Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

§ 5. Постоянные и переменные величины. В практи­ ческой деятельности, в технике, при исследовании како­ го-либо процесса мы встречаемся с величинами двух ро­ дов: постоянными и переменными.

Постоянной величиной считают такую, которая в хо­ де какого-либо процесса не меняет своего значения. Н а­ пример, длина радиуса одной и той же окружности, тем­ пература кипения чистой воды при постоянном давле­ нии — величины постоянные.

Переменные величины в ходе изучаемого процесса меняют свое значение.

Например, периметр правильного вписанного в окруж­ ность многоугольника при увеличении числа его сторон, длина металлического стержня при его нагревании — ве­ личины переменные.

Часто бывает, что одна и та же величина при одних условиях является постоянной, при других — переменной. Например, в правильном вписанном в окружность мно­ гоугольнике апофема — величина постоянная; при не­ ограниченном удвоении числа сторон этого многоуголь­ ника апофема становится величиной переменной.

§ 6. Функциональная зависимость. Переменные вели­ чины в математике играют важную роль: они служат средством изучения явлений природы и технических про­ цессов. При этом используются переменные величины не в отрыве друг от друга, а в их взаимной связи, в опре­ деленной зависимости между ними. Рассмотрим случай зависимости двух переменных величин между собой.

Две переменные величины могут быть взаимосвя­ заны так, что каждому данному значению одной из них

определенное значение 5; следовательно, площадь круга есть функция радиуса, а само равенство выражает функ­

где с — постоянная величина для данной массы и тем­ пературы газа. С изменением объема ѵ изменяется и давление р\ следовательно, давление р газа есть функ­ ция его объема ѵ.

ляет линию, все точки которой обладают одинаковым свойством, а именно: ордината каждой из них равна квадрату соответствующей абсциссы.

Имея уравнение (1) окружности, можно узнать, ле­ жат ли на ней какие-нибудь данные точки, например А (—3; 4) и В ( — 1; 3). Для этого нужно проверить, удов­ летворяют ли координаты точек А и В уравнению (1). Подставив их в уравнение (1) на место х и у, получим: для точки А:

(—3)2 + 42 = 9 + 16 = 25,

для точки В:

творяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Таким образом, мы установили, что между линиями и их уравнениями существует связь, поэтому принято говорить:

«дана линия» вместо «дано уравнение линии», «найти линию» вместо «найти уравнение линии». Установленная выше связь между линиями и их

уравнениями позволяет изучать свойства линий путем

аналитиче­

ки А.

Р е ш е н и е . Так как точка А лежит на данной линии, то ее координаты должны удовлетворять данному урав­ нению. Одна координата х = — 1. Чтобы найти вторую,

§ 8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 23

т. е. у, мы подставим в уравнение вместо х его значение.

неизвестную координату каждой точки.

3. Написать уравнение линии, все точки которой одинаково удалены от осей координат. Построить эту линию.

'4. Ординаты любой точки некоторой линии в 4 раза больше ее абсциссы. Написать уравнение этой линии и построить ее.

5. Написать уравнение линии, все точки которой удалены от точки 0(0; 0) на одинаковое расстояние, равное 2. Какой вид имеет

§ 8. Формулы преобра­ зования прямоугольных координат.

I.П а р а л л е л ь н ы й

вой