Файл: Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений..pdf

Pue. 12. Исследования возможности определения глубин по трансформированным картам на модели,

а — карта V' от модели; б — карта относительных по ­ грешностей остаточных аномалий; в — карта частного; цифры на кривых — Ag п мгл.

(Здесь следует подчеркнуть, что для изолированной массы погрешно­ сти массы — см. табл. 12.) Одновременно вычислялись относительные

и поле частного (мера смешивания) (рис.12, s). Карты погрешностей показывают, что над контактной поверхностью погрешности не сохра­ няются постоянными по площади, а изменяются и достигают мини­ мальных значений в центре локальной аномалии. Следовательно, расчеты глубин по трансформированным полям обычными методами (особенно интегральными, которые используют всю кривую) будутотягощены дополнительными, весьма существенными и переменными для разных тел погрешностями, которые могут достигать нескольких десятков процентов.

Степень изменения гравитационного поля с высотой характери­ зует карты частного Vz (z)/Vz (0). Построение последних целесооб­ разно для трассирования сбросов и разломов. Над уступом при отсут­ ствии регионального фона график частного имел бы максимальное

66

значение. Над линией сброса величина частного равнялась бы еди­ нице, а над опущенными и поднятыми крыльями она была бы меньше единицы и всюду положительной. При наличии фона переход част­ ного от -j-1 до + оо и от — оо до -(-1 будет находиться или над опущен­ ным или над поднятым крылом в зависимости от уровня фона. Карты

изолинии, а вытянутой узколокализованной зоне, ограниченной единичной изолинией. Если эта зона раздроблена, она может соот­ ветствовать многоступенчатому сбросу.

Г Л А В А V I I

УСТОЙЧИВОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТЬ НИЖНЕГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

Обширный класс задач математической физики, очень интерес­ ных п нужных для интерпретации, относится к некорректно поста­ вленным. Как известно, классическая постановка задач, корректных по Адамару, включает три пункта [43]. Первый из них требует до­ казательства существования решения, второй — единственности ре­ шения, в третьем — формулируется необходимость непрерывной зависимости решения от исходных данных. Это означает следующее:

риваемой, не имеет места непрерывная зависимость классического типа, сформулированная в третьем пункте классической коррект­

него полупространства имеет осциллирующий, пилообразный харак­ тер. При этом осцилляции, растут настолько быстро, что уже на глубинах, гораздо меньших, чем глубина до поверхности телат решение теряет физический смысл: результативная функция не имеет ничего общего с исходной и наблюдается эффект «распадения» поля.

погрешности резко возрастают по величине. Следовательно, даже

при малых погрешностях исходной функции ее приближенное реше­ ние на любых уровнях ниже поверхности наблюдений может значи­ тельно отличаться от точного. А. Н. Тихонов ввел понятие устой­ чивости при решении обратных задач и доказал классическую теорему устойчивости [98]. Неустойчивость решения задачи о продолжении была отмечена во многих работах, авторы которых, независимо от используемого математического аппарата, применяют различные способы сглаживания растущих погрешностей либо промежуточных, либо результативных функций. Ввиду важности для разведки за­ дачи о продолжении разработаны разнообразные вычислительные схемы, которые реализуют задачу о продолжении различным мате­ матическим аппаратом: конечно-разностные схемы, схемы, исполь­ зующие аппарат преобразований Фурье; схемы, построенные с по­ мощью рядов Фурье; схемы, использующие дробно-рациональные функции, и ряд других.

Но в общем случае ни специальным образом построенные коэф­ фициенты квадратур, ни разного вида формальное сглаживание не дают устойчивого решения. Некоторый эмпиризм, а главное отсут­ ствие четких критериев степени сглаживания, приводит к тому, что результативная функция^либо «переглаживается» т. е. наряду с по­ грешностями теряется полезная информация, уровень которой зача­ стую не слишком превосходит уровень погрешностей, либо «недо­ глаживается» — и в этом случае оказывается невозможным отделить полезный сигнал в результативной функции от оставшихся в ней погрешностей. Устойчивые результаты получаются лишь в вычисли­ тельных схемах В. Н. Страхова, реализованных для двухмерного слу­ чая [92, 95].

Кроме того, методы, использующие сглаживание исходных функ­ ций, и функций, полученных на уровнях нижнего полупространства, не имеют критериев того, что полученное сглаженное решение есть действительно решение задачи.

Еще в 1943 году А. Н. Тихонов ввел понятие устойчивости при решении обратных задач и доказал ставшую классической теорему устойчивости [98]. Он провел [90, 100] общий анализ решения некорректных задач и дал принципиально новую постановку этих задач. Разработанный А. Н. Тихоновым общий метод регуляриза­ ции позволяет получать устойчивое приближение к решению некор­ ректных задач и дает критерии, пользуясь которыми, можно найти указанное приближение с гарантированной точностью, соответству­ ющей точности входной информации.

Авторами, под влиянием идей Б. А. Андреева [3] и А. К. Маловичко [66], была разработана вычислительная схема, реализованная еще на машине «Стрела» [35]. В основе этой схемы лежало интеграль­ ное уравнение первого рода, решение которого искалось методом последовательных приближений. Но решение не было устойчивым, а при построении для данной схемы регуляризируюгцего алгоритма встретились тогда непреодолимые трудности. В то же время пред­ ставление решения задачи о продолжении в виде двойного ряда

68

Фурье оказалось более плодотворным с этой точки зрения. Для операторов

ния первой краевой задачи теории потенциала с помощью рядов

сов убывают при k, I -> оо как квадраты ряда синусов. Эти обстоя­ тельства позволяют искать решение задачи для потенциальных

между точками, получаем численное решение в виде следующей частной суммы:

Верхний предел суммирования (VII.6) ограничен областью зада­ ния функции (числом точек M, N).

69