающих предположениях:

 

 

 

 

 

 

I) к груш е придано т запасных элементов

{т - четное чис­

л о ). Интенсивность отказов

этих элементов

в

процессе

хранения

гЭнсплиатириемыё

равна нулю, а после уста-

новки в систему -

Л

;

 

 

2)

груш а непрерывно

 

эксплуатируется в

тече­

 

ние

времени Тэ ;

 

 

 

 

 

3) заявки на пополне­

 

ние посылаются в моменты,

 

когда наличный объем

за­

 

пасов

становится равным

 

Y

и нулю.

В обоих

 

слу­

 

чаях размер

заявки

 

 

 

 

 

и - М. •

 

 

 

 

 

 

У~

2 ’

 

 

 

 

 

4)

время пополнения

 

имеет

экспоненциальное

 

распределение

 

 

 

 

 

 

 

-U't

,

 

 

Рис.16 .7 . Простейшая структурная

о(('ь)= JLXe

 

 

схема СМТО

где

jll

- интенсивность

 

 

пополнения;

 

 

 

 

5) система пополнения имеет неограниченную пропускную спо­

собность;

 

 

 

 

 

 

 

6) в случае, когда все

элементы запаса израсходованы и

обе

заявки еще не удовлетворены, а в технической системе произошел отказ, она выключается и в дальнейшем простаивает в неисправ­ ном состоянии до прибытия необходимого элемента. В выключенном состоянии интенсивность отказов элементов технической системы равна нулю.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методами тео­ рии массового обслуживания. При этом за состояние СМТО примем число неисправных элементов в ней. Состояние СМТО обозначим че­

рез к . Очевидно, что при наличии в запасе т

элементов

число

состояний на основании шестого допущения равно

т + 2.

Таким

образом,

 

 

0 ^ к szm+1 .

(16.31)

Смотрите также файлы