Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

ГЛ А В А I

МЕТОД К О О РД И Н А Т

§I. Предмет аналитической геометрии. Аналитиче­ ская геометрия изучает свойства геометрических образов (линий, фигур, тел, поверхностей и т. п.) с помощью осо­ бого метода, называемого методом координат. При этом широко используется алгебра.

В элементарной геометрии также прибегают иногда к методам алгебры, например при определении площади треугольника по трем сторонам или при вычислении стороны вписанного в окружность правильного много­ угольника и т. п. Однако область приложения методов алгебры к геометрии стала наиболее широкой со времени введения метода координат, который позволил изучать не только форму и размеры геометрических образов, но и их положение на плоскости и в пространстве.

Здесь мы дадим элементарное изложение только ана­

у = РМ == ON.

Эти числа х и у, определяющие положение точки М по отношению к заданным прямым Оу и Ох, называются координатами точки М. Их обычно записывают в скоб­

и на 2 единицы масштаба

от прямой Ох. Получается неопределенность: четыре точки имеют одинаковые координаты (1; 2). Чтобы устранить этот недостаток, уточним определение прямо­ угольных координат точек на плоскости.

Координатой х тонки М называется число, абсолют­ ная величина которого есть расстояние точки М от пря­ мой Оу. Это число положительно, если точка М распо­ ложена справа от прямой Оу, и отрицательно, если AI расположена слева от этой прямой. Координату х на­ зывают абсциссой, а прямую Ох — осью абсцисс.

Координатой у точки М называется число, абсолют­ ная величина которого есть расстояние точки М от пря­ мой Ох. Это число положительно, если точка расположе­ на в верхней полуплоскости, и отрицательно, если она расположена в нижней полуплоскости. Координату у называют ординатой, а прямую Оу — осью ординат.

имеют уже различные и вполне определенные коорди­ наты: М(1; 2), М Д - 1 ; 2), АГ2( - 1 ; - 2 ) , М 3(1; - 2 ) .

Следовательно, чтобы определить положение любой точки на плоскости, нужно задать:

1) две взаимно перпендикулярные прямые: ось аб­ сцисс Ох и ось ординат Оу, называемое осями коорди­ нат (точку их пересечения О принято называть началом координат) ;

2)единичный отрезок;

3)направление на каждой из осей координат, принимаемое за положительное (на рисунке принятое положительное направление на осях отмечается стрел­ ками) .

Так определяется декартова система прямоугольных координат на плоскости [по имени французского мате­

матика Декарта (1596— 1650) — создателя аналитической геометрии].

Как выше показано, в декартовой системе прямо­ угольных координат на плоскости каждой точке плоско­ сти соответствует пора действительных чисел х и у (ее координат), определяющих положение точки на плоско­ сти, и наоборот, каждой паре действительных чисел х и у соответствует одна точка плоскости. Вследствие указан­ ного соответствия между точками и координатами этих точек принято говорить: «дана точка М(а\Ь)» вместо «даны координаты точки /VI», «найти точку М(х\ у)» вместо «найти координаты точки М».

Построить эти точки.