Файл: Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством.pdf

Из полученного результата следует, что вероятность вырождения процесса 1—P{zn>0} =q слабо зависит от/

и с возрастанием числа поколений вероятность его окон­ чания обратно пропорциональна п. Распределение веро­ ятностей {zn} для любого значения п, вообще говоря,

однозначно определяется по распределениям вероятно­ стей возможных исходов для каждой а-вершины, если таковые имеются (ниже мы рассмотрим метод получе­ ния таких распределений вероятностей). Однако полу­ чение указанного распределения для {zn} приводит к

очень громоздким результатам, трудно поддающимся обработке, поэтому в теории ветвящихся процессов чаще пользуюся предельными асимптотическими формулами, имея в виду, что основные выводы могут быть сделаны на основании этих формул, минуя распределение веро­ ятностей {zn}. Определение предельных асимптотиче­

ских распределений (5.3.11) и (5.3.13) для случая m z = l дает возможность надеяться на получение стационарно­ го распределения вероятностей в общем случае, т. е. ког­

г = 1

где pij определено согласно (5.3.4). В соответствии с (5.3.4) распределение {щ} есть любое неотрицательное решение уравнения (5.3.14); более того, существует про­ изводящая функция

аналогичная введенной вначале производящей функции (5.3.5.) При некоторых условиях щ удовлетворяет функ­

Таким образом, когда f(s) выражается, как это было дано выше, неоднозначность очевидна, ибо для f(s) су­ ществует выражение, определяемое через sin(2n£s), откуда непосредственно следует факт существования не­ однозначности. Интерпретация этого результата может быть следующей.

формулировке стохастической сетевой модели. Разуме­ ется, реальное существование неустойчивых процессов, когда т 2 > 1,2„->-оо, в данном случае трудно проверить на практике. Однако можно себе представить ситуацию, когда в ущерб основному направлению разработки не­ оправданно развиваются побочные направления. Это со­ ответствует рассмотренному случаю m z > l . В реальных условиях ограниченных ресурсов указанное обстоятель­ ство может привести к невыполнению поставленных це­ лей. Сведения относительно таких процессов могут быть получены при более глубоком исследовании последова­ тельности {zn} при других предпосылках, в частности учитывающих ограниченность ресурсов.

Исследование стохастических сетей с контурами. Рас­ смотрим возможность распространения приведенных ма­ тематических схем на более широкий класс отображае­ мых процессов проектирования и создания сложных комплексов, моделируемых альтернативными сетями ти­ пов I I и IV (§ 5.2). В процессе создания сложных си­ стем большое место занимают операции, приводящие в случае их отрицательного исхода к повторным циклам. Подобного рода ситуации возникают при сборке и испы­ тании отдельных блоков и узлов, проведении функцио­ нального контроля системы, профилактических работ, функциональной стыковке подсистем и т. п. По своей вероятностной природе эти операции имеют большое сходство с испытаниями по схеме Бернулли, которая с помощью стохастической сети изображена на рис. 5.3.1,а. Как следует из рис. 5.3.1, введение в сетевую стохасти­ ческую модель подобных элементов, наглядно отобра­ жающих существо повторяющихся операций, приводит

кобразованию контуров и петель, затрудняющих анализ

ирасчет такой модели. Для определения вероятностей возможных исходов в этом случае может быть использо­ ван подход, изложенный в работе [5.24] и основанный на

Рассмотренный пример показывает, что несмотря на кажущуюся громоздкость получаемых матриц, преобра­ зование последних на ЭВМ не представляет трудностей ввиду большого количества в них нулевых элементов. Однако при исследовании стохастической сетевой моде­ ли необходимо кроме вероятностей исходов определить среднее время выполнения повторяющихся операций, а также стоимостные и другие ресурсные параметры. Воз­ никает задача замены этих операций некоторыми экви­ валентными в смысле времени выполнения, стоимости и других параметров.

Рассмотрим вариант задачи с использованием вре­ менного эквивалента. Пусть каждый повторный цикл испытаний характеризуется временем t2 или функцией распределения вероятностей f{U), а продолжительность операций, непосредственно следующих за альтернатив-