Файл: Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Формула вычисления вертикальных производных по дискретной матрице значений U (і, /, 0) также будет иметь вид (VII.6), отли­ чаясь лишь новым дополнительным сомножителем

W(TBTÏ

+ (T^)Î.

СѴП.7)

где и — степень производной.

 

Для вычисления двойной

тригонометрической

суммы использо­

вался следующий алгоритм, предложенный А. А. Корнейчуком. По­

скольку целые положительные

величины і и к заданы

в

одном и 1

том же диапазоне (0 ^ і, к

— 1), значения cos

для

любого

аргумента легко извлекаются

из таблицы. Пусть а„, а к

— началь­

ный и конечный адреса таблицы косинусов в МОЗУ, тогда адрес а

значения cos ^тгі определяются

как

 

 

 

 

[ а„ ~к~гі,

если

(а„ -~ к - j - і)

а„,

 

~\

ѵ-и + к + і — 2(^ — 1) ,

если

(аи + к +

/ ) > а к ;

здесь і и к

являются

значениями

регистров адреса

внутреннего

и внешнего

циклов. Аналогичным

образом извлекаются cos jj^-ç- •

Блок гармонического анализа используется для вычисления как коэффициентов Фурье, так и производных от них функций. В первом случае матрица Вц представляет собой матрицу исходных значений поля U ((', у, 0), а во втором — матрицу гармоник Ак,,. В соответ­ ствии с общими принципами построения вычислительных схем, входящих в систему, погрешность метода тщательно исследовалась В. Р. Мелиховым на аналитически заданных функциях от моделей

различного

класса:

шаров, кубов, ограниченных

параллелепипедов,

вертикальных и горизонтальных

пластов.

 

 

 

_

 

 

Матрицы

исходных

значений потенциального

поля

U

(х,

у) и

матрицы

значений

U

(х,

у, z) на

глубинах

z < / /

от

моделей

пра­

вильной

геометрической

формы

вычислялись

на

 

ЭВМ

[1101

с точностью

до единиц

девятой

значащей

цифры

мантиссы.

По

модельному

исходному

полю

по

формуле

(VII.6)

рассчиты­

вались

на уровнях

z

 

H и z

H значения U (х,

у,

z),

и затем

вычислялась погрешность продолжения относительно точных значе­ ний поля на этих уровнях. Получаемая таким образом погрешность характеризует собственную погрешность метода, свободную от по­

грешностей исходных

данных. Точность метода есть

функция ô =

~

,

/ z

L

D

L

\

параметров: z — глубин ы

'

пересчета,

 

\Л '

7'

~7 '

7/ Р я д а

 

s — шага

задания

функции;

H — глубины 'залегания

аномального

тела,

а — горизонтальных размеров тела. Численные оценки ô пока­

зали, что подобранные определенным образом параметры вычисли­

тельной

схемы — интервал

L

и шаг

аппроксимации s — могут

вы­

ступать

в роли некоторого

регуляризатора, позволяющего

для

т о ч н о

з а д а н н ы х

функций

получать решение, но слабая

70

регуляризация оптимальными параметрами L , s позволяет лишь несколько улучшить решение максимум до глубин 0,5—0,6 II. В целом же решение продолжает оставаться неустойчивым.

1. РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ

ЗАДАЧИ

О ПРОДОЛЖЕНИИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ

Метод регуляризации, как общий метод решения некорректных задач, позволяет получить устойчивое приближенное решение. При этом, поскольку неустойчивое (пилообразное) решение не имеет непрерывной кривизны, его можно исключить, если решение искать

вклассе функций, обладающих второй производной.

Вобщем случае, в методе регуляризации, из условия минимума меры гладкости и при условии определенной близости исходной функции t/fi с погрешностями и точной U, строится приближенное решение У<*. Чтобы его иайти, нужно решить задачу на условный

экстремум, в которой ищется минимум функционала Ма,

завися­

щего

от параметра а:

 

 

 

 

 

 

 

Ма[Ѵ,

05}~рЦА[Ѵ],

Ut)

+ aQ[V],

(VII.8)

 

 

 

 

vec,

 

 

 

где А

[V]

— непрерывный

оператор;

р 2

— метрика L 2 ;

Q [У] =

== \\V\\ 2 , а

> 0 — числовой

параметр.

 

 

 

А. Н. Тихонов [98,

99,

100] доказал, что если классом

допусти­

мых решений У является некоторый компактный_класса, предста­ вляющий множество корректности, то для всего U и а > 0 суще­

ствует

единственная

непрерывная

дифференцируемая

функ­

ция У а Ç Z,

реализующая

минимум

сглаживающего

функцио­

нала М а

[У, U}. Если норма уклонения

функции

U

от функции U

меньше

б,

т. е. \\ÜÖ —

U\\

< б , то Va

(а) = а

(б, е) — реализую­

щая min Ма,

принадлежит е — окрестности функции

У, т. е. || У? —

- У | | < е .

Алгоритм, построенный таким образом, т. е. позволяющий по за­ данной Us выбирать приближенное решение, удовлетворяющее основ­

ному требованию

сходимости приближенного решения к точному,

называется р е г у л я р и з и р у ю щ и м

а л г о р и т м о м .

Применительно

к рассматриваемой задаче

о продолжении потен­

циальных функций, когда используется аппарат рядов Фурье, най­ дем решение, для которого мерой приближения С/0 к U служит функционал

J J [Ü(x, y)-Üt{x, y)]*dxdy^8\ (VII.9)

D

где б — известное среднеквадратичное уклонение, и будем считать, что

D

71

Условие (VII.10) для рядов Фурье означает, что значения коэф­ фициентов Акн удовлетворяют условию

 

со со

 

 

 

 

2 2 (А^-АыУ^Ѵ;

(VII.11)

здесь Ак,і и Ak,t — точное

и

приближенное значения

коэффици­

ентов.

 

 

 

 

Используя

меру гладкости

(VII.10) и выполняя условие (VII.9),

получаем регулярнзирующин сомножитель в виде

 

» . . - { І + - [ ( Т £ Г ) ' + К І £ Г ) , ] > <

 

 

* ^ Ш і £ т ) ' + ( т £ г ) Т -

< V I U 2 )

(При расчетах

принято р =

1.)

 

Тогда приближенное решение задачи (VII.6) в виде двухмерного тригонометрического ряда Фурье с коэффициентами, допускающими его устойчивое суммирование, записывается так:

 

 

 

 

 

 

 

(VII.13)

где 7f t 1 ,

дается

выражением (VII.12).

 

 

В. Б. Гласко

[77] показал, что при z < #

 

 

 

 

 

|É7(л:,

у, z) — Ü{x, у, г)| ^ а С і + ^

с2 ;

 

здесь

с j и с 2

— некоторые

постоянные, не зависящие от а.

 

Как следует

из. этого,

для любого Ô > 0 существует такое ос =

= а

(о),

что

при ô

0 уклонение f7 (х, і/, z) от

С7 (х, у, z)

будет

сколь угодно

малым.

Это значит, что приближенное решение Ü (х,

г/, z)

есть

устойчивое

решение.

 

 

В

регуляризирующем

алгоритме содержание

расчета

состоит

в вычислении

на каждом

уровне z последовательности Ua (х, у, z)

регуляризированных

приближений на множестве { as ), когда

варьи­

руется значение параметра а. При--этом критерием выбора [при

соблюдении условия гладкости

 

( V I I . 10)] является

минимум вели­

чины е:

 

 

 

 

 

; т а х

 

dU

= min,

-

(VII.14)

а

da

 

- J —

 

 

 

G

где G — область определения функции.

Искомым приближением к аномалии U (х, у, z) при данном z является та функция Ua из указанной последовательности, для

72

"которой при as —>- 0 достигает наименьшего значения величина е (VII.14).

Если as изменять в геометрической прогрессии, где с = const, s = 0; 1; 2, . . ., то е, по минимуму которой выбирается приближе­ ние, выражается с точностью до постоянного множителя формулой

 

 

du

 

Uas

 

jjas-i

1

m a x | / J ^ _ f / « S - i l = e '.»-i.

max

a s

1—

л* max

as

—

as -i

1 - C

 

s da

 

Q

 

G

 

 

G

 

 

 

 

 

 

(VII.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. P. Мелихов показал,

что параметр

 

as можно

варьировать

и в арифметической прогрессии. Пусть as =

s As, тогда

 

 

 

 

 

8 S ,s-i =

s

m a x | f 7 a s _ c / a s _ 1

 

| _

( V I I . 16)

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

Обе сетки вариации as равноправны, и если min e? >s _ 1 суще­ ствует для некоторых z, то значения а, отвечающие этому минимуму как для (VII.15), так и для (VII.16), совпадают с точностью до шага сеток.

В модельных задачах, где заранее известны и точное реше­ ние U (х, у, z) и глубина Н, вместо (VII.16) используется норма е:

 

 

 

e> = m&x\Ua'-Ü\.

 

 

(VII.17)

 

 

 

 

G

 

 

 

 

В табл. 14 дай один из примеров

работы

алгоритма для модель­

ной задачи,

где исходное

поле U

трехмерной модели (L = D =

= 12Я, s =

0,5Я)

было осложнено погрешностью ô = S %. Из этой

таблицы видно, что минимум е 6 ' 5 - 1 для всех z <С H совпадает с

mine'

Учитывая

результаты многочисленных модельных

расчетов,

можно

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л п ц а 14

 

 

 

г =

0,5Я

2=0,7Н

2 = 0 , 9 Н

 

 

 

es

eS.s-1

 

e

 

Es, S-l

 

 

 

 

s, s-i

 

 

0,2

0,82

 

4,2367

0.6Т45

6,9928

1,0531

11,9418

L6610

0,2

0,83

 

3,7854

0,6261

6,4678

0,9826

11,0935

'1,5185

0,2

0,8*

 

3,5377

0,5799

6,0317

0,9406

10,3622

1,4119

0,2 •0,85

 

3,5101

0,5354

5,6794

0,9018

9,7443

1,3860

0,2

0,86

 

3.2189

0,4929

5,4062

0,8649

9,2350

1,3668

0,2 •0,8'

 

3,4144

0,5634

5.2082

0,8282

8,8291

1,3529

0,2

0,88

 

3,6763

0,6427

5,2702

0,9073

8,5215

1,3422

0,2 •0,89

 

4,1765

0,7384

5,7293

1,0701

8,3090

1,3314

0.2

0,81°

4,9397

' 0,8405

6,5145

1,2426

8,5618

1,5919

0,2

0,8"

5,7582

0,9478

7,9356

1,4211

9,6069

1,9209

0,2 • 0,81 2

6,7603

1,0721

 

 

11,4649

2,2844

73

сделать вывод, полностью отвечающий теории метода регуляризации;

последовательность регулярнзпрованиых приближений

Uf сходится

к решению при всех s < / / ;

наличие min е 5 ' 5 - 1 определяет устойчивое

нахождение

Uf,

близкого

it

U в нормах es.

 

Так же

как

для всех

остальных задач, входящих в

автоматизи­

рованную систему обработки, необходимо было оценить точность метода и влияние на нее параметров вычислительной схемы. К ним, помимо указанных в настоящей главе, относится и точность задания

 

 

 

 

 

исходной функции Ѵг

(х,

 

у). В. Р.

 

 

 

 

 

Мелихов

провел серию

многочис­

 

 

 

 

 

ленных

модельных

расчетов,

по­

 

 

 

 

 

зволивших

получить

численные

 

 

 

 

 

зависимости

точности

 

восстано­

 

 

 

 

 

вления функции в области z

> 0 .

 

 

 

 

 

Для исследования влияния

раз­

 

 

 

 

 

меров

области

задания

 

исходной

 

 

 

 

 

функции были

проведены

расчеты

 

 

 

 

 

на моделях,результаты которых об­

 

 

 

 

 

общены

на рис. 13.

Как

 

видно из

 

 

 

 

 

рис. 13, погрешности продолже-

 

 

 

 

 

ния при

L

^

10

-15 относител ь-

 

 

 

 

 

но

мало

 

изменяются

даже

 

 

 

 

 

при

значительном

изменении

от­

 

 

 

 

 

ношения

L/H.

 

Кроме

 

того,

из

 

 

 

 

 

графика,

 

представленного

на

РІІС. 13.

График

зависимости точ-

рис.

13,

следует,

что

 

точность

ностп Д т а х

= max

 

(в%)

Д т а х

регулярпзпрующего алгорит-

 

ма (при

L

10)

не

 

превосходит

 

 

max у

 

 

продолжения функции Ѵг (х,

z) | г = 0 , 9 Н

величины

случайных

 

погрешно­

от погрешностей

исходных

данных и

 

отношения L/H

при

использовании

стей

исходной

функции.

 

 

 

регулярпзпрующего

алгоритма.

Регулярнзирующий

 

алгоритм

 

 

 

 

 

(VII.13)

имеет

то

 

неоспоримое

преимущество,

что

позволяет

находить

устойчивое

приближение

практически при любом шаге s. Существует лишь ограничение на очень большие s, когда функция аппроксимирована явно недоста­

точно. Точность же восстановления

функции на плоскостях 0 ^

^ z =s H тем выше, чем меньше шаг

s, т. е. чем детальнее предста­

влена функция. Расчеты показали, что областью оптимального шага задания функции можно считать интервал 0 < s =g 0,511. При иссле­ довании влияния погрешностей исходных данных оказалось, что чем больше величина погрешности в них, тем эффективнее работает метод регуляризации; это видно, в частности, на рис. 13. В целом же относительная погрешность исходных данных практически перено­ сится на уровень продолжения без существенного увеличения.

Очень яркий пример устойчивости работы регулярпзпрующего алгоритма дан в [42]. Если две Vz (0) и Ѵг (0), совпадающие в пре-

74

Смотрите также файлы