Файл: Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений..pdf

делах графической точности, продолжить в нижнее полупростран­ ство формальным способом без регуляризации, то получаются два резко осциллирующих решения, не имеющих ничего общего с исход­ ными кривыми. При тех же параметрах вычислительной схемы на основе регуляризирующего алгоритма получены две кривые на уровне г = я / 3 , которые также совпадают между собой в пределах графической точности [68].

Из приведенного анализа и результатов расчетов можно сделать вывод, что оптимальными будут следующие параметры вычислитель-

ности Ѵг (z) убывают при s ->- 0). Эти параметры дают возмож­ ность получить решение задачи о продолжении функции на уровне 0,8—0,9Я практически с той же относительной погрешностью, что и погрешность исходных данных. Именно в этом смысле они названы оптимальными. Регуляризирующий алгоритм дает устойчивое реше­ ние и в том случае, если параметры будут отличаться от приведен­ ных выше.

2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ВТОРЫХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПОТЕНЦИАЛА И ИХ УСТОЙЧИВОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

ВНИЖНЕЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИМ

АЛГОРИТМОМ

Прп интерпретации аномальных потенциальных' полей, получен­ ных в результате полевых гравимагнитных съемок, часто необхо­ димо провести локализацию и усиление полезных аномалий, для чего, собственно, и вычисляют вертикальную производную исходной функции. Эта же проблема может быть решена еще более эффективно,

ной функции в сторону возмущающих масс некорректна, н ее реше­ ние обладает неустойчивостью к погрешности исходной функции.

Если исходная функция измерена с малыми погрешностями по густой сетке (например, при детальной съемке), то ô -»-оо П р и s —>- 0. ЕСЛИ же брать шаг s большим, то не исключена опасность пропуска полезных особенностей исходной функции и, следовательно, возра­ стания погрешности результата.

Выбор оптимального шага s в данном случае играет роль фильтра, сглаживающего некоторую высокочастотную часть помехи, но кри­ терии оптимальности являются сугубо эмпирическими, так как so n зависит не только от свойств помехи, но и от вида трансформиру­ емой функции. Если же вертикальные производные вычисляются

75

с помощью широко распространенных интегральных схем [92], то появляются дополнительные погрешности за счет вычисления несобственного интеграла на уровне z = 0.

Вычислительная схема для получения вертикальной производ­ ной в области нижнего полупространства является модификацией основной схемы о продолжении функции (VII.6) и отличается от нее лишь сомножителем (VII.7). Поскольку высшие производные имеют более высокий коэффициент влияния случайных погрешностей и,

0,3 z/H

При этом алгоритм построения последовательности регуляризпрованных приближений и нахождения решения по минимуму нормы gS,s-i сохраняется.

Для характеристики точности расчетов функции Ѵгг в области нижнего полупространства 0 =s z <СН сделаны [54] оценки этих погрешностей, выполненные на модельных полях вертикальных пла­ стов. Исходные функции Ѵг задавались с различной величиной случайных погрешностей. Результаты этих оценок для уровней z =

=0; 0,5Н; 0,9/7 даны на рис. 14. С ростом погрешностей исходных

данных погрешность Ѵгг на всех уровнях 0 z < # все-таки растет, хотя и приблизительно по одному закону, на что указывает параллельное расположение кривых.

3.СГЛАЖИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ

РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИМ АЛГОРИТМОМ

Известно, что полевые геофизические наблюдения отягощены случайными погрешностями. В связи с этим задача об их сглажи­ вании — одна из важнейших, как при первичной обработке данных,

76

так и в задачах интерпретации. Этой проблеме посвящено большое количество исследований.

Независимо от математического аппарата, которым пользуются исследователи (аппроксимацией исходной функции рядом Фурье, интегралом Фурье, алгебраическими многочленами), в предложен­ ных методах либо совсем отсутствует критерий, характеризующий степень сглаживания, либо он априори задается. Вопрос же о том, насколько близка сглаженная функция к точной, остается открытым.

Рассматриваемый в настоящей главе регуляризирующий алго­ ритм ( V I I . 12) по своей физической природе является фильтром высокочастотной составляющей функции, т. е. погрешностей, рас­ пределенных по случайному закону. Поэтому сглаживание случай­ ных погрешностей е исходной функции U на основе регуляризирующего алгоритма производится следующими процедурами:

1. Исходная функция по схеме (VII.-12) — ( V I I . 13) продолжается иа глубину z = s, равную шагу задания функции, и на этой глубине находится последовательность регуляризованных приближений Ü (z) в номере &s <s ~i .

ние же на исходный уровень, т. е. трансформация на z < 0 , является устойчивой операцией и не вносит дополнительных случайных погрешностей.

Следует подчеркнуть, что если исходная функция задана точно, без высокочастотной составляющей, то рассмотренный алгоритм сглаживания фиксирует отсутствие таких погрешностей и min ex -s _ 1 отмечается при а = 0. Если исходная функция содержит случайные погрешности е > 0 , то нормы es и es -s _ 1 имеют минимумы только при as =f= 0 (табл. 15).

Зависимость погрешностей результативных функций (после сгла­

77

78

бина определяется с точностью до 0,75 ед. масштаба, т. е. трехкрат­ ному увеличению шага соответствует трехкратное повышение точ­ ности определения Н. Как следует из этих данных и пз данных,

79